七年级数学有理数(学生讲义)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业有理数知识网络结构图知识点1：有理数的基本概念中考要求：有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识点总结： 正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了

2、.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像、等的数，叫做正数.在小学学过的数，除外都是正数.正数都大于.负数：像、等在正数前加上“”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于.既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“”，“”号叫做它的符号.正数前面的“”可以省略，注意与表示是同一个正数.用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.譬如：用正数表示向南，

3、那么向北可以用负数表示为.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:按定义整数与分数统称有理数. 注：正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数.板块一、基本概念例题讲解1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）0既不是正数也不是负数；0是最小的自然数；0是最小的正数；0是最小的非负数；0既不是奇数也不是偶数.A.0 B.1 C.2 D.32、下面关于有理数的说法正确的是（）A有理数可分为正有理数和负有理数两大类. B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合C. 整数和分数统

4、称为有理数 D. 正数、负数和零的统称为有理数板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值3、和是满足0的有理数，现有四个命题：的相反数是；的相反数是的相反数与的相反数的差；的相反数是的相反数和的相反数的乘积；的倒数是的倒数和的倒数的乘积其中真命题有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是( )A、正有理数B、负有理数C、零D、不可能5、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是_；6、有理数-3，0，20，-1.25，1.75，-12，-（-5）中，正整数有_个，非负数有_个；7、绝对值最小的有理数是_；绝对值等于3的数是_； 绝对值等于本身的数是

5、_；绝对值等于相反数的数是_数；一个数的绝对值一定是_数。8、-2.5的相反数是_，绝对值是_，倒数是_。9、平方是它本身的数是 ；倒数是它本身的数是 ； 相反数是它本身的数是 ；立方是它本身的数是 。绝对值小于4的所有整数的和是_；绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是_。10、在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 知识点2：比较大小比较大小的主要方法：代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小数轴法：数轴右边的数比左边的数大作差法：，作商法：若，取倒法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小板块一、数轴法、为有理数，在数轴上

6、如图所示，则（ ）A. B. C. D. 数所对应的点在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系 若有理数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ） A B C D在数轴上画出表示各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“”；连接起来实数在数轴上的对应点如图，试比较的大小板块二、代数法比较大小： 把四个数 和 用“”号连接起来比较，的大小已知，则，的大小关系是什么？若，则的大小关系 如果，请用“”将，连接起来.若，试不用将分数化小数的方法比较，的大小知识点3：运算及运算法则有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝

7、对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的符号；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.(加法交换律)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)有理数加法的运算技巧：分数与小数均有时，应先化为统一形式.带分数可分为整数与分数两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.若有同分母的分数或

8、易通分的分数，应先结合在一起.符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.有理数减法的运算步骤：把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.板块二、有理数基本乘法

9、、除法有理数乘、除法：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等. (乘法交换律)三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法结合律)一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法分配律)有理数乘法法则的推广：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，

10、一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.，()两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.例题讲解板块一、有理数的加减运算1、下列各组数中，数值相等的是（ ）A 、（2）和+（2） ； B、2 2 和（2）2；C、32 和（3）2 ； D、2 3 和（2）2、两数相加，其和小于每一个加数，那么（ ）. A、这两个数相加一定有一

11、个为零.B、这两个加数一定都是负数.C、这两个加数的符号一定相同.D、这两个加数一正一负且负数的绝对值大3、计算： 板块二、有理数的乘除运算奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正.计算下列各题：； 3、计算 ； ； ； 知识点四、字母相关的运算1、若，则_。2、若则_。3、若，则得值是 ；若，则得值是 .4、的最小值是 ，此时= 。5、若a,b互为相反数，c,d互为倒数，且，则 .6、已知|a|=5,|b|=2,ab0，b0，则下面关系式中正确的是( )A、ababB、baab C、abba D、baba8、若x0，则等于（ ）A、x B、0 C、2x D、2x9、对任意实数

12、a，下列各式一定不成立的是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知a0，且，那么的值是（ ）A、等于1 B、小于零 C、等于 D、大于零11、化简： 12、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，试化简ba0c 知识点六：应用1、某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-4，-8，+1，0，+10；，这10名同学的中最高分是多少？最低分是多少？，10名同学的平均成绩是多少？2、小李上周末买进股票1000股,每股20元,下表为本周每股票的涨跌情况: 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 4 5 1 3 6周三收

13、盘时,小李所持股票每股多少元?本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元?已知小李买进股票时付了1.5的手续费,卖出时需付成交额的1.5的手续费和3的交易税,若小李在本周末卖出全部股票,他的收益如何?一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续向前走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市以超市为原点，向东作为正方向，用个单位长度表示，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置小明家距离小彬家多远？货车一共行驶了多少千米？4、初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参加活动，游戏结束后，5个队的得分如下： 队：-50分；队：150分；队：-300分；队：0分；队：100分 将5个队按

14、由低分到高分的顺序排序； 把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；从数轴上看队与队相差多少分？队与队呢？5、“十一”黄金周期间，西樵山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表 （ 正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化单位：万人1.60.80.40.40.80.21.2若9月30日的游客人数记为5万人，则10月2日的游客人数： 万人 。请判断七天内游客人数最多的是 日，最少的是 日。以9月30日的游客人数为0点，用折线统计图表示这7天的游客人数情况：知识点七、科学计数法与有效数字知识点总结科学记数法：把一个大于10的数表示成的

15、形式（其中，是整数），此种记法叫做科学记数法例如：就是科学记数法表示数的形式也是科学记数法表示数的形式有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字如：有两个有效数字：2，7 ；有5个有效数字：1，2，0，2，注意：万，亿常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别记忆方法：移动几位小数点问题比如：要科学记数法，实际就是小数点向左移动到和之间，移动了位，故记为 例题讲解1、上海世博会的开幕式中，烟花的燃放是美景之一，而我们是先看到烟花，再听见声音，其原因是 光的传播速度大于声音的传播速度. 在常温下光的传播速度约为300 00

16、0 000m/s，声音的传播速度约为340m/s. 将300 000 000用科学记数法表示为（ ）A BCD2、全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水、保护水，是我们每一位 公民义不容辞的责任其中数字0.00003用科学记数法表示为（ ）A B C D 3、2010年北京市高考人数约8万人，其中统考生仅7.4万人，创六年来人数最低. 请将74 000用科学记数法表示为（ ） A B C D4、某种感冒病毒的直径为0.米，将0.用科学记数法表示为（ ） A3.1109 B0.3110-8 C3.1109 D3.110-95、某种流感病毒的直径是0.m，用科学记数

17、法表示0.为（ ）ABCD知识点八：找规律1、找规律计算：2、先阅读第（1）小题的计算过程，再计算第（2）小题；计算：解：原式= （2）计算： （3） 3、观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有 个，第n个图形共有 个4、观察下列等式：根据你发现的规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式；（2）第10个等式；（3）第n个等式；5、观察下面的式子： 小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？ 请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想6、用代表一种运算，若，试求值：（1）56，（2）2（34）重点题型

18、总结及应用题型一 绝对值理解绝对值的意义及性质是难点，由于|a|表示的是表示数a的点到原点的距离，因此|a|0可运用|a|的非负性进行求解或判断某些字母的取值例1 如果a与3互为相反数，那么|a +2|等于( )A5 B1 C-1 D-5例2 若(a-1)2+|b+2|0，则a+ b .规律若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0题型二 有理数的运算有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注意运算顺序及运算律的应用例3 (-1)2 011的相反数是( )A1 B-1 C2 011 D-2 011例4 计算：(1)；(2)题型三 运用运

19、算律简化运算过程 运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程例5 计算下列各题 (1)21-495+102-2-35+19；(2)；(3)；(4)点拨 (1)正、负数分别结合相加；(2)分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；(3)除法转化为乘法，正向应用乘法分配律；(4)逆向应用分配律a(b+c)ab+ac，即ab+aca (b+c)题型四 利用特殊规律解有关分数的计算题根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问

20、题的目的例6 计算下列各题(1)；(2)；(3)(4).点拨利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注意经常训练，提高思维的灵活性题型五 有理数运算的应用用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算例7 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：12，-08，23，17，-15，-27，2，-02，则这8箱橘子的总重量是多少? 例8 一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了35千米，到达

21、“捷达”修理部，继续向北走了75千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部 (1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“志远”三家修理部的位置吗? (2)“志远”修理部距“捷达”修理部多远? (3)货车一共行驶了多少千米?题型六 探索数字规律 找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题 例9 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，25小时后，这种细菌可分裂为( ) A8个 B16个 C32个 D. 64个例10 观察图1-6-2，寻找规律，在

22、“?”处应填上的数字是( )A128 B136 C162 D188解析：观察图个数字特点可发现：84+2+2；148+4+2；2614+8+4；所以“?”88+48+26162答案：C思想方法归纳 本章中所体现的数学思想方法主要有： 1数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算的重要工具这种把数与形(图形或数轴)结合起来进行研究的思想方法，是学习数学的重要思想方法 2分类讨论思想：a与-a哪个大呢? a的绝对值等于什么?在本章中，我们都是通过分类讨论解决问题，分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种情况，就会犯错误3转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值(小学所学的数)的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的 1数形结合思想数轴是数形结合的