MARKOWITZ组合理论综述

1、MARKOWITZ般认为，现代投资理论起始于马柯维茨提出的证券投资组合理论。1952年，哈里马柯维茨在美国金融杂志上发表了题为PortfolioSelection)的文章，第次从风险资产的收益率和风险的关系出发，提出了证券的组合投资是为了实现风险定情况下的收益最大化或收益定情况下的风险最小化，具有降低证券投资活动风险的机制。同时，马柯维茨运用了数理统计方法全面细致地分析了何为最优的资产结构和如何选择最优的资产结构，解决了资产组合的选择问题，从而把投资理论从定性分析推向了科学的定量分析，为资产定价理论奠定了坚实的基石。马柯维茨提出和建立的现代证券投资组合理论，具核心思想是要解决长期困扰证券投资活

2、动的两个根本性问题。第个问题是虽然证券市场上客观地存在着大量的证券组合投资，但为何要进行组合投资，组合投资究竟具有何种机制和效应，在现代证券投资组合理论提出之前，谁也无法做出令人信服的回答。针对这问题，现代证券投资组合理论给出了逻辑严密并能经得起实践检验的正确答案，即证券的组合投资是为了实现风险既定而收益最大化或收益既定而风险最小化，具有降低证券投资活动风险的机制。当然，人们用不着学习现代证券投资组合理论就知道不要把所有的鸡蛋放在个篮了里”可以分散和降低风险，但此谓知其然而不知其所以然。现代证券投资组合理论不仅是要告诉人们“不要把所有鸡蛋放在个篮了里”，更重要的是要告诉人们“不要把所有的鸡蛋放

3、在个篮子里”为什么是真理而不是谬误。笫二个问题是证券市场的投资考除了通过证券组合來降低风险之外，应该如何根据有关信息进步实现证券市场投资的最优选择。对于这问题，马柯维茨的现代证券投资组合理论运用数理统计方法全面细致地分析了何为最优的资产结构和如何选择最优的资产结构。可以说，马柯维茨的历史贡献就在于他建立了套运用数理统计工具来选择最优投资组合的理论和方法，为证券投资组合研究开辟了新方向，成为后人继续前进的基础。在投资者只关注“期望收益率”和“用方差来描述收益率的不确定性”的假设前提下，他建立的均值方差模型是严谨的。、哈里马柯维茨的组合理论（）模型假设马柯维茨的组合投资思想被投资者广泛接受，但他的

4、定量模型是建立在系列严格的假设基础之上。模型假设条件包括：（1）证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在价值，每个投资考都掌握充分的信息，了解每种证券的期望收益率及其标准差；（2）证券投资考以期望收益率来衡暈未來收益的水平，以期望收益率的方差來衡量收益率的波动情况（即风险），并以这两个指标作为选择投资方案的依据；（3）投资者都是风险规避型的，都期望投资收益率越高越好，而期望收益方差越小越好。他们都遵循着“主宰原则”（Dominanceprinciple）,追求在给定风险上收益最大，或者在给定收益水平上风险最低；如果要他们选择风险较高的方案，他们都要求有额外的投资收益率作为补偿；（4）各种证

5、券的收益率之间有定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或考收益率之间的协方差來衣示；（5）每种证券的收益率都服从正态分布；（6）每个资产都是无限可分的，这意味着，如果投资者愿意的话，他可以购买个股份的部分；（7）投资者可以以个无风险利率贷出（即投资）或借入任意资金；（8）交易是无摩擦的，税收和交易成本均忽略不计。其中假设条件DT）为马柯维茨对模型的假设，假设5）8）为模型的隐含假设。这些假设简化了模型的理论推导，但这些假设又成为模型在实践应用中的障碍，关于这点我们将在后续部分进行分析。（二）马柯维茨的均值TT差模型马柯维茨认为投资者都是风险规避者，他们不愿承担没有相应期望收益加以补偿的外

6、加风险.投资者可以用多元化的证券组合，将期望收益率的方差减至最小，因此马柯维茨根据风险分散的原则，应用二次规划建立套复杂的数学方法，來解决如何通过多元化的组合降低组合资产中的风险问题。马柯维茨的优化模型为：TOC o 1-5 h znfiniinS2+E為勺piQC（1）/=，沾，/=1其中满足条件:耳=1/=!兀0J=1,2,n在上述模型中，V表示组合资产收益率的方差；o：表示第i种风险资产收益率的方差；无表示笫i种风险资产在组合中的投资比例；P”衣示第i种风险资产的收益率与第j种风险资产的收益率的相关系数；&表示第i种资产的n年实际平均收益率；r表示组合资产的预期收益率。上述模型是以投资比

7、率为变暈的二次规划，通过求解二次规划，可以确定最优投资比例。马柯维茨模型用定量的方法研究投资组合问题，在理论上和实践上都具有很强的指导意义。马柯维茨模型可进步推广为不相关风险资产投资优化模型（式2）和存在无风险资产吋风险资产组合优化模型（式3）。(2)min52=彳0：i=i心=匕+(心一RR/bjGp(3)(2)此外，马柯维茨还研究了有效组合与投资决策者的机会集一有效边界问题,并得出结论：无差异曲线和有效边界切点上的有效组合，使投资者在同样的风险条件下选择最大的收益率，或在同样的收益率下选择最小的风险。（图）(2)马柯维茨为确定有效组合提供了两条技术路径。其是图形法,该方法的某本思路是建立E

8、p-cp坐标系，确定左边界，左边界的顶部即为有效边界。左边界上任何点均对应于某个给定期望收益率下的最小方差组合，因而也称左边界为最小方差集合，于是求解最小方差集合就是求解优化问题（1）,对每个给定的期望收益值Ep求解上述问题的组解X=（XhX2,.Xn）,该组合即为给定Ep下的最小方差集合。但图形法只能在所考虑的证券不超过4种的情况下进行，并且主要依赖数值计算，借助于计算机来实现，从而不能提供解析式，不利于有效边界的些好的性质的揭示。第二种方法是在利用上述方式的基础上，通过以任意入为斜率虚构直线形式的无差异曲线族,获得有效组合。随着无差异曲线族斜率X的变化,我们能够得到所有有效组合。该方法更多

9、地依赖于数学推演，优点是能够给出全体有效组合的解析表达式。二、马柯维茨均值一方差模型的拓展马柯维茨的均值一方差模型揭开了现代投资组合理论的新纪元，但由于其苛刻的假设条件导致了该模型的实用性不强，因此，几十年来，人们直在努力对马柯维茨的均值一方差模型进行拓展，以期找到理论与实践的结合点。目前，对马柯维茨模型的拓广主要体现在改进目标函数、设法减少假设、降低计算的复杂性及増加考虑的因素、缩小模型与现实应用之间的距离等方面。（）单因了模型（市场模型）为了解决均值一方差模型应用于大规模市场所面临的计算量庞大的缺点，1963年，马柯维茨的学生威廉？夏普（WilliamSharpe）在Asimplified

10、ModelforPortfolioAnalysis-文中，提出了简化的计算方法，即单因子模型（市场模型）。在数学上，单因了模型可表达为：作=a,+Plrw+,（4）这里，心为资产i的收益率%为资产i收益的截距项（即市场收益rw=0时资产i的预期收益率）P,为资产i的收益对市场收益变动的敏感程度5为只与企业个性有关的收益部分，同市场收益久不相关口为市场投资组合的收益，通常由某种市场指数代衣市场模型的关键在于捉住了个别资产的收益同整个市场的平均收益有相关性。模型中的斜率氏为衡量证券收益对市场指数收益变动的敏感程度，它经常被称为证券的betaoBeta值为正说明市场指数收益越高，该证券预期收益也越高

11、；beta值为负说明市场指数收益越低，该证券预期收益越高。通常，市场模型中的参数可以通过7；和g的时间序列数据估计出。利用斤和几的时间序列数据，运用普通最小二乘（OLS）回归来估计、氏和的标准差q,最小二乘估计法要求斜率即beta为氏=3（严）,这里，为市场指数收益的标准差，COV（rhrM）是件和riW之间的协方差。利用市场模型，我们能够识别多样化组合资产中风险的來源，TlV+o：上式说明：组合资产总风险=组合资产的市场风险+组合资产的个别性风险大致来说，个包含了30多种或更多随机选择的证券的组合资产，其特有风险相当小，这意味着它的总风险将仅略高于各种个股的市场风险，这种组合资产己经充分被“

12、多样化了”。图三说明了多样化如何带来特有风险的降低。图三风险与多样化从图三我们也可以直观的看出，投资组合多样化的最优效果即是将个别性风险抵消掉，但组合仍然要承担市场风险。（-）不同限制性卖空条件下的证券组合投资模型在完全市场条件下的均值一方差模型，卖空没有任何限制条件，但现实证券市场中的卖空常常受到限制，而且不同的证券市场对卖空的限制条件往往不同。当卖空受到限制时，均值一方差模型作为证券投资组合的决策模型就需要得到调整。（1）不许卖空的投资组合决策模型由于在实际交易中卖空在很多国家都受到限制，因此多对Markowitz的均值方差模型的约束条件进行修正以满足不能卖空的条件。这些模型的应用也是建立

13、在系列假设条件之上的，模型的基本假设为投资者在制定决策时以期望收益率和收益率的方差两参数为某础；a）投资者是马柯维茨的信徒，即他（她）是理性的和风险规避型的；b）投资者对市场的预期是致的；c）市场是完全竞争和无磨擦的，不存在无风险套利机会；d）不存在无风险资产；e）不允许卖空。此条件下投资组合决策的模型如下：Mino2=WTEVV（6）TW=0i=1,2，n其中，卩卩2P”）T为期望收益率向量；W=（0,0）2，为投资者在n种证券上的投资比例；（J?为投资组合的风险；L=（a）冈为收益率向量旷=（人心rn）7的方差协方差矩阵o这模型与Markowitz均值一方差模型的差别主要在限制投资者投资于

14、每种证券上的投资比例5大于等于零，其求解方法某本是沿袭标准的马氏模型。（2）在有保证金要求和允许抵押两种限制条件下允许卖空的证券投资组合决策模型。该模型的主要思路是：投资者在进行卖空操作时，不但不能将卖空所得归己支配，还需缴纳附加保证金。所以，将卖空第i种证券看作是投资于第n+i种证券，其投资额为交纳的附加保证金。这样就将由n种证券构成的证券组合投资问题处理成由2n种证券构成的证券组合投资问题。相应的组合投资比例系数向量为W=（3,32,0,其中，卩为持有证券i的投资比例系数，叫+i是用于支付卖空证券i所需要的附加保证金占投资总金额的比例系数，i=l,2,，2”2/rM加0=刀刀33届=WtE

15、Wi=l；=!有保证金要求的卖空条件下证券组合投资决策模型为:(7)其中，O为证券收益风险（标准差），是证券收益率期望值向暈；R为组合证券期望收益率。上述模型的约束式中引入允许抵押的卖空条件，则可得到相应的允许抵押卖空的组合投资决策模型。（四）、资本结构作用下的投资组合模型在TobinSharpeLintner模型中，以完全市场为条件，也就是说投资与融资活动中借贷率为常数且借贷额不受限制，资本结构不影响投资与融资行为，这是理想状态。但在实际的投资与融资活动中，方面借款投资所形成的财务杠杆将使组合投资的收益与风险放大，另方面由于负债风险的存在，投资者的负债率将受到限制。因此，投资者在考虎投资组合

16、的构成时，往往要受到自己对负债风险的承受能力。其模型为：M加(x)=W(x)1EW(x)(8)(1-盯员=凹(讥_码w(a/F=1可解得含负债率因了x的组合投资有效边界解析式为：-12(b-cxRf)1-G(x)=c/?(.)-R(x)+(a-2bxR.+cxR-f)ac-b-x(1-x)-其中，a=只丁ER、b=只丁EF,c=E，F。(五)、多目标投资组合模型马柯维茨的标准均值一方差模型只有方差最小个目标，多目标模型改进了目标函数，力求使投资者的各种目标同时得到满足。这里我们介绍种以收益最大和方差最小为目标的多目标模型，它可以使投资者那种收益尽可能大、风险尽可能小的理性观点得到体现。多目标组

17、合决策模型如下：M佔Mwg2=VV7EVVTW=0i=12fi其中，E(R)为资产组合的收益率；P=(卩|,山山)了为期望收益率向量；W=(0|,0)2,3”)了为投资者在n种证券上的投资比例；o2为投资组合的风险;E=(S)冈为收益率向量心(打，力,r)r的方差协方差矩阵。上述多目标规划模型可以转化为单目标规划模型。设立单目标函数如下：/(E(/?)-a2)=(/?)-ya2=|irVV-yVV7EVV(10)其中P为单位风险O2的影了价格。这样，上述多目标决策模型就化为：Max:/(E(/?).-o)=1=xTW-WTLW22W=lcoz0i=1,2,fi利用拉格郎日乘数法可求得模型的解：

18、以=召匸0:占卩1)为最优投资组合利用多目标投资组合模型计算出来的(E(R).i)都在利用马柯维茨均值一方差投资组合模型而求得的有效区域内。(八)、动态证券组合模型在证券投资的定量分析中，描述投资的预期收益及风险的量分别为预期收益率和风险损失率。为了处理上的方便，在以往的某投资期内的预期收益率与风险损失率均假设为已知的确定的常数，这通常不符合实际情况。因此，有文章讨论了当投资的预期收益率和风险损失率为随机变暈时，证券投资组合模型的优化问题。假设条件：M为资金总额，n为投资者选定的证券种类的数目，投资第i种证券的预期收益率与风险损失率分别为/；,qi=l,2,.n,它们分别为服从淀概率分布的随机

19、变量,心为银行利率，并假设其为常数(一般认为丘5,i=l,2,.m，它们分别为服从定概率分布的随机变暈，为第i种投资在总投资中所占的比例，3。为投资期内存款占总投资的比例，为费用率，购买第i种证券的交易费用为A(coJ：3,MP：2叽MutCOjMlli这里,i=12为预先给定的常数，假定投资者遵循主宰原则，即投资考希望报酬越大越好。投资期内证券的净收益与总体风险分别为R和V：R=3qMrQ-f-/sA/A(to,：)rf/)r-ir-l胪W=gAf(g)q.r-l其中十切0=1,010tt/；aF-l我们的目的是求出使R达到最大，且V达到最小的WTo显然，我们的优化目标净收益与风险是相互冲突

20、的，对于这样两个冲突的目标來说，无论使用何种方法，所得到的解应该是个有效解，而不是每个目标均达到最优的最优解。根据假设21,2,./为随机变量，所以R,V也是随机变暈。为了处理这种随机性，个最自然的方法就是考虑期望收益与期望风险，即使E(R)和E(V)分别达到最小和最大的问题。于是可以得到以下的期望值模型。|maxERJminEV|s.叫十=1,0ico1,0w；0其中，Pj为优先因子，表示各个目标的相对重要性，且有pxp2;%j为优先因了j对笫i个目标负偏差的权重因了；d；（d；）为ER（EV）（扁离目标值的正偏差，定义为：ERb、EKb2EVbzJdx（逅）为ER（EV）偏离II标值的负偏

21、斥-窪文为:ib-ER,ERbx逅-bz-KV,EVb2切血）为目标ER（EV）ft勺目标值。近年來，动态证券的研究成果是：Dumas研究在交易条件下证券的组合动态问题的精确解；Cox研究的证券组合快车道问题及其求解方法。（七）、证券投资组合的机会约束模型处理随机性的另种方法为机会约束规划，机会约束规划由Charnes和Cooper提出。该方法考虑到所做决策在不利情况发生时可能不满足约束条件，故般采取如下原则：即允许所做决策在定程度上不满足约束条件，但该决策应使约束条件成立的概率不小于某置信水平。由此我们可得到如下的机会约束模型：tnaxRminV3t.PtRRaPrV/3IT十W=10Vw0

22、-1r-ls.t.PrR+dt一冬=6.APrV十df一右=b2g其中，为优先因子，表示各个目标的相对重要性，且有PP2；ULj为优先因了j对第i个目标正偏离的权重因了，气“为优先因了j对第i个目标负偏差的权重因了；d：(d；)为R(V确离目标值的正偏离，定义为rrdtR-h.(PrdtV一a2)d(d；)为R(V)偏离目标值的负偏差，定义为：Prcl(Pr(近bz-Vy)b2)为R(V)的目标值。般说拓如果机会约束规划可以转化为它们各自确定性问题的等价类，则我们可以利用传统算法处理这些等价类，从而获得问题的解。但是能转化为确定性问题的等价类的机会约束规划是很少的部分。另外在期望模型中使用传统

23、的算法求复杂的随机向量的数学期望也是很因难的。鉴于上述原因，可以用随机模拟的遗传算法用以解决证券投资组合模型的优化问题。此外，由于马柯维茨的均值一方差模型假设市场是无摩擦的，即没有考虑到交易成本的彩响，但在现实投资活动中，投资考往往面临着数最可观、不容忽视的交易成本。Mao(1970),Jacob(1974),Brennan(1975),Levy(1978),Patel和Subrahmanyam(1982)研究了固定交易费用问题。Pogue(1970),Chen、Jen、Zionts(1971)和Yoshimoto(1996)研究了变动交易费用问题。Amihud和Mendelson(1986)

24、提出投资者需要得到更高的收益來弥补其交易成本。组合投资均值一方差模型中引入交易成本的主要思路是：以交易值的固定比例作为交易成本，引入单位时间交易量、收入流和消费流，确定证券组合存在的非交易的可变区域。有交易成本时，若标的股票的投资比例在非交易区域时，投资考不需要进行交易；若标的股票的投资比例超出非交易区时，投资者需要进行交易，使标的股票的投资比例回到非交易区域内。在-定的条件下，最优投资比例非交易区域端点与模型的所有常系数有关，而与投资值无关；非交易区间长度关于交易成本成递减关系。三、马柯维茨理论的局限性如同前面报告所说，马柯维茨组合理论的主要贡献在于建立了套运用数理统计工具來选择最优投资组合

25、的理论与方法，为证券投资组合研究开辟了新方向，成为后人继续前进的基础。然而，该组合理论也存在着定的局限性，这从前面介绍的各种修正上也能看出些端倪：1、将方差作为测量风险的参数具有理论色彩。该理论隐含的个假设是，收益的数学期望值附近结果的离中趋势是个对称性的概率分布，但实证表明，结果的离中趋势并不都是呈现对称性概率分布，尤其是，单个证券的结果趋势更是如此。现实世界中收益率的离中趋势很难像理论中抽彖的那样简单明快，往往是非对称的。2、该理论所假设的投资者均有相同的时间概念，这与现实相距较远。从现实投资来看，该理论所表现的最优组合只是种暂吋的静态均衡组合，而实际上投资的风险、价格以及收益都是不断变化

26、着的。只有根据实际变化着的形势及时进行调整，达到动态的相对较优的投资组合才是现实所要求的。3、该理论使用预期收益和方差使得其在应用中也有风险。所谓预期收益和方差等，是建立在过公状况的概率将在未来实现的主观评价上，鉴于未來的不可知性，历史会有相似之处，但决不会相同或重复。4、马柯维茨组合理论的最基本假设是证券市场是有效的。该条件是非常苛刻的,即使在成熟的股票市场也是无法满足的。信息具有不对称性是普遍情况，我国证券市场更是如此。5、各种证券的收益率之间有-定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或考收益率之间的协方差来衣示。假设条件不仅要求每种证券收益率是相互关联的，它还要求这种关联的相对稳定

27、性。马柯维茨是根据以往各种证券之间的关联方式和关联程度来推测它们未来的关联情况。由于投资者之间睥弈的影响，证券之间的关联情况常常发生较大的变化，这使得通过以往数据计算出來的证券收益率的协方差矩阵未必能够代表未來的情况。6、每个资产都是无限可分的。这意味着如果投资者愿意的话，他可以购买个股份的部分。假设条件是种近似处理，但由于中国股票的最小交易单位是于（100股），这种近似可能造成较大的误差。同时假设投资者可以无限制地借入资金也是不现实的。8、投资组合理论的最优解选取是要依靠投资者的效用函数曲线与有效边界的切点來确定的，但投资者的效用函数是很难定义。虽然目前已经研究了很多种方法来测试投资者的效用

28、偏好，但这些方法无论在理论上还是在实践中都不能准确描述投资者的效用函数曲线，并且投资者的效用还会随着年龄、生理状况、经济状况和社会大环境的变化不断变化，因此想要准确评估投资者效用函数几乎是不可能的。这也导致利用投资组合理论不能准确选収最优解。虽然马柯维茨的均值一方差模型有许多局限性，但他对现代投资理论的发展做出了不可磨灭的功绩，在马柯维茨的组合理论思想启发下，现代证券投资理论在此后近50年间得到了长足发展。在马柯维茨所做研究的基础上，现代证券投资组合理论在实务上被广泛应用于债券、股票、资产组合管理和指数基金投资等领域。目前，现代证券投资组合主要沿着实用化、资本资产定价和套利定价等三个方向发展，

29、使自身的理论体系不断得到丰富和完善，关于投资组合理论的发展、演变及应用我们将在后续报告中进行详细阐述。Reference:HarryM.Markowitz,PortfolioSelection,JournalofFinance,7,No.1(March1952)：77-91HarryMMarkowitz,PortfolioSelection：EfficientDiversificationofInvestments(NewYork：JohnWiley,1959)Frankfurter,GeorgeM；Markowitz,HarryM.；IsNormativePortfolioTheoryDea

30、d?；NormativePortfolioAnalysis：PastPresentandFuture,JournalofEconomicsandBusiness；NewYork：May1990：MarkowitzH.Meanvarianceanalysisinportfoliochoiceandcapitalmarkets.NewYork:BasilBlackwell,1987E.JElton,MJ.Gruber；ModernPortfolioTheoryandInvestmentAnalysis,3rded.,Wiley,NewYork,1987Y.K.Haimlevy,H.M.Markow

31、itz,Mean-varianceversusdirectutilitymaximization,JournalofFinance1(1984)J.B.Michael,R.GRobert,Sensitivityanalysisformeanvarianceportfolioproblems,ManagementScience37(1991)Alchian,ArmenA.,1953Themeaningofutilitymeasurement.AmericanEconomicReview42,26-50.Markowitz,H，1952.Theutilityofwealth.JournalofPo

32、liticalEconomy60.151-15&TeghemJr.,D.Dufraned,M.Thauvoye,STRANGE:Aninteractivemethodformulti-objectivelinearprogrammingunderuncertainty,EuropeanJournalofOperationalResearch26(1986)658211R.JBenayoundeMontgoller,J.Tergny,Linearprogrammingwithmultipleobjectivefunctions:Stepmethod(STEM),MathematicalProgramming1(1971)366-375.Pliska,SR,1997IntroductiontoMathematicalFinance:DiscreteTimeModels.BlackwelLOxfordWhittle,P、1990.RiskSensitiveOptimalControl.Wiley,NewYork.Pliska,SR,1986Astochasticcalculusmodelofcontinuoustrading:optimalportfolios.Mathemat-icsofOperationsResearch11,371384Pesara