2019年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2019年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知集合A=-1，0，1，2，B=x|（x+1）（x-2）0，则AB=（）A. 0，1B. -1，0C. -1，0，1D. 0，1，2若的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3下列各点中，可以作为函数y=sinxcosx+1图象的对称中心的是（）A. （）B. （）C. （）D. （）执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（

2、）A. 6B. 24C. 120D. 720已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（）A. 0B. 10C. 15D. 30已知m，n为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，可以作为的充分条件的是（）A. mn，m，nB. mn，m，nC. mn，m，nD. mn，m，n科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012

3、年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B. 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C. 该企业连续12年来研发投入逐年增加D. 该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加已知，是两个单位向量，且夹角为，tR，则+t与t+数量积的最小值为（）A. -B. -C. D. 我国古代数学名著九章算术商功中阐述：“斜解立方，得两壍堵斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：四个侧面都是直角三角形；最长的侧棱

4、长为2；四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；外接球的表面积为24其中正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B. C. D. 已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，过F且倾斜角为120的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|=4，则抛物线C的准线方程为（）A. x=-B. x=-2C. x=-3D. x=-4已如函数f（x）=，若x1x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. 2，+）B. e-1，+）C. 3-2ln2，+）D. 3-2ln3，+）二、填空题（

5、本大题共4小题，共20.0分）已知a0，b0，且2是a，b的等比中项，则a+4b的最小值为_已知矩形ABCD，AB=12，BC=5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为_若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为_已知数列an中，a1=2，则=_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）在ABC中，AB=6，AC=4（）若sinB=，求ABC的面积；（）若=2，AD=3，求BC的长某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方

6、法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照55，65），65，75），75，85），85，95分组）分组频数55，65）265，75）475，85）1085，954合计20第一车间样本频数分布表（）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望如图，等腰

7、梯形ABCD中，ABCD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）（）证明：AEPB；（）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值已知椭圆C：=1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1MB1，NB2MB2（）求动点N的轨迹方程；（）求四边形MB2NB1面积的最大值已知aR，函数f（x）=+alnx，x（0，6）（）讨论f（x）的单调性；（）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）（x1x2）处的切线互相平

8、行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1，b，求b1-b2的取值范围在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30，且经过点A（2，1）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：cos=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C（）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|AQ|的值23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|（）求不等式f（x）4的解集；（）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，cR+，且a+b+c=m时，求+的最大值2019年辽宁省大连市高考数

9、学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. B5. C6. B7. D8. A9. A10. B11. C12. C13. 814. 15. 16. 17. 解：（）b=46=c，B为锐角sinB=，cosB=62+a2-12a，化为：a2-4a+4=0，解得a=2ABC的面积S=4（）=2，AD=3，设CD=x，则BD=2x在ABD与ABC中，分别利用余弦定理可得：cosB=，解得x=BC=18. 解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为200=60（人），（2分）估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为：400（0.025+0.05）10=300

10、（人）（II）第一车间生产时间平均值约为：=（602+704+8010+904）=78（min）第二车间生产时间平均值约为：=600.25+700.5+800.2+900.05=70.5（min），x1x2，第二车间工人生产效率更高（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为：X012P数学期望E（X）=119. （I）证明：连接BD，设AE的中点为O，ABCE，AB=CE=CD，四边形ABCE为平行四边形，A

11、E=BC=AD=DE，ADE，ABE为等边三角形，ODAE，OBAE，又OPOB=O，AE平面POB，又PB平面POB，AEPB（II）解：在平面POB内作PQ平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，直线PB与平面ABCE夹角为PBO=，又OP=OB，OPOB，O、Q两点重合，即PO平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，0），=（，0，-），=（，0），设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令x=得=（，-1，1），又OB平面PAE，=（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，设二面角A-EP-

12、C为，则|cos|=|cos|=，易知二面角A-EP-C为钝角，所以cos=-20. 解：（I）设N（x，y），M（x0，y0）（x00）NB1MB1，NB2MB2，直线NB1的方程为：y+3=x，直线NB2的方程为：y-3=-x，相乘可得：y2-9=x2又+=1，=-2y2-9=-2x2，化为：+=1（x0）（II）设N（x1，y1），M（x0，y0）（x00）四边形MB2NB1面积S=|B1B2|（|x1|+|x0|）=3|x0|，18，当=18时，S的最大值为21. 解：（）f（x）=-+=当a0时，f（x）0在x（0，6）上恒成立，函数f（x）在x（0，6）上单调递减，无单调递增区间；

13、（1分）当a0，且6，即时，f（x）0在x（0，6）上恒成立，函数f（x）在x（0，6）上单调递减，无单调递增区间当a0，且6，即a时，函数f（x）在上，f（x）0，f（x）此时单调递减函数f（x）在上，f（x）0，f（x）此时单调递增（3分）综上：当a时，函数f（x）在x（0，6）上单调递减，无单调递增区间当a时，函数f（x）在上单调递减；函数f（x）在上，单调递增（）x=2是函数f（x）的极值点，由（1）可知，=2，解得a=1设曲线在点P（x1，f（x1）处的切线方程为y-（+lnx1）=（-+）（x-x1），曲线在点Q（x2，f（x2）处的切线方程为y-（+lnx2）=（-+）（x-x2

14、）若这两条切线互相平行，则-+=-+，化为：+=-，且0 x1x26-，x1（3，4），两条切线在y轴上的截距：令x=0，则b1=+lnx1-1，b2=+lnx2-1b1-b2=+lnx1-1-（+lnx2-1）=4（-）-ln+ln（）令g（x）=8x-2-lnx+ln（-x），xg（x）=8-=g（x）在区间上单调递减，（10分）g（x）即b1-b2的取值范围是（12分）22. 解：（）直线l1的参数方程为，即（t为参数）（2分）设N（，），M（1，1），（0，10），则，即，即=4cos，曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x0）（5分）（）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中

15、，得，（7分）即，t1，t2为方程的两个根，t1t2=-3，（9分）|AP|AQ|=|t1t2|=|-3|=3（10分）23. 解：（）f（x）4或或，解得-x2，故不等式f（x）4的解集为x|-x2（）f（x）=，f（x）min=，即m=，又a，b，cR+且a+b+c=，z则2a+2b+2c=1，设x=，y=，z=，x2+y22xy，2xyx2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，同理：2yz2a+2c+2，2xz2c+2a+2，2xy+2yz+2xz2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz2a+1+2b+1+2c+

16、1+8=12，x+y+z2，即+2，当且仅当a=b=c=时，取得最大值2【解析】1. 解：由B中不等式解得：-1x2，即B=x|-1x2，A=-1，0，1，2，AB=0，1，故选：A求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2. 解：=的实部与虚部相等，a+1=1-a，即a=0故选：A利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3. 解：函数y=sinxcosx+1=2sin（x-）+1，令x-=k，可得x=k+，kZ，故函数的图象的对称中心为（k+

17、，1），故选：A利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称中心，得出结论本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的图象的对称中心，属于基础题4. 解：由已知中N=4，第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2 第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3 第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4 第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，故输出的p值是24 故选：B分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可

18、得到答案本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题5. 解：数列an是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15故选：C根据等差数列的性质，根据a2=4，a4=2，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题6. 解：由题意知，mn，且m，n，则故选：B根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可本题考查了面面垂直的判断问题，是基础题7. 解：由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比

19、2017年至2018年增量大，2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小，该企业连续12年来研发投入逐年增加，该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减故选：D由折线图和条形图可得答案本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题8. 解：由，是两个单位向量，且夹角为，所以|=|=1，=，则（+t）（t+）=t2+t2+（t2+1）=+2t=（t+2）2-，当且仅当t=-2时取等号，则+t与t+数量积的最小值为-，故选：A由平面向量数量积的性质及其运算得：（+t）（t+）=t2+t2+（t2+1）=+2t=（t+2）2-，当

20、且仅当t=-2时取等号，得解本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题9. 解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故正确；最长棱为PC，长度为，故正确；由已知可得，PB=，PD=，则四个侧面均不全等，故错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为，其表面积为，故正确其中正确的个数为3故选：A由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，然后逐一分析四个选项得答案本题考查由三视图还原原几何体，考查空间想象能力与思维能力，

21、是中档题10. 解：函数f（x）的定义域为（-，-）（-，）（，+）f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于中档题11. 解：抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F（，0），过F且倾斜角为120的直线方程设为y=-（x-），联立抛物线的方程可得y2+2py-p2=0，设A的纵坐标为y1，B的纵坐

22、标为y2，M，N的纵坐标为y1，y2，可得y1+y2=-，y1y2=-p2，则|y1-y2|=4，可得（y1+y2）2-4y1y2=192，即为+4p2=192，解得p=6，则抛物线的准线方程为x=-3故选：C求得抛物线的焦点坐标，以及直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到抛物线的准线方程本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题12. 解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时1因为当x1和x2都1时，f（x1）+f（x2）2，不满足题意，x1，x

23、2不可能同时1而x1x2，x11x2，f（x1）+f（x2）=，f（x1）+f（x2）=2，x1=1-2lnx2，x1+x2=1+x2-2lnx2，（x21）构造函数g（x）=1+x-2lnx，（x1）则令g（x）=0，即，解得x=2；令g（x）0，即，解得x2；令g（x）0，即，解得x2g（x）在（1，2）上单调递减，在x=2处取得极小值，在（2，+）上单调递增g（x）min=g（2）=3-2ln2g（x）3-2ln2x1+x23-2ln2故选：C本题可现根据题意及画出的分段函数的图象确定出x11x2，然后可将f（x1）和f（x2）代入到确定的表达式，得到x1和x2的关系式，再用x2表示x1

24、，则可只用x2表达x1+x2，再构造函数g（x）与x1+x2的表达式一致，通过求导方法判断出g（x）的值域即可得到x1+x2的取值范围本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题本题属中档题13. 解：a0，b0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，所以a+4b2=8，当且仅当a=4b时取得等号，即a=4，b=1时取得最小值8故填：8a0，b0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，再根据基本不等式处理即可，本题考查了等比中项的性质，基本不等式，属基础题14. 解：由题意可得点OA=OB=6，AC=13设双曲线的标准方程是则2c=12，c=6

25、，则2a=AC-BC=13-5=8，所以a=4所以双曲线的离心率为：e=故答案为：由题意可得点A，B，C的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a=AC-BC，求得a，进而求得c，则双曲线的离心率可得本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题15. 解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B，则P（A）=1-=1-=，P（AB）=，则P（B|A）=；故答案为：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B，分别求得P（AB）和P（A）的值，再利用条件

26、概率的计算公式运算求得结果本题主要考查条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于基础题16. 解：由得an+1（n+1+2an）=nan，即2anan+1+（n+1）an+1=nan，两边同时除以n（n+1）anan+1，得由累加法得，为等差数列，所以故答案为：利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的和即可本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力17. （）由b=46=c，可得B为锐角可得cosB=利用余弦定理可得a利用面积计算公式即可得出（）=2，AD=3，设CD=x，可得BD=2x在ABD与ABC中，分别利用余弦定理即可得出本题考查了

27、余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. （I）由样本频数分布表能估计第一车间生产时间小于75min的工人人数，由频率分布直方图能估计第二车间生产时间小于75min的工人人数（II）分别求出第一车间生产时间平均值主第二车间生产时间平均值，由此能求出第二车间工人生产效率更高（III）第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）本题考查频数、平均值、样本频数分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是中档题19. （1）连接BD，设AE的中点为O，可证AEPO，AEBO，故而AE平面POB，于是AEPB；（II）证明POOB，建立空间坐标