材料力学教材(PDF)_cl06

1、第六章梁的复杂问题第一节其它平面弯曲构件的内力与变形第五章讨论了简单静定梁的弯曲内力，实际结构中的某些构件虽然也是以弯 曲为主的静定结构，但它们的形式与前面所讨论的静定梁有所不同，例如多跨静 定梁、平面刚架和平面曲杆等，本节主要介绍这类构件内力的分析方法及内力图 的作法。、多跨静定梁如图6-la、图6-2a所示的是含有中间较的梁，由于其所有支座反力均可以由 静力平衡方程求出，所以也属于静定梁，又称为多跨静定梁。下面通过例题说明 这类梁的剪力图、弯矩图的作法。例6-1作图6-1a所示的多 跨静定梁的剪力图、弯矩图。解：(1)求约束反力a)由于中间钱不能传递弯矩， 所以截面B处的弯矩为零。为了 求

2、出约束反力,将梁在中间 钱B处拆开，截面B处只存在剪 b) 力Fqb,如图6-1b所示。由AB 部分的平衡条件工 Mb = 0 ： FAy )+ ql2 = 0 TOC o 1-5 h z F 一坐)A = 2c)工 Fy = 0 ： Fqb + FAy = 0F =坐d)Q = 2求出Fqb后,根据作用力与 反作用力原理将Fqb加在BC部FAqaT分的B点，如图6-lb所示。则C截面处的约束反力可以求出。(2)作剪力图、弯矩图作AB、BC两部分的剪力图、弯矩图合并在一起，即为所求，如图6-lc、d 所示。由上述解题过程不难发现，对于含中间较的多跨静定梁，可以在中间较处将 原梁拆成主梁和若干次

3、梁，依次求解其支反力。在作剪力图、弯矩图时，不必理 会中间较。当没有集中力作用在中间较处时，该处的剪力连续、弯矩光滑过渡且 为零；若有集中力作用在中间较处，拆分主梁和次梁时，该集中力可视为左右任 一部分的载荷进行求解。求解多跨静定梁的变形宜采用叠加法，要考虑中间较左右两部分的相互影响, 如例6-1中BC段的变形是在剪力 Fqb和均布载荷q共同作用下产生 的，AB段的变形可以看成是两部 分变形的叠加：随BC段的刚性转 动和集中力偶彳“产生的变形，如 图6-la所示。注意，在中间较B 处，挠度连续，而转角不连续。例6-2作图6-2a所示多跨静 定梁的剪力图、弯矩图。解：(1)求支座反力对于CD段梁

4、，由工MC = 0得到FDy = qa再考虑梁的整体平衡，由工MB = 0得到2aFAy 一 Fa + Me + 2aq(2a) 一 3aFy = 0由工MA = 0得到FBy5qa(2)作剪力图、弯矩图，如图6-2b、c所示。二、平面刚架在工程中，经常遇到许多杆件组成的框架式结构，如液压机机身、钻床床架、 轧钢机机架等。这种结构的每两个组成部分在其联接点处的夹角不变，即两部分 在联接处不能有相对转动，这种联接处称为刚节点。图6-3a中的B点即为刚节点。 各部分由刚节点联接成的框架结构称为刚架，若组成刚架的杆件的轴线在同一平 面内时称为平面刚架。内力可通过静力平衡方程确定的刚架称为静定刚架。刚

5、架任意横截面上的内力，一般有弯矩M、剪力化和轴力JN,刚架的内力 图就画在刚架上。轴力和剪力的正负符号仍按以前的规定，刚架的弯矩一般不规 定正负，按照本书的统一约定，弯矩图画在杆件的受压侧。下面用例题说明静定 平面刚架内力图的作法。例6-3作图6-3a所示刚架的内力图，并求d点的转角血、水平位移谢和铅 垂位移旳。已知刚架的抗弯刚度为7,忽略轴力、剪力的影响。解：(1)采用控制点法作内力图AB段：集中力尸产生剪力和弯矩。且剪力为正。由于AB段无其它载荷，所 以剪力不变，大小为F。弯矩图为斜直线，Md=O, MB=Fa。力尸使AB段上边受 压，所以弯矩图画在AB段的上方。BC段：集中力尸产生轴力和

6、弯矩，轴力为正，大小为F弯矩不变，大小为 Fa力尸使BC段右边受压，弯矩图画在BC段的右边。纵上所述，作内力图如图6-3b、c、d所示。注意在刚节点B处，弯矩具有连 续性，同画在刚架的外侧。(2)求Oa. xa和旳按图6-3a所示坐标系，用逐段刚化法求解。先将BC段刚化，则AB段相当 于B点为固定端的悬臂梁，如图6-4a所示。查表5-6得o = Fa_ FaA1 = 27，儿1 =-37a）图6-4逐段刚化法求解刚架变形再将AB段刚化，取消BC段的刚 化，则集中力尸可由A点平移至B点， 得到轴向力尸和力偶矩Fa,如图6-4b 所示。忽略轴力的影响，查表5-6得o = Fab x = Fab2B

7、2 EI B2 2EIBC段的变形引起AB段的刚性转动 p p FabFab2心B2 =莎XA = XB2 = 2eT，=a = Fa a byA2 = _AB2 a=EI所以A =&A1 +&A2Fa(a + 2b) 2EIFab2XA = XA2 =AA22EIFa 2yA = yA1 + yA2(a + 3b)3EI三、平面曲杆某些构件，如活塞环、吊钩、链环等，一般都有纵向对称面，其轴线为平面 曲线，称为平面曲杆或平面曲梁。当载荷作用于纵向对称面内时，曲杆将发生平 面弯曲变形，这时横截面上的内力一般有弯矩M、剪力化和轴力JN。内力图画 在曲杆轴线的法线方向。轴力和剪力的正负与以前的规定相

8、同，弯矩图画在曲杆 的受压侧，不标正负。下面以图6-5a所示的轴线为1/4圆周的曲杆为例，说明平 面曲杆的内力计算和内力图的作法。例6-4 端固定的1/4圆曲杆在其轴线平面内受集中力作用，如图6-5a所 示，试求曲杆横截面上的内力，并作内力图。解：（1）求曲杆横截面上的内力对曲杆应取极坐标表示横截面的位置。所以选曲杆轴线的圆心为坐标原点。 以圆心角为的截面截取曲杆的右段研究，如图6-5b所示。利用截取部分的平衡 条件求截面上的内力(a)工 F” = 0 ： Fn + F sin = 0FN = _F sin 例题6-4图(b)工 Ft = 0 ： Fq - F cos q = 0Fq = F

9、cos q工 MC = 0 ： M + FR sin q = 0 M = -FR sin q(c)式(a)、式(b)和式(c)即为1/4圆杆横截面上的内力方程，代入q值就可以 求出任一横截面上的内力。(2)利用上述三式可以作出轴力、剪力和弯矩图，如图6-6所示。第二节 平面曲杆中的应力求出曲杆的内力后，轴力Fn在横截面上产生均匀分布的正应力。剪力Fq在 横截面上产生切应力7,其值可按直梁的弯曲切应力公式7 = FqS；/(Izb)求得，由 于该值远小于弯曲正应力，可忽略不计。对于曲率半径大于杆髙五倍的曲杆，可 以使用式(5-8)计算横截面上的弯曲正应力。但这种计算方法的误差随着曲率半 径与杆髙

10、比值的减少而增大。因此，当此比值减小时，就需求较精确的解。下面讨论平面曲杆在纯弯曲下的弯曲正应力，与直梁的平面弯曲类似，结果 也可推广到横力弯曲情况。在这里，直梁纯弯曲的两个假设仍适用，即平面 假设一一与轴线垂直的截面在变形后仍保持为平面;纵向纤维之间无正应力作 用。从纯弯曲的曲杆中用夹角为的横截面1一1和22之间截取一段，如图6-7a 所示。梁弯曲时截面22相对于截面1 1转动至截面22位置，两者之间的 夹角变为 _曲,故在离中性层00,为必处的曲面aR前伸长是沁卩 设中性层 的曲率半径为令M g =,则拉应变为(Pi _yi)(pPi _yi因而拉应力为er = Ee = Ea yi(b)

11、Pi _ yi由上式知，e在截面上是非线性分布的，在曲杆的内侧最大。因积分fdA = 0(c)A Pi _ yi设中性层到轴线的距离为轴线的曲率半径为P，因为Pi=p_e, yi=y_e,故fdA =,A Pi _ yif J dAJa p_ ydAp_ y(d)则有由此得PdAA J- p y将式(e)、式(f)代入式(d)得AkA = e一 (1 + k)则PK是由曲率半径和截面形状决定的常数，称为曲杆的截面系数。(e)(g)(h)其次，根据微面积dA上的内力b dA对中性轴力矩的总和应等于截面上的弯矩，有M = J ct-j dA = Em J dAJaJa Pj 一 -1考虑式(c)，

12、改写式(i)有(i)-12Pj 一 -jdA =-yJdA+pjJA-1Pj -jdA = J -jdAJA(j)式(j)的右边表示截面对中性轴的静矩。曲杆的中性轴一般不通过截面的形心而偏向曲率中心一侧，设截面面积为A, 根据中性轴的定义，静矩为(k)(l)(6- 1)(6-2)得I -jdA = AeJa根据式(k)、式(j),式(i)变成M = Em I -j dA = EmAe将式代入式(b),得到用M表示的求c的公式c= M-j = M (- - e)一e(P j -j) 一e(p-)设从曲杆的轴线到两表面的距离为加、h2,则最大拉、压应力为M (hj - e)M 為 + e),c =

13、Ae(p h)cmax Ae(p + h2)因为上式中的幺可用式(h)求出，所以决定了疋，就可求得最大拉、压应力。当y/p小于1时，一1 =1可展成幕级数，故式(g)可表示如下p-y p(1 -y/p)k=丄y + (兰)2 +(y)3 + (y)4 + (6-3)A Ja p p p p对于矩形0Xh)截面(6-4)1 z h 、21 z h、41 , h、6K =() +() +() + 3 2p5 2p7 2p例6-5直径d=80mm圆杆制成的圆环,环的内半 径D=120mm, F=20kN，如图6-8所示，求A、方点的 正应力O解：AB所在截面上的内力有轴力和弯矩。由截面法得到= -2

14、0 x0.12 + 0.082Fn =-F = -20kN求曲杆的截面系数Ka d/240p (D + d)/2 - 100根据式(6-5)或查表6-1得 k = 0.043 5 计算圆环横截面上中性轴与形心轴的距离e100 x 0.043 5mm = 4.17mm1.043 5根据式(6-2)计算A、B点的弯曲正应力BlM (d/2 + 幺) Ae(p + d /2)-2 x 106 x (40 + 4.17) x 4 nx 802 x 4.17 x (100 + 40)MPa = 30.1MPaM(d/2 - e) = 一 2 x x (40 一I7x 4 MPa = -57.0MPaAe

15、(p- d/2) nx 802 x 4.17 x (100 一 40)轴力产生均匀分布的正应力MPa = -4MPa由此可求得A、B两点的正应力为aA = aA1 + a2 = (30.1 - 4)MPa = 26.1MPa= aB1 + a2 = (-57.0 一 4)MPa = -61.0MPa第三节 非对称弯曲与斜弯曲前面所讨论的梁，均处于平面弯曲状态。即梁的横截面有对称轴，载荷作用 在包括对称轴在内的纵向对称面内，梁的挠曲线也在该平面内。若载荷作用线虽 然通过梁的轴线，但不在梁的纵向对称平面内，如图6-9所示，或者梁的截面没 有对称轴时，如图6-10所示，这种情况的弯曲称为非对称弯曲。

16、图6-9梁的非对称弯曲对于纯弯曲的任意截面梁，如果弯矩在截面的形心主惯性轴与轴线所成的平 面（称为形心主惯性平面）内时，可以证明梁所发生的变形仍然是平面弯曲迁因 此，当弯矩不在形心主惯性平面内时，可沿截面的两个形心主轴将其分解，问题 就可以转化为两个垂直平面弯曲的叠加。对于横向力弯曲情况，当横向力作用于 轴线时，产生的弯曲切应力的合力不通过形心，因而将产生扭转变形。若杆件为 实体或闭口杆件时，由于其扭转刚度较大，产生的扭转变形可忽略不计。 参阅刘鸿文主编材料力学第三版，第七章，KVS墩疗出版社，1997.现在分析图6-9所示的任意形状截面的梁，在与形心主惯性轴y成a角的# 轴和轴线的平面内作用

17、任意力的情况。用双箭头矢量表示弯矩的方向，则M为向 着z，轴负方向的矢量。若将M向形心主惯性轴(y, z)分解，则有Mz = M cosa , M y = M sin az y由于y、z轴为形心主惯性轴，因此由胚、胚分别引起的弯曲都是平面弯曲。截面 上点力(y z)的弯曲应力b可由 胚、胚引起的应力b 和b”的代数和求得。即有a = af + affMyzI+MyIcosa. #sinazI丿(6-6)令式(6-6)中的a=0,可得这种情况下的中性轴位置(6-7)令tan0 = y0 /z0 , (y0, z)为中性轴上一点的坐标，则0为中性轴与z轴的夹 角，即有(6-8)tan 0 =儿=t

18、an az 0Iy可见对于厶工厶的截面，0K这表明变形后梁的挠曲线与载荷作用面不在一个 平面内，这种变形称为斜弯曲。对于厶=z的截面，如圆形、正方形和正多边形截 面，有0 = a,表明梁的挠曲线与载荷作用面在同一平面内，仍然是平面弯曲。确定出中性轴后，可找出截面上距中性轴最远的点，该点的应力数值最大。 如果截面有外凸的棱角，如矩形、工字形等截面，则棱角处可能是应力最大的危 险点；如果截面没有棱角，可在中性轴两侧作两条与中性轴平行的直线，这两条 直线与截面周边的切点即为危险点。需要指出，在计算非对称弯曲的正应力时， 不应该套搬式(6-6)，而应该直接根据形心主惯性轴y、z方向的力分别计算截面 任

19、一点产生的正应力，观察变形确定应力的符号，然后叠加。非对称截面梁的弯曲变形可用叠加法求得，即首先求得形心主惯性平面(X, y)、(x, z)内的挠度分量色、爲，则挠度可用下式求得(6-9)例6-6图6-10a所示Z字形截面悬臂梁受铅垂力尸(=2kN)作用，梁跨长 /=lm,截面尺寸如图6-10b所示。求梁内的最大应力(形心主惯性矩见附录A第 四节例 A-7：厶=6.28 x 106 mm Iy = 0.64 x 106 mm4, a0 = 27o29)。a)图6-10例题6-6图解：将力F沿形心主惯性轴八z分解，得到分力马、庇，因为a=27o29, 所以力F与形心主惯性轴y的夹角a =ao=2

20、729o分力F=Fcosa、Fz=Fsina在截 面上引起的应力如图6-10b所示，可以看出分力Fy在截面z轴上方引起拉应力， 分力Fz在y轴右侧引起拉应力。所以固定端截面的/点作用着最大拉应力,B点 作用着同样数值的最大压应力。只需计算力点的应力上式中yA、za是A点坐标的绝对值，即yA = (60cosa - 5 sin a) mm = 50.92mmza = (60 sin a0 + 5 cos a) mm = 32.12mm需要说明，本题实际上是开口薄壁杆，从下节可以知道，对于开口薄壁杆， 外力只有作用于弯曲中心，才产生平面弯曲，而本题所示Z形截面的形心与弯曲 中心恰好重合。第四节开口

21、薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心从前面的讨论可以知道，对于截面有对称轴的杆件，当横向载荷作用在对称 平面内时，才会使杆件发生平面弯曲。对于横截面无对称轴的杆件，也同样存在 在何处作用横向力使杆件发生平面弯曲的问题。以图6-11所示的槽钢悬臂梁为例， 由试验证实，当外力尸沿y方向通过形心C作用时，梁将同时产生弯曲与扭转变 形。只有外力尸通过某一点d时，梁才只发生弯曲变形，d点称为截面的弯曲 中心。由此可见，在横向力作用下的梁仅发生平面弯曲的条件是外力平行于形心 主惯性轴，且通过弯曲中心。开口薄壁杆的抗扭刚度较小，其抗扭转能力弱，较小的扭矩就会产生较大的 扭转切应力，同时还将因约束扭转引起附加正应力和

22、切应力迁实体杆件和闭合薄 壁杆件的抗扭刚度较大，且弯曲中心通常在截面形心附近，所以当横向力通过形 心时所产生的扭矩不大，扭转变形可以忽略。因此本节主要讨论开口薄壁杆的弯 曲切应力和弯曲中心问题。首先讨论开口薄壁杆弯曲切应力的计算。图6-12a是在横向力F作用下的开 口薄壁杆。力F通过截面的弯曲中心d,杆件只发生弯曲而无扭转，即截面上只 有弯曲正应力和弯曲切应力，而无扭转切应力。根据切应力互等定理，考虑截面 为薄壁的特点，弯曲切应力与截面周边相切且沿壁厚均匀分布。设y、z轴为截面 的形心主惯性轴，力F平行于y轴,z轴为中性轴。从杆中截出dx长的一微块abed, 如图6-12a、b所示。侧面ab和

23、ed上的面积为di,其上弯曲正应力的轴向合力由下两式分别计算Fni=J b = J 字JA1均 IzFN2 =Mz + dMzIz式中S；是侧面ab对z轴的静矩。纵向面b的合内力是丁 tdx,把以上诸力代入 x方向的力平衡方程有Fn2 - Fnj - T t d x = 0 经整理后得出T=些 S；=FqSdx Iz tIzt式中心是横截面上的平行于y轴的剪力。t 是纵向面bdL的切应力，由切应力 互等定理知，它也就是横截面上C点的切应力T(6-10)FXt的指向如图6-12b所示，据此可绘出横截面上切应力的分布。下面讨论确定弯曲中心的基本方法。横截面上微内力tM的合力为心。为 确定 矗作用线

24、的位置，可选取截面内任一点B为力矩中心(见图6-12c)。根据 合力矩定理有(6-11)式中az是尸对B点的力臂。尸是微内力tA4对B点的力臂，从上式中可解出a, 就确定了心的作用线位置。同理，利用合力矩定理，可得到Fqz作用线位置的方程FQzay = rTldA(6-12)式中ay是JQz对B点的力臂，T是JQz在横截面上产生的切应力。由上式解出ay 就确定Fqz作用线位置。因为矗、JQz都通过弯曲中心，两者的交点就是弯曲中 心A。表6-2给出了工程中常用一些截面的弯曲中心位置。例6-7求图6-13所示槽形截面的弯曲中心解：以截面的对称轴为z轴，则y、z轴为形心主惯性轴。当剪力心平行于 y轴

25、，且杆件无扭转变形时，弯曲切应力按式(6-10)计算。上翼缘距边缘三处的 切应力t为T FqSl Fql &妙沁IztI.t $ 2 丿21 zt指向如图6-13所示，S；为阴影部分面积对z轴的静矩。用类似办法可求得腹板 和下翼缘的切应力。为了确定尸0的位置，选定上翼板中线与腹板中线交点B为矩心，据式（6-11）有h2 b 2t az =亿当剪力Fqz沿对称轴z 轴上。所以阳与对称轴z作用时，所产生的是平面弯曲，表明弯曲中心在对称 的交点A即为弯曲中心。FQyaz=d A = h逬 t d.于是有例6-8试确定图6-14所示薄壁开口圆环截面的弯曲中心。解：以截面的对称轴为z轴，y、z为形心主惯

26、性轴。设剪力阳平行于y轴, 且通过弯曲中心A。为了计算0角处的切应力，需求S；。和Iz( 0Sbd = I (R sin)Rtd = R21(1 - cos0)J 0故有FqSbd = FR 21 (1-cos0) = Fq (1-cos0)IzttnR 3tnRt选取截面形心C为矩心，根据合力矩定理有(2n(2n7 = Io吨=IoRFq (1 - cos0)nRtRtd0FqR I1 - cos 0)d0 = F (2R)n oQye=2R于是有因弯曲中心在对称轴上，故弯曲中心距截面形心的距离为2Ro第五节连续梁具有三个以上支座的梁，称为连续梁，显然这是一种超静定梁。图6-15a所 示为一

27、跨连续梁，其中间支座的个数为n-1,即为它的超静定次数。求解连续梁时，选中间支座处的弯矩作为未知力。设想将中间支座处的截面 切开装入中间较，如图6-15b所示，成为若干个单跨简支梁。这些单跨简支梁在 原有载荷和支座截面处的弯矩Ml, M2,Mi,M”-1作用下，利用支座左 右两侧截面转角相等的变形条件，可以得到n-1个变形方程，正好解出n-1个未 知的支座弯矩。c)图6-15连续梁取第7支座左右两个简支梁来分析，如图6-15。所示。第7支座的变形条件为 歼=刖式中0产为左跨梁在所有载荷作用下在7截面产生的转角（包括M-i, M）,d+血+(0)左6EI3EI q0右为右跨梁在所有载荷作用下在7

28、截面产生的转角,0 右二 _ Mjl7+、7 _ 3EI 将式和式（c）代入式（a）得M 7+1l7+16EI(c)M7-I7 + 2M,.(I,. +1,1) + M+1lM =-6EI(0,.)青-(0,.)产(6-13)式中的（0片为左跨梁由外载荷产生的7支座处的转角，（仇）q为右跨梁由外载荷 产生的i支座处的转角。式（6-13）包含有相邻两跨梁三个未知的支座弯矩，故称为三弯矩方程。对每 个中间支座可列出一个三弯矩方程。图6-15a所示的跨连续梁，共有n-1个中 间支座，可列出n-1个三弯矩方程，从而解出n-1个未知的支座截面弯矩。简支 梁在简单载荷作用下支座处的转角可查表5-6。例6-

29、9图6-16a所示连续梁，d端固定，D端外伸，受力如图所示，已知刃, 试求解连续梁各支座处的弯矩。a)Bc2m|1mC)_ / 1 b 1m|1m|q=25kN/mF(=10kN)D解：由外伸段CD的平衡条件，可求得胚=10kNm。支座截面的未知弯矩 为胚和胚，故为二次静不定梁。可把左端固定端插入部分设想为长的简 支梁，如图6-16b所示。由式（6-13）对支座d列三弯矩方程得0 + 2Md x (0 + 2) + MB x 2 = -6EI0 - (0d) f ql 324EI(25 x 23)kN. m224EI,代入上式得4Md + 2MB = -50kN m(a)对支座B列三弯矩方程M

30、A x 2 + 2MB x (2 + 2) - Mc x 2 = -6EI(OB): - (OB)式中MC = 10kN mql3 = (25 x 23)kN m224EI -24eIMel = (20 x 2)kN m2代入并化简得24EI -24EI2MA + 8MB = -40kN m联立式(a)、式(b)求解得MA =-80kN m, MB =-kN m第六节组合梁由不同材料组合成一体的梁称为组合梁，如木材、玻璃钢板与金属叠合的梁 以及钢筋混凝土梁等。、组合梁的基本方程图6-17所示的是由三种材料组成的对称截面组合梁，该梁在弯曲时，平截面 假设仍成立，应变的大小仍与距中性轴的距离成正

31、比。设中性层的曲率半径为0,在距中性轴为y处 的某纤维的应变仍可由下式确定s = (a)P各部分的弯曲应力用下式表示6 = Es = Ei -(b)P式中E是第i块截面材料的弹性模量；6是第i块 截面上产生的应力。可见，对于每一块截面，应力是连续的，但由于材料的非均 匀性，不同材料截面交界处的应力会发生突变。设梁无轴向载荷作用，梁截面上的弯矩为M,则有(c)式中4是第i块截面的面积，积分是对各块截面的全面积进行的。 将式（b）代入式（c）、式（d）,有P S叮严=0P S山也=P 昭=“式中厶=f y2d,.是第i块截面对中性轴的惯性矩。I*右令fJAiyAi = AZ，则式（e）成为 Et

32、f ydA, = E,A,2, = 0(g)i=1Ai=1用式（g）可确定组合截面中性轴的位置。图 6-18所示截面A“设组合截面中性轴为z,任 选参考坐标轴z平行于z轴，设参考轴到中性 轴z的距离为yo,截面上任一点对z、z，轴的坐 标分别为y、y,则有y = y- yo（h）将式（h）代入式（g）中，有 e,a,z,i=1n r n (.=E, f ydA, =E, f (y-y)dA, i=1i=1= Et (f y，dA,-J ydA,)=Ei(f yd& -yoAi) = 0-i由此可得中性轴的位置为n e,Ai=1(6-14)若将丄=-与的关系代入式，得 Pdxdx 2(6-15)

33、工EIi =1上式为组合梁的挠曲线方程，EiIi为组合梁的等效抗弯刚度。i=1若将式中的1/0代入式(b),则得弯曲应力为_ EtyM ai - EJ,i=1(6-16)综上所述，解组合梁时，首先应按式(6-14)决定组合梁的 中性轴位置，然后求各截面对中性轴的惯性矩I”最后可 使用式(6-16)求应力。例6-10求图6-19所示的三块板重叠而成组合梁的应 力。设上、下两块板具有同一厚度和弹性模量。解：梁上、下对称，故中性层为整个截面的中间层， 各板对中性轴的惯性矩为bh272(3h12 + 6h1h2 + 4h；)若某一横截面上的弯矩为M,则该横截面上各板中的最大弯曲正应力为E1h1M(6-

34、17)2(E111 + 2E 212)E 2(h1 + 2h2)M2(E111 + 2E212).二、钢筋混凝土梁混凝土由于抗拉性能弱，所以常在梁的拉伸侧埋入钢筋，这种钢筋混凝土梁 是最常见的一种组合梁。考虑如图6-20a所示的这种组合梁，应变以中性层为分 界成线性分布，如图6-20b所示。由于混凝土抗拉性能弱，考虑全部拉应力由钢 筋负担，应力分布如图6-20c所示。面及钢筋的应变比、&S和应力免、OS可用下式表示hsc =，Ss=L(a)hOc =_Ec ，Os =迟L (b)梁的髙度、宽度、钢筋、中性层 的位置如图6-20a所示，设中性层以 曲率半径为p的圆弧弯曲，混凝土顶式中c、Fs分别为混凝土和钢筋的弹性模量。设作用在混凝土和钢筋上的力分别为屁、Fs,则(-化 F)bdy = -Ec b2-h2Fs = Asas = AsEsd h(c)式中As为全部钢筋的截面积之和。(d)设在梁的横截面上只有弯矩M,