2020年山东省专升本真题(数一)及解析(1)

1、 PAGE 8机密启用前试卷类型：公共课科目代码：102ft东省 2020 年普通高等教育专升本统一考试高等数学 I 试题本试卷分为第卷和第卷两部分，共 4 页。满分 100 分。考试用时 120 分钟。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写到试卷规定的位置上，并将姓名、考生号、座号填（涂）在答题卡规定的位置。第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效。第卷答题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

2、指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。第卷一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。当 x 0 时，以下函数是无穷小量的是()e xln( x 2)sin xD. cos x2. 平面2x 3 y 4z 8 与直线 x 1 y 2 z 的位置关系()234A. 平行B. 垂直C. 相交不垂直D.直线在平面上微分方程 y 7 y 8 y 0 的通解为()y C e x C

3、12e8 xB. y C e x C12e8 xy C ex1C e8 x2y C ex1C e8 x24. 曲线 y 2x3 3x2 1 的拐点()A. 1 , 1 B. 1 , 1 22 22 C. 1,0D.0, 1以下级数收敛的为()n2 1n3 2n2sin n3n1n1ln 1 1 D.3nn1n2 2n 1n1第卷二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）x 1 3函数 f (x) 的定义域为.函数 y 1 2ln x 在(1,1) 处的切线方程为.x若 baf (x)dx 1， b 2 f (x) 3g(x)dx 8 ，则b g(x)dx .aa已知两点 A

4、(1,2,0) 和 B(2, 3,2) ，则与向量 AB 同方向的单位向量是 .已知函数 f (x, y) 在 R 2 上连续，设 I 1 dxx f (x, y)dy 2 dx2 xf (x, y)dy ，则交换0010积分次序后 I .三、解答题（本大题共 8 小题，第 11-17 小题每小题 6 分，第 18 小题 7 分，共 49 分） x3 3x2求极限limx x2x2 x .求极限limx0 x sint 2 dt0.x3求不定积分x ln xdx .x求过点(1,2,2) 且与两平面 x 2 y z 1 和2x y 3z 2 都垂直的平面方程.已知 z x siny2 zx ，

5、求xy .计算二重积分Dcos( x2 y2 )d ，其中 D 由 y x ， y 3x 与 x2 y2 所332围成的在第一象限内的闭区域.求微分方程 y y ex x 的通解。求幂别级数n0 xn2 n 1的收敛域及和函数.四、应用题（本大题共 7 分）计算由曲线 y x2 4 与直线 y 2x 4 所围成的平面图形的面积.五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）x证明当 x 1时， x ln x 4 3 .21.设函数 f (x)在0,1上连续，且 f (1) 1，证明：对任意的实数 (0,1) ，存在 (0,1) ，使得 f () . 2机密启用前试卷类型：公共课

6、山东省 2020 年普通高等教育专升本统一考试高等数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）题号12345答案CBDAC答案：C.解析：根据无穷小量定义可知，函数limsin x 0 ， sin x 是无穷小量。x0答案：B.n ，解析：平面的法向量n = (2, 3,4) ，直线的方向向量s = (2, 3,4) ，显然 s 故平面和直线垂直。答案： D.解析：特征方程r 2 7r 8 0 ，特征值r1 8, r2 1 ，故通解为 y C ex1C e8 x 。2答案：A.解析： y 6x2 6x ， y 12x 6 ，令 y 0 ，解得 x

7、 1 ，211左右两侧 y 的符号发生了改变，故 , f( 1 ) 为拐点，即 1 , 122222显然当 x 。答案：C.解析：利用比较判别法等价无穷小的结论：ln(1 x)x(x 0)ln 1 1 故limnn2 1n2 1 ，而n11 收敛，故n2n1ln 1 1 收敛。n2 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）6.答案：3, )解析：由原题得 x 1 0 ，解得 x 33答案： y x .解析： y | 1 2 1 ，故切线为 y 1 x 1，即 y x 。8.答案： 2.x1x2x x1解析： 8 2b f (x)dx 3b g(x)dx 2 3b g(x)

8、dx ，故 b g(x)dx 2 .aaaa2 159.答案： 2 , , .66 1 3AB| 9 2526152,解析：AB (3, 5,2) ，则|，故e,( 5, 2), 。10.答案： I 1 dy 2 y0y2f (x, y)dxx 0, x 1x 1, x 2AB6266解析: X 型积分区域为 y 0, y x y 0, y 2 x所围封闭区域，0 y 1转化为Y 型积分区域为，故 I 1 dy 2 yf (x, y)dx . y2 x 2 y0y2三、解答题(本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）解：通分利用已知结论，得 x3 3x2x3 3x2 x(x2 x 2

9、)2x2 2xlim x lim lim 2x x2 x 2xx2 x 2xx2 x 2解： limx0 x sint 2 dt0 x3 lim sin x2 1x03x23解： x ln xdx x1 dx ln xdx 2xx1dx ln xd ln x2xx1 2(ln x)2 C2ijk14.解：所求平面的法向量为n 121 (7, 5, 3)213又过点(1,2,2) ，故平面的点法式方程为7( x 1) 5( y 2) 3(z 2) 0 ， 即7 x 5 y 3z 11 0 。z sin yy xxsin siny cosy y sin y y cos y15.解： xxxxxxx

10、;xxx2 z sin y y cos y y cos y xyx x xx x yyy 1 cos y 1 cos y y sin y y sin yxxxxx2xx2x解：利用极坐标，积分区域D 可表示为D r, 6 3,0 r 23所以 cos(x2 y2 )d d2 cos r 2 rdrD62 1200cos r2 dr2 sin r 2 12 .2012解：令 P(x) 1,Q(x) ex x ，利用常数变异公式得y e P( x)dx Q(x)e P( x)dxdx C edx (ex x)edxdx C e x (ex x)exdx C e x (ex x)dex C e x

11、exdex xdex C e x 1 e2 x xex ex C 。 2解：级数n0 xn2 n 11为标准级数，且lim n 1 1 ，故收敛半径 R 1 ；x1n当 x 1 时，级数为n0(1)n2n 1收敛，当 x 1 时，级数为1n 1n0发散，故收敛域为1,1)。设 S(x) n0 xn2 , x (1,1)，则 S (x) x n 1n0 xn1n 1 ，记 S (x) 1n0 xn1 n 1, 则 xn1 xn1 1S (x) 1n0 n 1 n0 xnn1n0 1 x故 S (x) S (0) x S(t)dt x1 dt ln(1 x) ，又 S 0()0，从而 S(x) l

12、n(1 x) ，11010 1 t11故 S (x) x ln(1 x) ， x (1,1)； (1)n2 (1)n11当 x 1 时， S(1) (1)n1 ln(11) ln1 (1)n0n 1nnn1n1故 S (x) x ln(1 x) ， x 1,1).四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）解：所围成图形的面积为面积为S 2 (x2 4) (2x 4)dy 2 (x2 2x)dy 4 。003五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）x20.证明：令 f (x) x ln x 4 3 ， 且 f (1) 0 xx 1 2x(x 1)2当x 1