自动控制理论：7第七章-非线性系统的分析

1、第七章非线性系统的分析7.1非线性系统的概述7.2二阶线性和非线性系统的相平面分析7.3非线性系统的相平面分析7.4非线性系统的描述函数分析法 7.5 典型非线性系统的稳定性本章重点1.非线性系统概念和特点 ；2.相平面法；3.描述函数法；4.改善非线性系统性能的措施。严格地说线性系统在实际中不存在，而非线性系统是普遍存在的。构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，即称此系统是非线性系统。非线性系统千差万别。 线性系统中引入非线性控制可以改善系统的性能。线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和齐次性性质。非线性控制系统： 非线性系统和线性系统之间的本质差别：非线性系统叠加

2、原理不能应用。 3非线性系统不能求出完整的解，只能对非线性系统的运动情况进行估计，例如系统的稳定性和动态品质等等。非线性科学耗散结构论、突变论、协同论、混沌、分形。更具有前沿性、交叉性和普适性。2线性系统可以用常微分方程来描述，而非线性的微分方程只在某些特殊的情况下才有解析解。4非线性系统呈现出更为复杂和多样的动力学特性。7.1非线性系统的概述一、非线性系统的数学描述 描述大多数非线性系统的数学模型是n阶非线性常微分方程，形式为：h()表示非线性函数。u(t)是输入，y(t)是输出。二、控制系统中非线性特性的分类非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。本质非线性：当输入信号超出其线性范围后，输出

3、信号不再随输入信号变化而保持恒定。放大器的饱和输出特性磁饱和元件的行程限制功率限制等等。1. 饱和特性 输入 输出2. 死区特性（不灵敏区特性）很小时作为线性特性处理较大时将使系统静态误差增加，系统低速不平滑性各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；等等。数学描述为：a为死区宽度 输出 输入 输出 输入3. 滞环特性铁磁部件的元件：电液伺服阀中的力矩马达非单值非线性4. 间隙特性（回环）齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙数学描述为：间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。同时使稳态误差增大。5. 继电器特性a为继电器的吸合电

4、压。ma为继电器的释放电压。M为常值输出。几种特殊的继电器特性 输入 输出在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。6. 非线性增益大偏差时，具有较大增益加快系统响应。小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。三、非线性系统的特点与分析方法（一）非线性系统的特点1. 系统的稳定性 动态特性和稳定性不仅和系统的结构和参数有关，还和初始条件有关。同一结构和参数的系统可能因为初始条件的不同运动的最终状态可能完全不同。2. 系统的自持振荡线性系统只能当其参数不位于稳定边界时，只能收敛于平衡状态或者发散，只有处于临界稳定时，才能产生自持振荡。非线性系统中即使没有外界的激励也可能发生某一固定幅值和

5、频率的振荡，称为自持振荡。3.频率响应的畸变在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则是包含了高次谐波分量的非正弦周期函数，因此不能应用频率特性、传递函数这些线性系统常用的方法来分析和综合非线性系统，也不能应用象单位阶跃等典型输入信号作为评价非线性系统性能的试验信号。因此目前尚无一般通用的方法来分析和设计非线性控制系统。4.系统的共振现象线性系统中，如外施信号的频率与系统本身固有的无阻尼自振频率相同时，系统将产生共振。而非线性系统不会发生线性系统那样的共振现象。（二）非线性系统的分析和设计方法非线性方程没有统一的求解方法，不能应用叠加原理。对于非线性不严重的系统可用小偏差线性化的方法，对于本质非

6、线性可采用分段线性化的方法。对于非线性控制系统，在许多实际问题中，并不需要求得其响应的精确解。而是讨论问题系统是否稳定；系统是否产生自持振荡，如产生，其幅值和频率是多少；如何消除自持振荡。分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的方法也可以分析复杂的非线性系统。7.2二阶线性和非线性系统的相平面分析一、相平面、相轨迹和平衡点二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶的微分方程来表示：状态平面是一个二维的平面，x1(t),x2(t)表示一个解，t固定时，其解对应相平面上的一个点。当t变化时x1(t) 对应于x2(t)在状态平面上形成的运动轨迹称为状态平面轨

7、迹。（7-2-1)（7-2-2)当（7-2-1)为这种形式时，状态平面轨迹称为相平面轨迹，或是相轨迹。平衡点：状态x10,x20称为在t0时刻平衡点，条件为对于所有的tt0, 有奇点：在相轨迹上满足条件为不定值的点为奇点。也可以写作奇点也是平衡点。二、二阶线性系统的特征二阶线性系统的微分方程为令x=x1,也可以写作又知二阶系统的特征根为 1. 0时，系统处于无阻尼状态，1、2为共轭虚根。分离变量，然后对两侧分别积分得到其中x10、x20为初始状态。0时二阶线性系统的相轨迹每一个椭圆对应一个周期运动，原点处有一孤立奇点，叫做中心点。2. 01时，系统处于欠阻尼状态，1、2为左半平面共轭复根。01

8、时二阶线性系统的相轨迹方程的解为运动收敛于平衡状态(坐标原点)，系统是稳定的。平衡点称为稳定焦点。运动趋向于平衡状态的过程是周期性的振荡过程。3. 1时，系统处于过阻尼状态，1、2为左半平面负实根。方程的解为运动收敛于平衡状态，系统是稳定的。运动趋向于平衡状态的过程是非周期性的。平衡点为稳定节点。相轨迹趋于原点，该奇点称为稳定节点。相轨迹远离原点，该奇点为不稳定节点。 相轨迹振荡趋于原点，该奇点为稳 定焦点。 相轨迹振荡远离原点，为不稳定焦点。相轨迹为同心圆，该奇点为中心点。系统特征根一正一负，相轨迹先趋向于然后远离原点，称为鞍点根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定焦点鞍点j

9、0j0j0二、二阶非线性系统的特征二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，即由系统本身的结构和参量决定，与系统的初始状态无关。不同初始状态只能形成一组形态相似的相轨迹，不能改变相轨迹的性质。不同初始状态决定的相轨迹不会相交，可能有部分重合。只有在奇点处，才能有无数条相轨迹逼近或离开它。局部相轨迹可以推知全局。不会形成在全部时间内有定义的孤立封闭曲线形状的相轨迹。对于二阶非线性系统，由于没有一般的求解非线性微分方程的方法，通常用解析方法求出时间解是不可能的。可以用小范围线性化方法求出其在平衡点附近的线性化方程。再分析系统的相轨迹和奇点的情况。 利用相平面分析法研究二阶非线性系统的基本

10、思想是：对于二阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然后通过相轨迹来研究系统的运动。二阶系统时间解x对时间的导数曲线相轨迹图相轨迹的运动特性1、相轨迹的运动方向（1）上半平面的相轨迹右行； （2）下半平面的相轨迹左行；（3）过实轴相轨迹斜率为。 2、相轨迹的对称满足某对称条件时，相轨迹曲线可以对称画出。（1）x1 轴对称条件满足条件由斜率方程相轨迹 x 轴对称。x 轴上下，相轨迹斜率大小相等，符号相反。 （2） x2轴对称条件同理，满足条件相轨迹x2轴对称。 x2轴左右，相轨迹的斜率大小相等，符号相反，（3）原点对称条件同理，满足条件相轨迹原点对称。对称于原点，相轨迹的斜率大小相等符号相

11、反。3、相轨迹的奇点奇点定义：二阶系统 斜率方程 相平面上满足的点，称为相轨迹的奇点。在奇点上，相轨迹的斜率不定，即为 二阶线性系统，奇点是唯一的，位于原点。二阶非线性系统，奇点可能不止一个。 4、奇点邻域的运动性质由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，所以可以引出无穷条相轨迹。相轨迹在奇点邻域的运动可以分为1.趋向于奇点2.远离奇点3.包围奇点 5、极限环极限环是非线性系统的运动在相平面上的一种特殊的运动情况。表现为非线性的自持振荡，在相平面上成为闭合的相轨迹如图所示。非线性系统的极限环情况比较复杂，不同的系统会有不同形式的极限环。 特殊二阶线性系统的相轨迹7.3非线性系统的相平面分析一、绘制相轨

12、迹的方法求解二阶系统相轨迹的方法：解析法和图解法。系统的微分方程可写成如下相变量方程的形式：(一）解析法对其积分，得到x1和x2的关系式，就是相轨迹方程。例：含理想继电器特性的非线性系统如图所示，线性部分的输入输出的关系为：非线性部分（理想继电器特性）输入与输出的关系为：试绘制相轨迹。解：选择状态变量，令则系统的相变量方程为相除得：对上式积分：当x10，x1增加，相轨迹由左向右。下半平面x20，x1减少，相轨迹由右向左。(5)奇点类型六种奇点：中心点、稳定焦点、稳定节点、不稳定焦点、不稳定节点、鞍点。相平面可能分几个区域，每个区域都可能包含一个奇点。每个奇点类型决定了该区域相轨迹的大致规律。（

13、二）、等倾线法式表示了相轨迹的斜率。若取斜率为常数q，则上式为（六）极限环极限环是相平面上的分隔线，将相平面划分成不同运动特点的环内区域和环外区域。相轨迹不能从环外区域穿过极限环进入环内区域，或者相反。极限环分为稳定、不稳定、半稳定，不同极限环内外的相轨迹的运动规律也是不同的。例：含有死区继电器特性的非线性系统。线性部分的输入输出关系为非线性部分的输入输出关系由下式表示用等倾线法绘制相轨迹。解引入新的变量 e=r-c，并选择相变量x1=e，于是有由非线性特性f(e)的三种可能值，将相平面分为三个区。I区：x11，f(x1)=1此区域内等倾线方程为或区：-1x11，f(x1)=0此区域内等倾线方

14、程为区：x11，f(x1)=1此区域内等倾线方程为或一组与水平轴平行的直线。一组与水平轴平行的直线。斜率为1的直线。等倾线绘制相轨迹图例：含有死区特性的非特性系统。r(t)=R1(t)，试画出相轨并分析运动规律。死区特性的表达式为线性部分微分方程为：将c=r-e代入上式当r(t)=R1(t)时上式变为由非线性特性的三种可能值，将相平面分为三个区。I区：令解得在I区内没有奇点，有一条平衡线。区：微分方程为令解得奇点（e0,0)位于区和区的分界线上，是个虚奇点，可能为稳定焦点或稳定节点，类型视K、T参数而定。区：微分方程为奇点（e0,0)位于区和区的分界线上，也是个虚奇点。由图所示，死区会增加系统

15、误差一类非线性系统的结构图如图所示，其中非线环节是分段线性的。例：具有饱和非线性的系统如图所示，分析r(t)=R1(t)和r(t)=R+vt时的运动规律。解：饱和非线性的数学表达式为线性部分微分方程为：将c=r-e代入上式当r(t)=R1(t)时上式变为当工作在I区,即|e|e0，x=M，系统的微分方程为相轨迹的斜率方程为该区域内没有奇点。等倾线方程为：为平行于横轴的直线。令相轨迹的斜率等于等倾线的斜率，可以得到相轨迹的渐近线方程。令=0，可以得到渐近线方程为：在渐近线的两侧，相轨迹的斜率趋近于渐近线。由斜率方程可知，在区：当时，-1/T0，斜率为负。当时，0，斜率为正。当时，-e0，x=-M，系统的微分方程为相轨迹的斜率方程为该区域内也没有奇点，等倾线方程为： 渐近线方程为：当时，-1/T0，斜率为负。当时，0+，斜率为正。当时，-h1试求：当K10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；当K为何值时，系统处于稳定边界状态。非线性饱和特性参数 a=1 、k=2相交于稳定自振交点mXa时X 时负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5，-)。a/X=0.24X=4.38X=4.38非线性饱和特性参数 a=1 、k=2稳定自振交点m:临界状态下，轨迹在负实