大学高数下册试题及答案第7章

1、第 PAGE9 页 共 NUMPAGES9 页大学高数下册试题及答案 第7章第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1填空题 （1）已知函数，则；（2）的定义域是；（3）的定义域是 ；（4）函数的连续范围是 全平面 ；（5）函数在处间断.2求下列极限 （1）；解：（2）.解：由于， 故 3讨论极限是否存在.解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在 4证明在点分别对于每个自变量或 都连续，但作为二元函数在点却不连续.解：由于 从而可知在点分别对于每个自变量或 都连续，但沿着曲线,有因而异， 从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续. 作业2 偏导数 1填空题 （1）设，则；（2）（3）设，则；

2、（3）设，则 0 ；（4）曲线在点处的切线与轴正向的倾角是.2设， 证明 .证:因为 所以 3.设，求，.解：， 从而 4设， 证明 . 解：因为 所以 5设函数.（1）试求的偏导函数；解：当 ， 当 ， （2）考察偏导函数在点处是否连续.，故在点处连续， 不存在，从而在点处不连续 作业3 全微分及其应用 1填空题 （1）在点处偏导数存在是在该点可微的 必要 条件；（2）函数在点处，当时有全增量 ，全微分；（3）设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；（4）在点处的；（5）,则；（6）,则；（7）,则 .2证明：在点处连续，与存在，但在 处不可微.证：由于从而但是 不

3、存在，从而在处不可微. 3设函数 试证：（1）函数在点处是可微的；证：因为 又 所以函数在点处是可微的 （2）函数在点处不连续.证：当 不存在， 故在点处不连续 作业4 多元复合函数的求导法则 1填空题 （1）设，则 ；（2）设，则 ；（3）设，则；（4）设，则.2求下列函数的偏导数 （1）设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：（2）设，其中均可微，求和.解：因为 从而 所以 3验证下列各式 （1）设，其中可微，则；证：因为 所以 （2）设，其中可微，则.证：因为 所以 4设其中函数具有二阶连续偏导数，求.解：因为 所以 4设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：.证：因为 从而左边 作业5 隐函数

4、求导法 1填空题 （1）已知，则；（2）已知，则；（3）已知，则；（4）已知，则；（5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则 .2设其中具有二阶连续偏导数，求 解：3求由方程组所确定的及的导数及.解：由已知 4设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且.试证：.证：因为， 5设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程，求.解：因为 特征方程为 作业6 方向导数与梯度 1填空题 （1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ；（3）函数在点的梯度为；（4）函数在点处沿方向的方向导数是 ，且函数在该点的梯度是；（5）函数在点处沿方向的方向导数是；

5、（6）函数在点处沿指向点方向的方向导数是.2求在点及点处的梯度间的夹角.解：夹角余弦为 3求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向的值不变？ 解：， 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变 4设轴正向到得转角为，求函数 在点处沿着方向的方向导数.解：， 由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向的方向导数：作业7 偏导数的几何应用 1填空题 （1）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点 的坐标是；（2）曲面在点处的切平面方程是；（3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的指向内侧的单位法向

6、量为；（4）曲面在点处的法线方程是 ；（5）已知曲线上点的切线平行于平面，则点的坐标是或 2求曲线在对应于的点处的切线和法平面方程.解：切点为， 从而切线为， 法平面为 3求两个圆柱面的交线在点处的切线和法平面的方程.解：， 切线为，法平面为 4求曲面在点处的切平面及法线的方程.解：切平面为，法线为 5求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数.解：指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为 6证明：曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数.证：设切点为， 则 切平面为 令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。作业8 多元函数的极值 1填空题

7、 （1）函数的极值是 0 ；（2）函数的极值点是；（3）函数的极值点是；（4）函数的极值是；（5）函数的极值是.2证明：函数有无穷多个极大值点，但无极小值点.证：因为 由 得驻点坐标为 又 故 只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时 因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。3求函数在条件下的极值.解：令 则 从而 4求函数在圆域上的最大值与最小值.解：先求圆内部的驻点得驻点， 再求圆周上的有约束极值，令 则 若则必有矛盾， 若则必有或 由于 从而要求的最大值为4，最小值为 5在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体.解：设在第一卦限内的顶点坐标为，则 令，则由 ， 可得，其长宽均

8、为，高为 6求椭圆的长半轴和短半轴.解：由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束条件下或的最值 取 由 从而，当时，由约束条件 当时，由约束条件 于是椭圆的长半轴为和短半轴为. 第七章多元函数微分学测试试卷 1单项选择题（每小题3分）（1）二重极限值为 （ D ）（A）0；（B）1；（C）；（D）不存在.（2）二元函数在点处的两个偏导数和都存在，则（ D ）(A)在该点可微；(B) 在该点连续可微；(C)在该点沿任意方向的方向导数存在；(D) 以上结论都不对.（3）函数在处（ A ）(A) 不取极值；(B) 取极小值；(C) 取极大值；(D)是否取极值依赖于.（4）在曲线的所有切线

9、中，与平面平行的切线（ B ）（A）只有1条；（B）只有2条；（C）至少有3条；（D）不存在.（5）设，其中，下面运算中（ B ）， (A)、都不正确；(B) 正确，不正确；(C) 不正确，正确；(D) 、都正确.2填空题（每小题3分）（1）已知理想气体状态方程，则；（2）设，则；（3）函数在点的梯度为；（4）已知，其中为可微函数，则；（5）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线的方程为 3设，其中均为二阶可微函数，求.解：因为 所以 4设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数.解：从而 5已知，其中均为可微函数，求.解：对函数取全微分得， 从而 6设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数.解：指向下侧在此即抛物面的外侧， 从而 7在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标.解：设切点为，则切平面为 在的最值问题与在下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。令 则 与约束条件结合推得 由于在第一卦限，从而切点为 8设 （1）求，；（2），