2019-2020学年--浙江省宁波中学高二上学期--期中数学试题(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2019-2020学年浙江省宁波中学高二上学期期中数学试题一、单选题1下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）ABCD【答案】A【解析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果.【详解】B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；A中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意，故选A.【点睛】本题主要考查旋转体的基本定义，考查了空间想象

2、能力，属于基础题.2设：，：，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分必要条件及由x范围的大小即可判断。【详解】由题设知，满足，但 ，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知是的充分不必要条件故选A【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，注意方向性，属于基础题。3如图，是一平面图形的直观图，直角边， 则这个平面图形的面积是（A） （B） 1 （C） （D）【答案】C【解析】略4已知直线，平面，且，给出下列命题，其中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【解析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置

3、关系进行判断.【详解】已知直线，平面，且，若，则，所以，A正确；若，则m与l平行、相交或异面，B不正确；若，则或与相交，C不正确；若，则，D不正确.故选：A【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，属于基础题.5下列命题中为真命题的是()A命题“若，则”的否命题B命题“若xy，则x|y|”的逆命题C命题“若x1，则”的否命题D命题“已知，若，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】根据否命题的定义写出A，C的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；根据逆命题的定义写出B中命题的逆命题，判断真假;根据D命题是假命题可知D的逆否命题为假命题.【详解】

4、A命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则 ”假命题；B命题“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”真命题C命题“若x1，则”的否命题为“若x1，则”假命题D假命题因为逆命题与否命题都是假命题【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用6方程表示的图形是（ ）A一条直线与一个圆B两条射线与一个椭圆C两个点D一条直线与一个椭圆【答案】D【解析】由题意知或，表示一条直线与一个椭圆.【详解】因为，所以或，即表示椭圆，所以方程表示的图形是一条直线与一个椭圆.故选：D【点睛】本题考查曲线方程与图象的判断问题，属于基础题.7矩形中，沿将矩形折成一个直二面

5、角，则四面体的外接球的体积是（ ）ABCD【答案】C【解析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且球的半径为AC长度的一半，即，所以.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.8过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A10B13C16D19【答案】B【解析】试题分析：由题可知，因此，故选B【考点】圆锥曲线综合题9正三棱柱（底面是正三角形，侧

6、棱垂直底面）的各条棱长均相等，为的中点，、分别是、上的动点（含端点），且满足.当、运动时，下列结论中正确的个数是（ ）平面平面；三棱锥的体积为定值；可能为直角三角形；平面与平面所成的锐二面角范围为.A1B2C3D4【答案】C【解析】由得线段MN必过正方形的中心O，则平面，推出面面垂直；由的面积不变，点N到平面的距离不变得到三棱锥的体积为定值；利用反证法说明不可能为直角三角形；设三棱柱棱长为a，建立空间直角坐标系，利用向量法表示出平面与平面所成二面角的余弦值，根据t的范围求出的范围即可求得两平面所成锐二面角的范围.【详解】如图当M、N分别在、上运动时，若满足，则线段MN必过正方形的中心O，而平面

7、，所以平面平面，正确；当M、N分别在、上运动时，的面积不变，点N到平面的距离不变，所以棱锥的体积不变，即三棱锥的体积为定值，正确；设三棱柱棱长为a，由易知且，若为直角三角形则，所以，化简得，解得或，均不符合题意，所以不可能为直角三角形，错误；建立如图所示空间直角坐标系：设三棱柱棱长为a，则，设为平面DMN的法向量，则，令可得平面DMN的一个法向量为，易知为平面ABC的一个法向量，设平面与平面所成二面角为，则，因为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角范围为，正确.故选：C【点睛】本题考查面面垂直的判定，椎体的体积，二面角的相关问题，属于中档题.10已知，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析

8、】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解.【详解】可看成点到点的距离的平方，点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上，问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小.注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称，观察图象知点P到直线的距离最短，最短距离为，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题，属于中档题.二、填空题11下列语句是命题的有_，其中是假命题的有_（只填序号）等边三角形是等腰三

9、角形吗？作三角形的一个内角平分线若为有理数，则，也都是有理数【答案】 【解析】根据命题定义可判断出为命题；通过反例可知为假命题，由此得到结果.【详解】不是陈述句，不能判断真假，均不符合命题定义，不是命题是可以判断真假的陈述句，是命题；当，时，为有理数，但不是有理数 是假命题本题正确结果：；【点睛】本题考查命题的定义和真假命题的判断，属于基础题.12如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为_，表面积为_.【答案】 【解析】根据三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的高为1，底

10、面直角三角形的直角边为1，由棱锥的体积公式及三角形的面积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的高为1，底面直角三角形的直角边为1，所以该几何体的体积为，取BC的中点为D，连接AD，因为，所以为等边三角形且，表面积为.故答案为：；【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积、面积，属于基础题.13若方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围为_.【答案】【解析】由椭圆的性质得，即可求得m的范围.【详解】若方程表示的曲线是椭圆，则，所以m的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.14在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多

11、可有_个；在四面体的4个面中，直角三角形最多可有_个【答案】4 4 【解析】在正方体中，选取四棱锥、四面体，判断直角三角形的个数，由此得出结论.【详解】画出正方体如下图所示，根据正方体的几何性质可知，在四棱锥中，都是直角三角形，共个.在四面体中，都是直角三角形，共个.故填：（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查四棱锥、四面体的概念和几何性质，考查空间想象能力，属于基础题.15点为椭圆的右焦点，在椭圆上运动，点，则周长的最大值为_.【答案】【解析】取椭圆左焦点为左焦点为，连接，则，因为为定值故只需求出的最大值即可求得周长的最大值.【详解】由椭圆的焦点在x轴上知，右焦点，左焦点为，连接，由椭圆定义

12、可知：，即最大时，最大，在中，两边之差总小于第三边，当且仅当共线时，取最大值，此时取最大值，则周长的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质，椭圆中三角形周长问题，属于中档题.16如图，在四面体中，分别是的中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为_.【答案】【解析】本题首先可以将四面体补成长宽高分别为、的长方体，然后根据平面得出截面为平行四边形，再然后根据三角形相似的相关性质得出两相邻边的和为，再然后求出异面直线与所成角的正弦值，最后通过解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果。【详解】如图所示，

13、将四面体补成长宽高分别为、的长方体，由于平面，故截面为平行四边形，由平面几何的平行线段成比例可得，设异面直线与所成角为，则，解得，所以平行四边形的面积，当且仅当时取“”号，故答案为。【点睛】本题考查四面体截面面积的求法，考查解三角形面积公式以及基本不等式的使用，能否根据四面体构建出长方体以及确定四面体截面的位置是解决本题的关键，考查推理能力，是难题。17若圆与椭圆有且只有三个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率的值为_.【答案】【解析】根据题意作出图象，根据圆心与半径求出点A即可求得m，再利用圆D为的外接圆由正弦定理求出的边长，然后求出点B的坐标代入椭圆方程即可求得n，相应值代入离心率公式即

14、可得解.【详解】根据题意作出图象如图所示：圆的圆心为，半径为，取BC与x轴的交点为E，易知E为BC的中点，为椭圆的右顶点，则，因为圆D为的外接圆，所以，又是等边三角形，所以，,，则点，因为B点在椭圆上，所以，所以椭圆方程为，即，椭圆的离心率为.故答案为：【点睛】本题考查椭圆与圆的综合问题，椭圆的几何性质及离心率的求解，属于中档题.三、解答题18已知，命题：，命题：椭圆的离心率满足.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的值.【答案】(1) ；(2) 【解析】（1）根据椭圆的标准方程及其性质，需要分类讨论，利用离心率列出不等式即可求得a的范围；（2）根据是的充分不

15、必要条件推出集合的包含关系列出不等式求解即可.【详解】（1）当时，椭圆焦点在x轴上，解得；当时，椭圆焦点在y轴上，解得.综上所述，；（2），根据题意可得或，解得或，经检验满足题意.所以.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数，根据两个命题之间的关系求参数，涉及椭圆的离心率，绝对值不等式，属于基础题.19在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析；(2) 【解析】（1）由OD为的中位线即可推出，从而证明线面平行；（2）首先证明、，推出为二面角的平面角，求出的三边长，利用余弦定理即可求得.【详解】（1）分别是，的中点，O

16、D为的中位线，则，由平面PAC，平面；（2）取AC中点为E，连接PE、EO、PO，因为，所以，因为OE为的中位线，所以且，则，又因为是等边三角形，所以，且，因为，所以为等腰三角形，又O为AB的中点，所以，且，所以为二面角的平面角，因为，.【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角的概念及求解，属于基础题.20已知三点，.（1）若椭圆过两点，且为其一焦点，求另一焦点的轨迹方程；（2）直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程.【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设出椭圆的另一个焦点的坐标，利用椭圆的定义，列出方程即可求解轨迹方程；（2）设出点M的坐标，由直线，的斜率之和是2列出方程化简即

17、可.【详解】（1）设另一个焦点，则由椭圆定义知：，说明P是以A、B为焦点的双曲线的左支，其中，所以焦点的轨迹方程为;（2）设，则，化简得，所以点的轨迹方程为.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，涉及椭圆、双曲线的定义，属于基础题.21如图，直三棱柱中，为的中点.（I）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；（）在（I）的条件下，设异面直线与所成的角为45，求直线与平面成角的正弦值.【答案】（）见证明；（）【解析】（）取中点,连接，证明 ，即可说明，由底面为正方形，可求得;（）以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面的法向量为，根据线面所成角的正弦值的公式即可

18、求解【详解】（）证明：取中点,连接,有,因为，所以,又因为三棱柱为直三棱柱，所以,又因为,所以， 又因为所以又因为,平面,平面,所以，又因为平面,所以,因为，所以, 连接,设，因为为正方形，所以,又因为所以,又因为为的中点，所以为的中点,所以. （）如图以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设,由（）可知，所以，所以,所以,所以， 设平面的法向量为，则即则的一组解为 所以 所以直线与平面成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题22如图，是离心率为的椭圆的左、右焦点，直线，将线段，分成两段，其长度之比为，设是上的两个动点，线段的中垂线与椭圆交于两点，线段的中点在直线上.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，由线段长度之比可列出等式求出c，代入离心率公式求得a，再求出b，即可求得椭圆的标准方程；（2）当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为，求出P、Q坐标直接求；当直线AB斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出、，可求得的关于m的表达式，根据