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1、第3讲-行列式的降价处理-按行列展开第6节 行列式的降价处理:按行、列展开 降阶、降级处理是数学处理的基本思路之一。对n阶行列式也可使用这一思路:将n阶行列式变成n-1阶行列式进行处理,从而可层层降阶到低阶行列式进行处理,这便是行列式的按行或按列展开。一 特殊行列式的降阶处理一般行列式的按行、按列展开特殊行列式的计算例:证明(降阶处理)左端 右端一 特殊行列式的降阶处理更一般地,如下行列式能否降阶处理?又因综上,有一般行列式的按行展开其中 上面分析表明,一般n阶行列式可按某行展开成该行元素与其代数余子式的积的和的形式:此行列式相当于在行列式又因代数余子式可降阶为如下形式(相等或符号相反)综合前
2、述知识知,Aij 与 Mij 的有如下关系即Aij 可通过计算一个n-1阶行列式得到。下式表明了行列式可降阶处理。称上式为行列式的按第i行展开式。(i=1,2,n)按第 j 列展开行列式 ?行列式的按行、列展开式表明行列式 = 某一行的元素分别与各自代数余子式的乘积之和对行列式d?当k=i时,是d按第i行的展开,仍为d;当ki时, 则表示的是d的第k行元素与另一行元素的代数余子式相乘。其结果是否仍为d?例,已知行列式 例:当ki时, 不妨设 ik,则 0.定理:设例:计算行列式问题:与化三角行列式相比,计算量有否变化?例:计算问题:与化三角行列式相比,计算量有否变化?注 意 行列式按行、列进行展开的着眼点不在于减少计算量,而在于其理论意义。当然在手算具体确定的行列式时,当行列式的某些行与列有大多数 0 时,能有效化简计算,但这种做法却没有通用性。三 特殊行列式的计算(n-1行乘 -a1 加到第n行; n-2行乘 -a1 加到第n-1行,余类推)1 范德蒙德行列式(上边最后一式右边又是一个 n-1 级的范德蒙德行列式)从而有(归纳证明),2
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