2022届山东省东营市利津高三（最后冲刺）数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）AB2CD12集合，则（ ）ABCD3记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）A2阶区间B3阶区间C4阶区间D5阶区间4已知点，若点在曲线上

2、运动，则面积的最小值为（ ）A6B3CD5已知，则的值构成的集合是（ ）ABCD6如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ） A2014年我国入境游客万人次最少B后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差7已知是定义在上的奇函数，当时，则（ ）AB2C3D8正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ）ABCD9已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（ ）ABCD10设等差数列的前项和为，若，则（

3、）A21B22C11D1211设全集，集合，则集合（ ）ABCD12已知，分别是三个内角，的对边，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是_.14某市公租房源位

4、于、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是_ .（用数字作答）15有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_16将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为_三、解答题：共

5、70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.18（12分）在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：优秀合格总计男生6女生18合计60已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为.（1）完成上面的列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采

6、取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02419（12分）已知矩阵，.求矩阵；求矩阵的特征值.20（12分）如图， 在四棱锥中， 底面， ， ，点为棱的中点.（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点， 满足， 求二面角的余弦值.21（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A (k0)的一个特征向量为，A的逆矩阵A1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)求实数a，k的值22（10分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.（1）求证

7、：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线的离心率，则，解得，所以焦点坐标为，所以，则双曲线渐近线方程为，即，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.2A【解析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于

8、简单题.3D【解析】可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间. 故选：D【点睛】本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题4B【解析】求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线表示以原

9、点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线的方程为，可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，则的面积的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得5C【解析】对分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.【详解】为偶数时，；为奇数时，则的值构成的集合为.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.6D【解析】ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B由统计图可知

10、：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；D由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.7A【解析】由奇函数定义求出和【详解】因为是定义在上的奇函数，.又当时，.故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键8C【解析】分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解.【详解】解：建立以

11、为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，则，由，即，得.所以=，所以当时，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.9D【解析】由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，从而可知的最小值为，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意得，得，解得，得.当时，；当时，则的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10A【解析】由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值.【详解】解：由为等差数列，可知也成等差数列，所以 ，即，解得.故选:A.【点睛】本题

12、考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.11C【解析】集合， 点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.12C【解析】原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.【详解】解：由及正弦定理得.因为，所以代入上式化简得.由于，所以.又，故.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据局部频率和整体频率的关系，依次

13、判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.14【解析】基本事件总数，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率【详解】解：某市公租房源位于、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房

14、子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，该市的任意5位申请人中，基本事件总数，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数：，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率是故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题15丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用.16【解析】记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则故本题应填三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、

15、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【解析】（1）先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【详解】解:（1）因为,所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.18（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”（3）见解析.【解析】（1）由已知抽取的人中优秀人数为20，这样结合已知可得

16、列联表；（2）根据列联表计算，比较后可得；（3）由于性别对结果有影响，因此用分层抽样法【详解】解：（1）优秀合格总计男生62228女生141832合计204060（2）由于，因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”.（3）由（2）可知性别有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况.【点睛】本题考查独立性检验，考查分层抽样的性质考查学生的数据处理能力属于中档题19；，.【解析】由题意，可得，利用矩阵的知识求解即可.矩阵的特征多项式为，令，求出矩阵的特征值.【详解】设矩阵，则，所以，解

17、得，所以矩阵；矩阵的特征多项式为，令，解得，即矩阵的两个特征值为，.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.20（1）证明见解析 （2） （3）【解析】（1）根据题意以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出，由空间向量数量积运算即可证明.（2）先求得平面的法向量，即可求得直线与平面法向量夹角的余弦值，即为直线与平面所成角的正弦值；（3）由点在棱上，设，再由，结合，由空间向量垂直的坐标关系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角的余弦值.【详解】（1）证明：底面，以为坐标原点，建立

18、如图所示的空间直角坐标系，点为棱 的中点，.（2）,设平面的法向量为.则，代入可得，令解得，即，设直线与平面所成角为，由直线与平面夹角可知 所以直线与平面所成角的正弦值为.（3），由点在棱上，设，故，由，得，解得，即，设平面的法向量为，由，得，令，则取平面的法向量，则二面角的平面角满足，由图可知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计算量较大，属于中档题.21解：设特征向量为对应的特征值为，则 ，即 因为k0，所以a2 5分因为，所以A，即， 所以2k3，解得 k2综上，a2，k2 20分【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k考点：特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了