圆锥曲线难题集锦

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业圆锥曲线难题集锦徐荣先汇编1. 如图所示， 分别为椭圆 ：（）的左、右两个焦点， 为两个顶点，已知椭圆 上的点 到 ， 两点的距离之和为 （1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 的焦点 作 的平行线交椭圆于 ， 两点，求 的面积2. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，过左焦点且倾斜角为 的直线被椭圆截得的弦长为 （1）求椭圆 的方程；（2）若动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点 作 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程3. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上（1）求 的方程；（

2、2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值4. 已知 的顶点 ， 在椭圆 上，点 在直线 ： 上，且 （1）当 边通过坐标原点 时，求 的长及 的面积；（2）当 ，且斜边 的长最大时，求 所在直线的方程5. 已知椭圆 的中心为坐标原点 ，一个长轴顶点为 ，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于异于椭圆顶点的两点 ，且 （1）求椭圆的方程；（2）求 的取值范围6. 已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上横坐标为 ，且位于 轴上方的点， 到抛物线准线的距离等于 ，过 作 垂直于 轴，

3、垂足为 ， 的中点为 （1）求抛物线的方程；（2）若过 作 ，垂足为 ，求点 的坐标7. 已知圆 过定点 ，且与直线 相切，圆心 的轨迹为 ，曲线 与直线 相交于 ， 两点（1）求曲线 的方程；（2）当 的面积等于 时，求 的值8. 已知直线 与椭圆 相交于 两个不同的点，记 与 轴的交点为 （1）若 ，且 ，求实数 的值；（2）若 ，求 面积的最大值，及此时椭圆的方程9. 如图，设抛物线 （）的焦点为 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 （1）求 的值；（2）若直线 交抛物线于另一点 ，过 与 轴平行的直线和过 与 垂直的直线交于点 ， 与 轴交于点 求 的横坐标的取值范围10. 已知点 在椭

4、圆 上，且点 到两焦点的距离之和为 （1）求椭圆 的方程；（2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，以 为底作等腰三角形，顶点为 ，求 的面积11. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 （1）求椭圆 的方程；（2）若 ， 是椭圆 上的两个动点，且使 的角平分线总垂直于 轴，试判断直线 的斜率是否为定值?若是，求出该值；若不是，说明理由12. 已知椭圆 ： 的离心率为 其右顶点与上顶点的距离为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点（1）求椭圆 的方程；（2）设 是 中点，且 点的坐标为 当 时，求直线 的方程13. 设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直直线 与 的另

5、一个交点为 （1）若直线 的斜率为 ，求 的离心率；（2）若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ，14. 在平面直角坐标系 中，点 ，直线 与动直线 的交点为 ，线段 的中垂线与动直线 的交点为 （1）求点 的轨迹 的方程；（2）过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，求证： 的大小为定值15. 已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 （1）求该双曲线 的方程；（2）若直线 ： 与双曲线 左支有两个不同的交点 ，求 的取值范围16. 己知椭圆 与抛物线 共焦点 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 ，且椭圆与抛物线的交点 满足 （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点 作抛

6、物线的切线 交椭圆于 ， 两点，设线段 的中点为 ，求 的取值范围17. 已知右焦点为 的椭圆 ： 关于直线 对称的图形过坐标原点（1）求椭圆 的方程；（2）过点 且不垂直于 轴的直线与椭圆 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称原点为 ，证明：直线 与 轴的交点为 18. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点是原点，以 轴为对称轴，且经过点 （1）求抛物线 的方程；（2）设点 ， 在抛物线 上，直线 ， 分别与 轴交于点 ，求直线 的斜率19. 已知抛物线 与直线 相切（1）求该抛物线的方程；（2）在 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 ，过该点的动直线 与抛物线 交于 ， 两点，使得 为定值如果

7、存在，求出点 坐标；如果不存在，请说明理由20. 左、右焦点分别为 ， 的椭圆 经过点 ， 为椭圆上一点， 的重心为 ，内心为 ，（1）求椭圆 的方程；（2） 为直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， 为切点，问直线 是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由21. 已知抛物线 ， 为其焦点，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，如图所示（1）求点 的轨迹 的方程；（2）直线 是抛物线的不与 轴重合的切线，切点为 ， 与直线 交于点 ，求证：以线段 为直径的圆过点 22. 已知椭圆 ，其短轴为 ，离心率为 （1）求椭圆 的方程；（2）设椭

8、圆 的右焦点为 ，过点 作斜率不为 的直线交椭圆 于 ， 两点，设直线 和 的斜率为 ，试判断 是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，过 作直线 交抛物线于 ， 两点，且 （1）求直线 的斜率；（2）若 的面积为 ，求抛物线的方程24. 过双曲线 的右支上的一点 作一直线 与两渐近线交于 ， 两点，其中 是 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当 坐标为 时，求直线 的方程；（3）求证： 是一个定值25. 如图，线段 经过 轴正半轴上一定点 ，端点 ， 到 轴的距离之积为 ，以 轴为对称轴，过 ， 三点

9、作抛物线 （1）求抛物线 的标准方程；（2）已知点 为抛物线 上的点，过 作倾斜角互补的两直线 ，分别交抛物线 于 ，求证：直线 的斜率为定值，并求出这个定值26. 如图，已知椭圆 的左右顶点分别是 ，离心率为 设点 ，连接 交椭圆于点 ，坐标原点是 （1）证明：；（2）若三角形 的面积不大于四边形 的面积，求 的最小值27. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点， 的延长线与直线 分别交于 ， 两点（1）求动点 的轨迹方程；（2）连接 ，求 与 的面积比28. 已知抛物线 过点 过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与

10、直线 ， 交于点 ，其中 为原点（1）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证： 为线段 的中点29. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 点 在椭圆 上，且位于第一象限，过点 作直线 的垂线 ，过点 作直线 的垂线 （1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 ， 的交点 在椭圆 上，求点 的坐标30. 如图： 中，曲线 过 点，动点 在 上运动，且保持 的值不变（1）建立适当的坐标系，求曲线 的标准方程；（2）过 点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 ， 两点，求 的长度31. 已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点；抛物线 的焦点

11、在 轴上，顶点在坐标原点在 ， 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求 ， 的标准方程；（2）已知定点 ， 为抛物线 上一动点，过点 作抛物线 的切线交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值32. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 与椭圆 有且仅有一个交点 （1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与 轴交于 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，若 ，求实数 的取值范围33. 已知点为双曲线为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为A，连接并延长交轴于点（1）求线段的中点P的轨迹E的方程； yxOAPP1P2F1F2（2）设

12、轨迹E与轴交于B，D两点，在E上任取一点Q直线QB，QD分别交于轴于M，N两点求证：以MN为直径的圆过两定点34. 如图，已知圆G：是椭圆=1的内接的内切圆，其中A为椭圆的左顶点（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切yxOCBFGAME35. 设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求的垂心所在的曲线方程；yxABMPNx=mO（2）求证：三点共线36. 作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且在直线的左上方.（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积. 37.

13、如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.（1）求，的方程；（2）设与轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B，直线MA,MB分别与相交与.证明：；记,的面积分别是，.问：是否存在直线,使得？请说明理由.38. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点，点关于轴的对称点为 .（1）证明：点在直线上；（2）设，求的内切圆的方程 .39. 是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右顶点，直线的斜率之积为.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值.40.已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率.（

14、1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OGH的面积Ol2yGMNExl141.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值 42.如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大

15、时直线l的方程43.设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 44.45. 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断DEG的形状；若不存在，请

16、说明理由. 46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由47. 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.()求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；()当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使

17、得F1NF2的面积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.48.已知一条曲线C在y轴右边，每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.()求曲线C的方程；（）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。49.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。50 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭

18、圆相交与两点，且。求椭圆的离心率； 求直线AB的斜率； 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 51.设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足，记动点的轨迹为。（1）求曲线的方程；（2）若点的坐标为，是曲线上的两个动点，并且，求实数的取值范围；（3）是曲线上的任意两点，并且直线不与轴垂直，线段的中垂线交轴于点，求的取值范围。52.如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍（）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；（）求三角形的面积的最大值53.已知椭圆E：（ab0）的离心率e，左、右焦点

19、分别为F1、F2，点P（2,），点F2在线段PF1的中垂线上 （1）求椭圆E的方程； （2）设l1，l2是过点G（，0）且互相垂直的两条直线，l1交E于A， B两点，l2交E于C，D两点，求l1的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，设AB，CD的中点分别为M，N，试问直线MN是否恒过定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。54.已知圆E：x2+（y）2=经过椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=（0）（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程55

20、.已知：一动圆过且与圆A:相切。（1）证明动圆圆心P的轨迹是双曲线，并求其方程；（2）过点B作直线交双曲线右支于、两点，是否存在的值，使得 成为以为直角的等腰三角形，若存在则求出的值，若不存在则说明理由。56.已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，PF1F2的周长为4+2，直线l：y=kx+m（k0）与椭圆C相交于A，B两点（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程；（）若|AB|=2，

21、试判断直线l与圆x2+y2=1的位置关系57.如图已知椭圆的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为D，K，E。（1）求椭圆C的方程；（2）试探索当变化时，直线AE是否经过一定点N？若是求出N的坐标并给予证明；否则说明理由。（3）设梯形ABED的面积为的面积为，求最小值。58.已知椭圆E： SKIPIF 1 0 的左焦点为F，左准线 SKIPIF 1 0 与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线 SKIPIF 1 0 交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P，使得 SKIPIF 1 0时，求椭圆离心率的范围；（）直线AB与P能否相切？证明你的结论67.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求ABM的面积68.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF