2022年一轮复习专题数列中的存在性问题

1、专题：数列中的存在性问题 学大苏分教研中心 周坤一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在， 列出一个等式， 通过化简，整理成关于任意性变量 （一般为 n）的方程，然后 n 的系数为 0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例 1、已知数列 a 的前 n 项和为S =3n25n ，在数列 b 中， 1b =8，64 n1b =0，问是否存在常数c使得对任意n，a nlogcb 恒为常数 M ，若存在求出常数 c和 M ,若不存在说明理由 . 解析：假设存在常数c使得对任意n，a nlogcb 恒为常数 M ，S =3

2、n25 n ，2 1)5(n1)=6n2，当n =1 时，则1a =S =8，当n2 时，a =S nS n1=3n25n3(n当n =1 适合，a = 6n2，= 6(1 log 2)n29log 2，又64 n1b =0，b n1=1b n64 ，数列 b 是首项为 8，公比为164 的等比数列，b =8(1)n1=29 6n，64则a nlogcb =6n29 6 log 2 cn= 6 n2(96 )log 2 a又对任意n，a nlogcb 恒为常数 M ，6(1 log 2)=0，解得c =2，M = 29log 2=11，存在常数c=2 使得对任意n，a nlogcb 恒为常数

3、M =11. 二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于 0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例 2、【2010南通一模】设等差数列 a n 的前n项和为 S，且 a 5 a 13 34，S 3 9（1）求数列 a n 的通项公

4、式及前n项和公式；a nb n（2）设数列 b n 的通项公式为 a n t ，问 : 是否存在正整数 t，使得 b 1，b 2，b m( m 3，m N ) 成等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由 . a 5 a 13 34，【解】（1）设等差数列 a n 的公差为 d. 由已知得 3 a 2 9， 2 分a 1 8 d 17，a 1 1，即 a 1 d 3， 解得 d 2. 4 分. 2故 a n 2 n 1，S n n . 6 分2 n 1（2）由 （ 1 ） 知 b n2 n 1 t . 要 使 b 1，b 2，b m 成 等 差 数 列 ， 必 须 2 b

5、2 b 1 b ， 即2 3 1 m 13 t 1 t 2 m 1 t， 8 分. 4m 3（3）整理得 t 1， 11分因为 m，t 为正整数，所以 t 只能取 2，3，5. 当t2时，m7；当t3时，m5；当t5时，m4. 15 分故存在正整数 t，使得b 1，b 2，b m成等差数列 . 例 3、设数列a n的前n项和S n2 n ，数列b n满足b na nanm(mN*). （）若 b b b 成等比数列，试求 m 的值；（）是否存在m，使得数列 b n 中存在某项 tb满足 b b b t 1 4 t N *, t 5) 成等差数列？若存在，请指出符合题意的 m 的个数；若不存在，

6、请说明理由 . 2解：（）因为 S n n ，所以当 n 2 时，a n S n S n 1 2 n 1 3 分又当 n 1 时，a 1 S 1 1，适合上式，所以 a n 2 n 1（n N ） * 4 分2 n 1 1 3 15所以 b n2 n 1 m ， 则 b 11 m , b 23 m , b 815 m ，由 b 2 2b b ，3 2 1 15( )得 3 m 1 m 15 m ，解得 m 0（舍）或 m 9，所以 m 9 7 分*（）假设存在m，使得 b b b t N , t 5) 成等差数列，即 2 b 4 b 1 b ，则7 1 2 t 1 362 t 77 m 1 m

7、 2 t 1 m ，化简得 m 5 12 分所以当 m 5 1,2,3,4,6,9,12,18,36 时，分别存在 t 43,25,19,16,13,11,10,9,8 适合题意，即存在这样m，且符合题意的m共有 9 个 14 分例 4、【2010徐州三模】已知数列a n是各项均不为0 的等差数列，S 为其前 n 项和，且满足2 a nS 2n1，令b nan1n1，数列nb的前 n 项和为T . a（1）求数列an的通项公式及数列bn的前 n 项和为T ；（2）是否存在正整数 m n (1 m n ，使得 T T m , T 成等比数列？若存在，求出所有的m n 的值；若不存在，请说明理由

8、. 2 ( a 1 a 2 n 1 )(2 n 1)解：（1）因为 a n 是等差数列，由 a n S 2 n 12 (2 n 1) a n，又因为 a n 0，所以 a n 2 n 1， 2 分1 1 1 1 1b n ( )由 a a n 1 (2 n 1)(2 n 1) 2 2 n 1 2 n 11 1 1 1 1 1 nT n (1 )所以 2 3 3 5 2 n 1 2 n 1 2 n 1 6 分T n n T 1 1 , T m m , T n n(2)由(1)知，2 n 1，所以 3 2 m 1 2 n 1，2m 2 1 n m n若 T T m , T 成等比数列，则 (2 m

9、 1 )3 2 (n 1 )，即 4 m 24 m 1 6 n 3 8 分2 2m n 3 2 m 4 m 12 2解法一：由 4 m 4 m 1 6 n 3，可得 n m，2所以 2 m 4 m 1 0， 12分6 61 m 1从而：2 2，又m N ，且 m 1，所以 m 2，此时 n 12故可知：当且仅当 m 2，n 12 使数列 T n 中的 T T m , T 成等比数列。 16 分n 1 126 n 3 6 3 62 m 12解法二：因为 n，故 4 m 4 m 1 6，即 2 m 4 m 1 0， 12 分6 61 m 1从而：2 2，（以下同上）三、三个存在型变量-连续的解题思

10、路：这类问题的形式一般是， “ 是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）” 。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“ 解方程” 或者“ 画图像” ）求解。例 5、【扬州 2010一模】已知数列 na ，a n p n q n ( p 0, q 0, p q , R , 0, n N *) . 求证：数列 a n 1 pa n 为等比数列；数列 na 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；n n设 A ( , n b n ) | b n 3 k , n N *，其中k为常数，且k N ，n

11、B ( , n c n ) | c n 5 , n N *，求 AB. 解：a = p nq ，n a n 1 pa n p n 1q n 1p p nq n) q n( q p ，a n 2 pa n 1q0, q 0, p q a n 1 pa n 为常数数列 a n 1 pa n 为等比数列 -4 分取数列 na 的连续三项 a n , a n 1 , a n 2 ( n 1, n N )，2 n 1 n 1 2 n n n 2 n 2 n n 2a n 1 a a n 2 ( p q ) ( p q )( p q ) p q ( p q )，p 0, q 0, p q , 0，p q

12、n n( p q ) 20，即 a n 21 a a n 2，数列 na 中不存在连续三项构成等比数列；-9 分当 k 1 时，3 nk n3 n1 5 n，此时B C；当 k 3 时，3 nk n3 n3 n2 3 n为偶数；而5 n 为奇数，此时B C；当 k 5 时，3 nk n5 n，此时B C；-12 分n n n当 k 2 时，3 2 5，发现 n 1 符合要求，下面证明唯一性（即只有 n 1 符合要求）。3 n 2 nn n n ( ) ( ) 1由3 2 5 得 5 5，3 x 2 x 3 x 2 xf x ( ) ( ) ( ) f x ( ) ( ) ( )设 5 5，则

13、5 5 是R上的减函数，f x ( ) 1 的解只有一个3 n 2 n从而当且仅当 n 1 时 ( )5 ( )5 1，即3 n2 n5 n，此时 B C (1,5)；当 k 4 时，3 n4 n5 n ，发现 n 2 符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有 n 2 符合要求）。3 n 4 n从而当且仅当 n 2 时 (5 ) (5 ) 1，即3 n4 n5 n，此时 B C (2,25)；综上，当 k 1，k 3 或 k 5 时，B C；当 k 2 时，B C (1,5)，当 k 4 时，B C (2,25)。-16 分四、三个存在型变量-不同的解题思路：这类问题的形式一般是， “ 是否存在

14、不同的三项 ，恰好成等差数列（或等比数列）” ，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。具体的，该类问题可以分成三类。其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）例 6、【扬州 2010三模】已知数列na满足：na n=an+1 4,+1,n 为偶数,（nN*,aR a 为常数），21。2 a n+1-an 为奇数,22数列b n中，nba 2 2求a a a ；a3证明：数列b n为等差数列；14 分n1，3求证：数列b n中存在三项构成等

15、比数列时，a 为有理数。解：由已知a 12a 1a1，得a 1a1，22a2a 11a144 2a 2a1a。2b na 22n12a2 2n1a1，2 a2 2a2a12( a 22n1)a12 a 2 2na12( a 22n11)anb1a 2 2n212 a 22n124242b n1b n1，又b 1a 3a ，数列nb是首项为a，公差为1的等差数列。 9分则( a证明：由知b nan1， 10 分若三个不同的项ai aj ak 成等比数列， i、 j 、 k 为非负整数，且ijk ，i)2( aj)(ak ，得a ik2 )j2ik ， 12 分若ik2j0，则j2ik0，得i=j

16、=k，这与ijk 矛盾。 14 分若ik2j0，则aij2ikj ，k2i、j、k为非负整数，a是有理数。 16 分例 7、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a112，S393 2. (1)求数列 an 的通项 an与前 n 项和 Sn；Sn(2)设 bnn (nN*)，求证：数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列a121，(1)解：由已知得3a13d93 2，d2，故 an2n12，Sn n(n2)2 b qb pb r(2)证明：由 (1)得 bnSn nn2. 假设数列 bn 中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等 )成等比数列，则即(q2)2(p2)(r2)

17、，(q2pr)(2qpr)20. p，q，rN* ，q2pr0，2qpr0，pr 22pr，(pr)20，pr.这与 p r 相矛盾所以数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不是公比的倍数，矛盾）；例 8、【无锡市 20XX 年秋学期高三期末考试】由部分自然数构成如图的数表，用 ija ( i j 表示第 i 行第 j 个数（,i j N ），使 *a i 1 a ii i ，每行中的其余各数分别等于其“ 肩膀” 上的两个数的之和。设第 n n N *)行中各数之和为 nb。（1）求

18、 b ；（2）用b 表示nb1；中是否存在不同的三项b ，b ，rb（p q r* N ）恰好成（3）试问：数列b n等差数列？若存在，求出p ， q， r 的关系；若不存在，请说明理由。（1）b 6 94 2 分（2）b n 1 a ( n 1)1 a ( n 1)2 . a ( n 1)( n 1)n 1 ( a n 1 a n 2 ) . ( a n n 1) a nn ) n 12( a n 1 a n 2 . a nn ) 2= 2 nb 2； 6 分（3）b n 1 2 b n 2，b n 1 2 2( b n 2) 8 分所以 b n 2 是以 b 1 2 3 为首项， 2 为公

19、比的等比数列， 9 分n 1 n 1则 b n 2 3 2 b n 3 2 2. 11 分*若数列 b n 中存在不同的三项 b p , b b r ( , , p q r N ) 恰好成等差数列，不妨设p q r ，显然 b n 是递增数列，则2 q b p b 12 分q 1 p 1 r 1即 2 2(3 2 2) (3 2 2) (3 2 2)，化简得：q r p r2 2 2 1 （*） 14 分*由于 p q r N ，且 p q r ，知 q r 1， p r 2，所以（ *）式左边为偶数，右边为奇数，故 数 列b n中 不 存 在 不 同 的 三 项b p,b b r( , ,

20、p q rN*)恰 好 成 等 差 数列。 16 分例 9、【20XX 届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】已知数列 an 的通项公式为 an = 2 3 3 n 1 (n N ). n + 2求数列 an 的最大项；an + p 设 bn = an 2，试确定实常数p，使得 bn为等比数列；设 m n p N * , m n p ，问：数列 an中是否存在三项 a ，m a ，n a ，使数列 a ，m a ，n a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由 . 4解 由题意 an = 2 + 3 n 1,随着 n 的增大而减小 ,所以 an 中的最大项为 a

21、1 = 4. 4 分4bn = 2 + 3 n 1 + p4 = (2 + p)(3 4 n 1) + 4 = (2 + p)3 n + (2 p)4，若 bn 为等比数列，3 n 12则 b n+1 bnbn+2= 0( n N )所以 (2 + p)3 n+1 + ( 2 p) 2 2 + p)3 n + (2 p)(2 + p)3 n+2 + (2 p) = 0(n N )，化简得 (4 p2)(23 n+1 3 n+2 3 n ) = 0 即 (4 p 2)3 n 4 = 0,解得 p = 2. 7 分反之 ,当 p = 2 时,bn = 3 n, bn 是等比数列 ;当 p = 2

22、时,bn = 1, bn 也是等比数列 .所以 ,当且仅当 p = 2时 bn 为等比数列 . 10 分因为 a m 2 m 4，a n 2 n 4，a p 2 p 4，若存在三项 a ，a ，a ，使数列 a ，3 1 3 1 3 1a ，a 是等差数列，则 2 a n a m a ，所以 2(2 n 4 ) = 2 m 4 2 p 4， 123 1 3 1 3 1分化简得 3 (2 3 p n3 p m1) 1 3 p m2 3 n m （*），因为 m n p N *, m n p ，所以 p m p n 1，p m n m 1，所以 3 p m3 p n 13 3 p n ，3 p m

23、3 n m 13 3 n m ，（*）左边 3 (2 n3 p n3 3 p n1) 3 ( 3 n p n1) 0，n m n m n m右边 1 3 3 2 3 1 3 0，所以（ *）式不可能成立，故数列 an 中不存在三项 a ，na ，a ，使数列 a ，a ，a 是等差数列 . 16 分例 10、【无锡市 2011一模】已知数列a n的首项a 13，a n123 a n1,n1,2,a m1,as1,a n1a n5（1）求证：数列11为等比数列；na（2） 记S n111S n100，求最大的正整数na 1a2a ，若（3）是否存在互不相等的正整数m s n ，使m s n 成等

24、差数列，且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由1 2 1 1 1 11解：（1）a n 1 3 3 a ，a n 1 3 a n 3， 2 分1 1 *1 0 1 0( n N )且a 1，a n， 3 分11数列 a n 为等比数列 4 分1 2 1 n 1 1 1 n1 ( ) 2 ( ) 1（2）由（ 1）可求得 a n 3 3，a n 3 5 分1 1S na 11 a 12 a 1n n 2( 13 3 123 1n ) n 2 31 313 n 1n 13 1n， 7 分1若 S n 100，则 n 13 n 100，n max 99 9 分2（3）假设存在，则

25、 m n 2 ,( s a m 1) ( a n 1) ( a s 1)， 10 分n n m s3 3 3 3 2a n n ( n 1) ( m 1) ( s 1)3 2，3 2 3 2 3 2 12 分m n s化简得：3 3 2 3， 13 分m n m n s3 3 2 3 2 3，当且仅当m n 时等号成立 15 分又 m n s 互不相等，不存在 16 分其三，我们知道，既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“ 互不相等”，从而找出矛盾，说明不存在。例 11、【2012上海一联】设等比数列 a n 的前n项和为 S ，已知 a n 1 2 S n 2( n N * )(1)求数列 a n 的通项公式；(2)在 a 与 a n 1 之间插入n