信号分析与处理：第3章 连续时间信号与系统的频域分析1

1、第3章 连续时间信号与系统的频域分析3.1周期信号的傅里叶级数3.2连续时间非周期信号的傅里叶变换3.3傅里叶变换的性质3.4周期信号的傅里叶变换3.5连续时间LTI系统的频域分析3.6连续系统的时域抽样定理3.7连续系统频域分析的MATLAB实现3.1 周期信号的傅里叶级数傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅立叶的两个最主要的贡献周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和3.1 周期信号的傅里叶级数傅里叶分析的工

2、程意义各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和变换容易工程实现。正弦量只需三要素即可描述，LTI系统的输入和输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号的振幅和相位。 是LTI系统的特征函数，响应易求且简单。1、傅里叶分析的基本信号单元3.1 周期信号的傅里叶级数2、适用于广泛的信号 由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信号，使得对任意信号作用下的LTI系统进行频域分析成为一件容易的事情。利于滤波、压缩处理。3.1 周期信号的傅里叶级数3、频域分析的优势任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线性组合，分析LTI系统对这些不同频率单元信号作用的响应特性的过程就是频域分析。频率分析可以

3、方便求解系统响应。 例如相量法。频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。周期信号满足狄里赫利条件时：1、在一个周期内只有有限个间断点；2、在一个周期内有有限个极值点；3、在一个周期内函数绝对可积，即才能展开为傅里叶级数。3.1 周期信号的傅里叶级数完备正交函数集:三角函数集1，cos(nt)，sin (nt)，n=1,2, 虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间( t0，t0+T1 ) (T1=2/ )上的完备正交函数集。3.1.1 周期信号的傅里叶级数1、傅里叶级数的三角形式设周期信

4、号x(t)，其周期为T1，角频率1=2 /T1，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为x(t)的傅里叶级数 系数ak , bk称为傅里叶系数 可见， ak 是k的偶函数， bk是k的奇函数。2.2 周期信号的傅里叶分析三角函数的傅里叶级数直流分量基波分量k =1 谐波分量k1式中，A0 = a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(2 1t +2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Akcos(k 1t+k)称为k次谐波。 可见

5、Ak是k的偶函数， k 是k的奇函数。ak = Akcosk， bk = Aksin k，k=1,2,将上式同频率项合并，可写为2.2 周期信号的傅里叶分析对应系数幅度谱相位谱 周期函数的频谱周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处；频谱特点：离散性、谐波性、收敛性；直观看出：各分量的大小，各分量的频移。Ak幅度谱相位谱谱线包络线2、波形的对称性与谐波特性(1) x(t)为偶函数对称纵坐标(2) x(t)为奇函数对称于原点傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。傅里叶级数中只含正弦项。2.2 周期信号的傅里叶分析实际上，任意函数x( t )都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 x(t)

6、 = xod( t ) + xev( t ) 由于x( -t ) = xod( -t ) + xev( -t ) = -xod( t ) + xev( t ) 所以 (3) x(t)为奇谐函数x(t) = x(tT/2)若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化。2.2 周期信号的傅里叶分析其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即 a0=a2=b2=b4=0 (4) x( t )为偶谐函数x( t ) = x( tT/2)x( t )的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0 2.2 周期信号的傅里叶分析2、傅里叶级数的指数形

7、式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 2.2 周期信号的傅里叶分析由前知引入了负频率其中由欧拉公式指数级数2.2 周期信号的傅里叶分析由前知引入了负频率其中由欧拉公式指数级数2.2 周期信号的傅里叶分析表明：任意周期信号x( t )可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 X0 = a0/2为直流分量。称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。 (k = 0, 1, 2，) 两种傅氏级数的系数间的关系: 2.2 周期信号的傅里叶分析3、三角形式与指数形式的比较三角形式便于电路计算，便于对称性

8、分析指数形式是本课程研究的主要形式 k = 0, 1, 2， 指数形式的优势可推出傅里叶变换 表达最简练 代表频谱2.2 周期信号的傅里叶分析2.2 周期信号的傅里叶分析3.1.2 周期信号的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将Ak和k的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为k0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Xk|和k的关系，称为双边谱。若Xk为实数，也可直接画Xk 。2.2 周期信号的傅里叶分析1、周期矩形脉冲

9、信号的频谱周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为，脉冲幅度为E，周期为T1，求频谱。 EE 抽样信号(抽样函数）抽样信号的数学描述：2.1 连续时间信号的时域分析2.2 周期信号的傅里叶分析离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各谱线的幅度按 包络线变化；过零点为： ；主要能量在第一过零点内。主频带宽度为：周期矩形脉冲信号频谱的特点E2.2 周期信号的傅里叶分析谱线的结构与波形参数的关系：(a) T1一定，变小，此时1（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目增多。周期不变时，脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零值点的频率越高，即信号的带宽

10、越大，频带内所含的分量越多 。过零点2.2 周期信号的傅里叶分析如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。 (b) 一定，T1增大，间隔1减小，频谱变密。幅度减小。2.2 周期信号的傅里叶分析2、周期三角脉冲信号的频谱周期信号频谱图特点：1）离散性；2）谐波性；3）收敛性。傅立叶级数的主要性质若 ， ，则傅立叶级数的主要性质若 ， ，则（1）（2）（3）例 已知x(t)的波形如下图所示，试求其傅立叶级数表示式。解法一 直接利用定义求解解法二 利用傅立叶级数微积分性质求解解法三 利用单周期傅

11、立叶变换和周期信号傅立叶级数的关系求解截取x(t)一个周期的信号x1(t)，不妨令例 已知下图单位冲激序列 试求其傅立叶级数及频谱。解解：例：求下图周期矩形信号的傅立叶级数。3.2 非周期信号的傅里叶变换3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换 非周期信号x(t)可看成是周期T1时的周期信号。 前已指出当周期T1趋近于无穷大时，谱线间隔1趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令 (单位频率上的频谱） 称X()为频谱密度函数。频谱演变的定性观察-T/2T/2T/2-T/2时限信号当

12、周期信号的周期T趋于时, 就演变成非周期信号 。频率也变成连续变量。对周期信号从傅立叶级数到傅立叶变换傅立叶变换傅立叶逆变换频谱密度傅立叶变换傅立叶逆变换X()称为x(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。x(t)称为X()的傅里叶反变换或原函数。与 之间的关系： 周期信号的频谱是非周期信号频谱的抽样；而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络。从物理意义来讨论非周期FTX()是一个密度函数的概念X() 是一个连续谱X() 包含了从零到无限高频的所有频率分量各频率分量的频率不成谐波关系或 x(t) X()傅立叶变换也可简记为：X( )一般是复函数，写为说明： (1)前面推导并未遵循严格的数学步

13、骤。可证明，函数x( t )的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分。|X()|幅度谱 ()相位谱非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，其形状与相应周期信号频谱的包络线相同。 1. 矩形脉冲信号 （门函数） 周期信号的频谱：AAA3.2.2 典型非周期信号的频谱2. 单边指数信号 x( t ) = eat(t)， a0实数 f (t)0t0双边指数信号a为正实数3. 符号函数 4. 单位冲激信号 5. 直流信号(t)1代入反变换定义式，有将t，t-再根据傅里叶变换定义式 冲激偶的傅立叶变换有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，( t ) 等，但傅里叶变换却存在。直

14、接用定义式不好求解。 可构造一函数序列xn( t )逼近x ( t ) ，即而xn( t )满足绝对可积条件，并且xn( t )的傅里叶变换所形成的序列Xn( )是极限收敛的。则可定义x(t)的傅里叶变换X ()为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。 广义傅里叶变换6. 单位阶跃信号的傅立叶变换归纳记忆：1. 傅氏变换对2. 常用函数 F 变换对：(t)(t) e -at(t) g(t) sgn (t) e a|t| 1 12()3.3 傅里叶变换的性质1. 线性(Linear Property)若则对于任意常数a1和a2，有 证明: F a1 x1(t) + a2 x2(t)= a1

15、X1() + a2 X2() For example X() = ?Ans: x (t) = x1(t) g2(t)x1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() X() = 2() - 2Sa()-若 x ( t ) X() 则其中“ t0” 为实常数。证明： F x (t t0 ) 2. 时移性质(Timeshifting Property) 时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 。For example 1 X() = ?Ans: x1( t ) = g6(t - 5) , x2( t ) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t

16、 - 5) X() =+For example 2若 x (t) X() 则证明：其中 “0” 为实常数。F e j0t x(t)= X(-0) end3. 频移性质(Frequency Shifting Property)频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移 单位，在时域就对应于其时间信号x( t )乘以 。 For example 1x( t ) = ej3t X() = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3)For example 2x( t ) = cos0t X() = ?Ans:X() = (+0)+ (-0)x( t ) =sin（ 0t ） X() = ?

17、j(+0) -(-0)For example 3Given that x( t ) X() The modulated signal x( t ) cos0t ? Ans: For example 4Given that ( t ) The modulated signal ( t ) cos0t ? Ans: 4. 尺度变换性质(Scaling Transform Property)若 x (t) X() 则 其中 “a” 为不等于零的实常数。证明：F x (a t ) =For a 0F x (a t ) for a 0F x (a t ) That is ,如果 a = -1,有x (-

18、 t ) X( -) 若要压缩信号持续时间，提高通信速率，则不得不以展宽频带作代价。For example 尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。 若a 0） 的傅里叶变换。For example 2求信号 的傅里叶变换。For example 3For example 4时域有限，频域无限；时域无限，频域有限。10000若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称6. 时域卷积（Convolution in time domain）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t)*x2(t) X1(

19、) X2()7. 频域卷积（Convolution in frequency domain）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t) x2(t) X1() * X2()证明： F x1(t)*x2(t) =利用时移性质，所以 F x1(t)*x2(t) = X1()X2()已知为矩形脉冲信号,求的傅里叶变换。根据时域卷积定理，有的傅里叶变换为门函数其实，y(t) 是脉宽为2、脉高为的三角脉冲。For example 1Ans:For example 2Ans:利用对偶性，For example 3调制解调2.3 非周期信号的傅里叶变换x( t )例：求余弦脉冲的

20、频谱相乘卷积乘FTFT卷8. 时域微分(Differentiation in time domain)证明：若 则 两边对t求导，得 所以 x( t )= 1/t2 ?For example 1Ans:对偶性质微分性质For example 2Determine x ( t ) X ()Ans:X(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)X2()= F x(t) = (j )2 X ()= e j2 2 + e j2= 2 cos(2) 2 X () =利用傅里叶变换的性质求解下图各信号的傅里叶变换。def证明：9. 时域积分性质例：用FT积分特性求阶跃的FT解：傅立叶变换性质 频域微

21、分与积分特性10.帕塞瓦尔定理该性质表明，对于非周期信号，在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。作业3-3 （c）3-43-5 （1）3-7 3-8方法一：在频域上直接计算；方法二：将 变为 ，在时域上求出 的傅立叶变换，再用对偶性 求出 。 逆傅里叶变换(补充）例 的模与相位特性如图所示，求 的 傅立叶逆变换 。解:法一 利用频域微积分性质。利用频域微积分性质：利用时域微分性质：解法二 利用对偶性和时域微分性质。由对偶定理，有例 求下列各式中 的傅立叶逆变换 。解（a）解（b）求下列信号的逆变换3.4 周期信号的傅里叶变换1. 正、余弦信号的傅里叶变换 12()由频移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t )= (e j 0 t - e j 0 t )/