2022届山东省烟台高三第一次调研测试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，满足约束条件，则的最大值是（ ）ABCD2要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）A伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度B伸长到原来的2倍

2、（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度C缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度D缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度3执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A9B31C15D634已知ABC中，点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A2BCD5在中，内角的平分线交边于点，则的面积是（ ）ABCD6设集合，则（ ）ABCD7某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ）AB6CD8已知集合，则（ ）ABCD9若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )ABCD10已知正三角形的边长为2，

3、为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ）ABCD11已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）ABCD12设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是奇函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为_.14已知椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为_15现有5人要排

4、成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有_种.（用数字作答）16如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为8百米、1百米，则观察点到点、距离之和的最小值为_百米.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知圆外有一点，过点作直线(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长18（12分）从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛

5、物线C上，且（F为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C的方程；（2）求证：四边形是平行四边形.四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.19（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）（1）求数列的通项公式；（2）证明：当时，20（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin.（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.21（12分）设数列的前n项和满足，（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式（2）设，求证：.22（10分）已知点、分别在轴、轴上运

6、动，（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，求的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.由得：，故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.2B【解析】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 再将得

7、到的图象向左平移个单位长度得到 故选B点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键3B【解析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【详解】执行程序框；，满足，退出循环，因此输出，故选:B.【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.4D【解析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为故选D【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化

8、思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题5B【解析】利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，进而求出，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】为的角平分线，则.，则，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，得，解得，由余弦定理得，因此，的面积为.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6D【解析】根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，则故选：D【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,7D【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉

9、三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,所以该几何体的体积为：,故选：D【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.8D【解析】根据集合的基本运算即可求解.【详解】解：，则故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题9B【解析】由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令，得令，得故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.10A【解析】建立平面直角坐标

10、系，求出直线，设出点，通过，找出与的关系通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围【详解】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，所以的取值范围是故选A【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用11A【解析】设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为，右焦点为， M所在直线为，不妨设，MF的中点坐标为.代入方程可得，（负值舍

11、去）.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.12C【解析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【详解】解：是奇函数，是偶函数，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确为偶函数，故错误，故选：【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率【详解】解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个

12、球，基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，所以包含的基本事件个数m72，其中三种颜色的球都有的概率是p故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14【解析】先根据椭圆得出焦距,结合椭圆的定义求出,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心率的公式求出离心率即可.【详解】解: 因为椭圆,则焦点为,又因为椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,在椭圆中: 由椭圆的定义: 在双曲线中: ,所以双曲线的实轴长为

13、: ,实半轴为则双曲线的离心率为: .故答案为: 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题.1536【解析】先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.【详解】由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法，则6人排成一排，甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有（种）排法.所以本题答案为36.【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只

14、有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.16【解析】建系，将直线用方程表示出来，再用参数表示出线段的长度，最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点，所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则.设直线，即，则，所以，所以，则，则，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以当时，最短，此时.故答案为：【点睛】本题考查导数的实际应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）或（2）【解析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线的距

15、离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解: (1)由题意可得,直线与圆相切当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意当斜率存在时，设直线的方程为,即,解得直线的方程为直线的方程为或(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为圆心到直线的距离为弦长为【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.18（1）；（2）证明见解析；能，.【解析】（1）根据抛物线的定义，求出，即可求抛物线C的方程；（2）设，写出切线的方程，解方程组求出点的坐标. 设点，直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理得到点的坐标，写出点的坐标，可得线段相互平分，即证四

16、边形是平行四边形；若四边形为矩形，则，求出，即得点Q的坐标.【详解】（1）因为，所以，即抛物线C的方程是. （2）证明：由得，.设， 则直线PA的方程为（），则直线PB的方程为（），由（）和（）解得：，所以.设点，则直线AB的方程为.由得，则，所以，所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分.在中，令解得，所以，同理得，所以线段CD的中点坐标为，即，又因为直线PQ的方程为，所以线段CD的中点在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分.因此，四边形是平行四边形.由知，四边形是平行四边形.若四边形是矩形，则，即，解得，故当点Q为，即为抛物线的焦点时，四边形是矩形.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线和

17、抛物线的位置关系，属于难题.19 (1) (2)见证明【解析】(1)由题意将递推关系式整理为关于与的关系式，求得前n项和然后确定通项公式即可；(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.【详解】（1）由，得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，当时，当时，也满足上式，所以；（2）当时，所以【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.20（1）（2）(2，)【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.【详解】（1）曲线C的极坐标方程为，则,即.（2），联立可得，（舍）或，公共点(，3)，化为极坐标(2，)【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.21（1）证明见解析，；（2）证明见解析【解析】（1）由，作差得到，进一步得到，再作差即可得到，从而使问题得到解决；（2），求和即可.【详解】（1），两式相