2013-2014学年度_春季4年级精英班第04讲排列组合应用

1、第四讲第 4 讲排列组合应用20- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算- - - - - - - - - - - - - - -

2、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题 1、卡和萱萱 4 个人打算做车去看.（1）他们上车后发现有 8 个空位，请问他们一共有多少种不同的坐法？（1 个人只能坐 1 个座、1 个座上只能坐 1 个人）（2）到院他们发现有 3 个空位，请问他们一共有多少种不同的坐法？（1 个人只能坐 1 个座、1 个座上只能坐 1 个人）【】16

3、80；24 种】（1）4 个人，8 个座位，人选择座位，从 8 个座位中选出 4 个座位分给 4 个人，交换这 4 人中任两人的A4 8 7 6 5 1680 ；顺序为不同种坐法，所以为排列，8（2）4 个人，3 个座位，座位选人，从 4 个人中选 3 个人出来分给 3 个不同的座位，交换顺序为不同种坐法，A3 4 3 2 24 种坐法4练5 名同学一块去馆借科幻小说，书架上只剩下 3 本，且各不相同结果只有 3 个人各借了一本，那么共有多少种不同的借法？【】60 种例题 29 支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场，那么一共要举行多少场比赛？-【】36 场【】可以有采用连

4、线的方法，还可以用组合来解从九个队中选两个队，这两个队不用分顺序，只组合问题，C 9 8 2 1 36 场比赛2921四年级思维精英班第四讲练习 2棋王争霸赛在 8 名选手间展开，实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？】28 场【】C 8 7 2 1 28 场比赛2【8专属 1. 在一个圆周上有 8 个点，那么以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？【】28 条线段；56 个三角形；70 个四边形【】选两个点即可组成一条线段，8 个点中选 2 个点，不用管这 2 个点的顺序，组合问题， C 8 7 2 1 28 条 线段 选 任意 23个点即可组成一个三角形，8

5、C 8 7 6 3 2 1 56 个三角形选任意四个点即可3一个四边形，C 8 7 6 5 4 3 2 1 70 个38四边形8例题 3围棋小组一共有 8 名同学，请问：如果从中选 3 名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？如果从中选出 3 名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？】336 种；56 种】（1）从 8 名同学中选 3 名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，【为排列问题， A3 8 7 6 336 种选法8（2）从 8 名同学中选 3 人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，C 8 7 6 3 2 1 5638

6、种选法练习 3一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有 7 道菜，请问：如果要求从这 7 道菜中选做 2 道菜，共有多少种不同的选法？如果要求从这 7 道菜中选做 1 道作为主菜，另外 1 道作为副菜，共有多少种不同的选法？【】21 种；42 种种选法（2） A 7 6 42 种选法C 7 6 2 1 2122】（1）【7722四年级思维精英班- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -组合数与排列数是有密切联系的： Cn An An，从这个公式也可以看出， An Cn An，所以计算mmnmmn从 m 个元素中选出 n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从 m 个元素中选出 n 个元素的组合数，再计算这 n 个元素的排列数即可接下来通过例题看看排列与组合之间联系- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题 4带着、卡、萱萱一行四人去参加一次聚会，要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有 12 个（1）（2）替大家去领球，他一共选出了 4 个球，一共有多少种选法？回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法？（3）从 12 个球中选出 4 个分给这四个人，一共有多少种不同的分法？【】495 种；24 种；11880 种【】（1）从 12 个球中选出 4 个球，改变这四个球的顺序，为一种选法，是组合问题， 12 1110 9 4

9、3 2 1 495 种选法C 412（2）把 4 个球分给 4 个人，共有 A4 4 3 2 1 24 种选法4（ 3 ）从1244个球中选个球分给个人，该变这四个球的顺序，为不同种选法，是排列问题，A4 12 1110 9 11880 种选法实际上第 3 小问就是第 1 和第 2 小问的综合，一件事情分成两步，步与步之12间用乘法， C 4 A4 11880 A4 种选法12411练习 4如果让你从 10 本不同的书中挑 3 本，共有多少种不同的挑法？挑出书之后，要把这 3 本书分给、和你各一本，共有多少种不同的分法？最后每人手中拿到的书共有多少种可能？【】120 种；6 种；720 种 1

10、0 9 8 3 2 1 120； A 3 2 1 6 ； C A3 720 种选法】C333【10310323专属 2.毕业多年后，和其他 9 个大学同学约定，每个人都要给其他每人打一个，一共要打多少个电话？如果约定每两个人要通话一次（而且只能通话一次），一共要打多少个？【】90 个；45 个【】原意即每两个人之间都要通两次，如 A 打给 B 的，B 打给 A 的，从 10 个人中选 2 个人出来，这两个人调整顺序为两个，为排列问题， A2 10 9 90 个每两个人之间只要通一次，从 10 个人10中选 2 个人出来，这两个人调整顺序任为一种，是组合问题， C 2 10 9 2 1 45 个

11、10第四讲例题 5周末跳绳比赛，老师要从 10 名男生和 10 名选出 5 名参加比赛如果随意选择，一共有多少种选择方法？如果老师决定选出 2 名男生和 3 名，一共有多少种选择方法？【】15504 种；5400 种】（ 1 ） 没有任何要求，从 20 个人选 5 个人，调换这 5 个人的顺序没有影响，共有 2 1 15504 种选法【C5 2020（2）从 10 名男生中选 2 名男生有C 2 种选法，从 10 名中选 3 名有C3 种选法，一共需要选 5 人，这两1010件事是分步完成的，用乘法，共有C 2 C3 5400 种选择1010练习 5老师要从 9 名男生和 7 名人中要求有 3

12、 名男生、1 名中挑出 4 人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果 4呢？】1820 种；588 种【 3 2 1 1820 ； C C 588 31【】C97最后，学习圆周排列从 m 个不同的元素中取出 n 个（ n m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法如下图，1、2、3 的三种排列：123、231、312，在圆周排列中都是一个排列；另外三种排列：132、321、213，在圆周排列中也是一个排列，而且这两个圆周排列是不同的2333112从 m 个不同的东西中取出 n 个排成一个圆周，这种题

13、目，其实有两种思路可以解决老师可以根据自己个人的想法决定选用哪一种：方法一：选出 n 个后，先把它们排成一条直线，共有 An 种方法，而其中有 n 种是可以围成相同的（旋转重m合视为相同）圆周，所以一共有有 An n 种方法m方法二：选出 n 个后，让其中一个位置固定不变，只考虑其他 n-1 个东西的排序，即为 An1 ，所以一共有n1Cn An1 种方法mn124四年级思维精英班思考创新【】56 种；6 种；50 种】从八门课程中选学三门，是组合问题：C 8 7 6 3 2 1 5638数学课和钢琴课必须都选，说明还要从剩下六门中选一门， C1 6 6；选钢琴C 6 5 2 1 152对结果

14、进行分类，当选数学，还需要从剩下六门中选二门，还需要6；当数学课和钢琴课都没学时，就是从六门中选三门， C 6 5 2 1 152从剩下六门中选二门 6，类与类之间要用加法，共有 15+15+20=50 种选法（最后一问也可以用排除法）C 6 5 4 3 2 1 203625卡 要从八门课程中选学三门，一共有多少种不同的选法？如果数学课和钢琴课必须都选，她一共有多少种不同的选法？如果数学课和钢琴 间 ，不能同时学，她一共有多少种不同的选法？专属 4. 5 个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法？【】24 种【】方法一：5 个人排成一条直线有 A5 5 4 3 2 1 120 种坐法；其中（ABCDE、BCDEA、CDEAB、5DEABC、EABCD 围成一圈后为一种坐法）所以有 A5 5 24 种坐法5方法二：任意选一个人固定在一个位置上不变，接下来只需考虑剩下4 个人的坐法就可以了，A4 4 3 2 1 244种坐法第四讲口述题26四年级思维精英班课堂内外27三角刘三角形，又称三角形，三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列端点数为 1 的三角具有如下几个性质：每个数等于它上方两数之和；每行数