自动控制理论：第二章 线性系统的数学模型

1、第二章 线性系统的数学模型本章重点线性系统微分方程的建立；运用拉氏变换法求解线性微分方程；传递函数的概念和性质；传递函数和微分方程之间的关系；结构图的绘制及其等效变换；结构图和信号流图的关系；梅逊公式。本章难点运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程；(2)建立系统的结构图或信号流图；(3)结构图和信号流图等效变换的灵活运用；控制系统数学模型概述 一、为什么要建立控制系统的数学模型？1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要2、是寻找一个较好的控制规律的需要 二、什么是控制系统的数学模型？描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式 三、如何建立数学模型？1、提出合理的

2、假设，忽略次要因数，抓住本质。2、建立恰当的数学描述3、非线性环节的处理 五、经典控制理论中控制系统模型描述方法 1、微分方程 2、传递函数四、实际工程应用中建立模型的一般步骤 1、把各部件尽可能地作线性化处理； 2、建立线性化的系统模型（近似模型）； 3、求系统的近似特性； 4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。六、建立控制系统数学模型的一般方法 1、机理分析法 2、实验辩识法 第一节 线性系统的输入输出时间函数描述1、建立的目的：确定被控制量与给定输入或扰动之间的关系，为分析和设计创造条件 2、建立输入输出时间函数描述的方法分析系统的工作原理，作合理的假设；确定系统的输入量和输出量；根据

3、物理或化学定律例写描述系统运动的方程； （常用定律：基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。一、建立线性系统的输入输出时间描述函数例1、 弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y，求该系统的输入输出描述解：（1）分析物体m的受力情况，假设k为常数、f为常数;（2）输入量为F，输出量为y;（3）根据牛顿定律列写方程（4）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。例2、 如图为两个形式相同的RC电路串联组成的滤波电路，建立输入电压为u,求电容C2两端电压uc为输出的微分方程。解： （1）分析电路的工作原理，假设电阻是理想电阻器

4、，电容也是理想的电容器；（2）输入量为u，输出量为uc;（3）根据基尔霍夫定理列写方程（4）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。二、描述线性定常系统输入输出关系的微分方程一般形式：三、实验法建立模型基本原理1、基本原理：设系统是线性定常系统，且t=0时系统的响应及其各阶导数均为零，则其响应与输入之间其次性和线性关系，即满足2、脉冲函数单位脉冲函数延迟单位脉冲函数3、实验方法如果以单位脉冲函数作为输入函数，则系统输出为称为单位脉冲响应。 如果以脉冲强度为A的延迟脉冲函数作为输入函数，将其施加于初始条件为零的线性定常系统，它将满足第二节 线性系统的输入输出传递函数描述 R(S)输入函数

5、的拉氏变换C(S)输出函数的拉氏变换S 拉氏算子说明:1、拉氏算子为复变量，单位为S-12、利用拉氏变换之后，卷积分公式变成代数方程，G（S）称为系统的传递函数，它是系统单位脉冲响应的象函数，在电路分析中也称为网络函数；3、卷积分公式只适用于初始条件为零的线性定常系统，传递函数可定义为初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；4、传递函数中的S算子可与角频率联系起来，传递函数也称为频域描述。5、得到系统传递函数的方法实验法、分析法用分析法求系统传递函数假设通过对系统机理模型分析得到n阶系统的微分方程为假设初始条件为零！对等式两边取拉氏变换可得：极点：零点：代数方程式的根由方

6、程式的结构与其各项系数确定，系统极点和零点由系统结构与参数确定。为什么采用传递函数来描述？微分方程描述不直观、求解困难。线性常微分方程经过拉氏变换，即可得到系统在复数域中的数学模型，称之为传递函数。 将单位脉冲响应g(t)的曲线转换成相应的传递函数。表示其输入输出关系。R(s)输入r(t)的像函数，即输入函数的拉氏变换；C(s)输出c(t)的像函数，即输出函数的拉氏变换。传递函数初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。也称为频（率）域描述。 几点说明：只适用于线性定常系统。是系统的动态数学模型。 分母的阶数一定高于分子的阶数 。(为什么？）有惯性元件和受到功率的限制客观物

7、理世界的基本属性，它反映了一个基本事实：一个物理系统的输出不能完全复现输入信号，只有经过一定的时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系。单输入-单输出系统，若多输入多输出要采用传递函数矩阵。传递函数可以表示成有理分式，也可以表示成零极点表示的形式。也可以表示成时间常数的形式K值具有量纲也称为传递系数7. 分子分母的系数都是实数，所以如果有复数零极点则必为共轭复数。式中，复习拉氏变换（Laplace transform） 拉氏变换的定义t0时f(t)=02. 几个简单的函数的拉氏变换单位阶跃指数函数余弦函数单位斜坡函数 3. 拉氏变换的一些性

8、质线性性质叠加性质延迟性质像函数（复域）的微分相似定理本函数（时域）的微分例：复域延迟性质例：已知 终值定理：有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的，且要sF(s)在虚轴（除原点）和右半平面上没有极点。 初值定理：卷积定理：已知函数f(t)和g(t)，其卷积定义为3. 拉氏反变换求本函数（1）部分分式分解法极点的几种情形：都是一阶实极点。例：已知：计算f(t) 重的一阶实极点含有共轭极点。2. 留数方法（略）第三节 非线性数学模型的线性化 1、什么叫非线性数学模型的线性化？在一定条件下将非线性系统近似的视为线性系统 2、典型非线性发电机激磁特性3、小范围线性化的概念和原理 假设对于一般的非线性系统，其输入量为r,输出量为c=f(r),并设在给定的工作点c0=f(r0)处各阶导数均存在，则可以展开成泰勒级数：在处理线性化问题时，要注意以下几点： （1）工作点