2022年《运筹学》知识点总结

1、1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是 无可行解。maxzx 1x26x 110 x21205x 1103x282.将下述线性规划问题化成标准形式。minz3x 14x22x35x44x 1x 22x 3x42（1）x 12x23x32x4x142x 1x34x 4 5x 4 x 2x ,1x,2x 30,x4 无约束解：令zz，x4xx44maxz 3x 14x22x 354x 1x22x 3xx 4 2144x 1x2x 32x 4 2x 4 x 52x 13x2x 3x 4 x 4 x 62x 1,x 2,x 3,x 4 ,x 4 ,x5,x

2、603.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中的可行域的哪个顶点。maxz10 x 195 x23x 14x 25x 12x 28x 1,x 20解：图解法：单纯形法：将原问题标准化：maxz10 x 15x 2910 5 0 0 3 对应图解法3 x 14x 2x35x 12x 2x 48x 1,x 2,x 3,x 40CjCBB b x 1x 2x 3x4中的点0 x 39 3 4 1 0 0 x 48 5 2 0 1 8/5 O 点0 j 0 10 5 0 0 3/2 C 点x 321/5 0 14/5 1 -3/5 10 x 18/5

3、1 2/5 0 1/5 4 5 j-16 0 1 0 -2 B 点x 23/2 0 1 5/14 -3/14 10 x 11 1 0 -1/7 2/7 j35/2 0 0 -5/14 -25/14 最优解为（ 1,3/2,0,0），最优值 Z=35/2。单纯型法步骤：转化为标准线性规划问题；找到一个初始可行解，列出初始单纯型表；最优性检验，求 cj-zj，若所有的值都小于 0，则表中的解便是最优解，否则，找出最大的值的那一列，求出 bi/aij，选取最小的相对应的 xij ，作为换入基进行初等行变换，重复此步骤。4.写出下列线性规划问题的对偶问题。m nmin z c ij x iji 1 j

4、 1nx ij a i i ,1 , mj 1（1）ms . t . x ij b j j ,1 , ni 1x ij 0 i 1 , , m ; j ,1 , nm nmax w a i y i b j y j mi 1 i 1y i y m j c ij i ,1 , m ; j ,1 , ns . t .x i , y j 无约束nmax z c j x jj 1n（2）s . t.j1aijxjb ij,1i,1m 1m 1m2 ,mnaijxjb iim 1,1j10n 1nxjxj无约束jn 1,1,nmminwi1b iyimi1aijyicjj,12 ,n1nms . t .i

5、aijyicj,1 2,jn 1,1m,n1yi0im 1m 1myi无约束i,1,5. 给出线性规划问题X*2,2 ,40,T，试根据对偶理论，直maxz2x 14x 2x 3x 4x 13 x 2x 482 x 1x 26s . t.x2x3x46x 1x 2x 39xj0j,14要求：（1）写出其对偶问题； （2）已知原问题最优解为接求出对偶问题的最优解。解：minw8y 16y 26y 39y4min w=28，y 12y2y42（1）s .3y 1y2y 3y 44y3y 41y 1y31yj0j,14（2）因为x 1,x2,x30，第四个约束取等号，根据互补松弛定理得：y 12y2

6、y 423y 1y2y 3y44y3y 41y 40求得对偶问题的最优解为：Y*4,31, 0,，最优值 min w=16 。55例 已知原问题 Max z =x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4x 1 + 2x 2 +2 x 3 +3 x 420 2x 1 + x 2 +3x 3 +2x 4 20 x 1、 x 2、 x 3 、 x 4 0和对偶问题Min w =20y 1 + 20 y2 y 1 + 2 y 21 2y 1 + y 22 2y 1 + 3 y 23 3y 1 + 2 y 24 y 1、 y 2 0已知对偶问题的最优解 求原问题的最优解及最优值。y 1 = 1.2

7、、 y 2 =0.2 ，最优值可用如下方法求解：引入将原问题和对偶问题化为标准形式。Max z =x1 +2x2 +3x3 +4x4和x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + x5 = 20 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 + x6 =20 x1、x2、x3 、x4 、x5 、x6 0Min w =20y 1 + 20y2 y1 +2y2 y3 = 1 2y1 + y2 y4 = 2 2y1 + 3y2 y5 = 3 3y1 +2y2 y6 = 4 y1、y2 、y3 、 y4 、y5 、 y6 0（1） y1=1.20，而 y1与x5中至少有一个为零，故 x5 =0。（2）同理

8、， y2=0.20，所以 x6=0。（3）对偶问题的第一个约束条件在取最优值时 y1+2y2=1.2+2 0.2=1.61这就表示该约束条件的松弛变量：y3=1.61=0.60 y3与x1中至少有一个为零，故 x1=0。（4）同理，对于第 2个约束条件在取得最优值时 2y1+y2= 2 1.2+0.2=2.62y4=2.62=0.60y4与x2中至少有一个为零，故 x2=0。（5）同理，对于第 3个约束条件在取得最优值时2y1+3y2= 2 1.2+ 3 0.2=3y5=3 3=0y5与x3中至少有一个为零，故 x30或者 x3=0 。（6）对于第 4个约束条件的分析也可得到x40 或者 x4

9、=0 。对于（ 5） 和（ 6）的分析，对于确定原问题的最优解没有 任何帮助。但从（ 1）到（ 4）的分析中得知，原问题取得 最优解时：x5=0，x6=0，x1=0， x2=0 代入原问题的约束方程组得：2x3+3x4= 20 3x3+2x4= 20 解此方程组，可求得原问题的最优解为：x1=0， x2=0 ，x3=4 ， x4=4 ，x5=0，x6=0弱对偶性的推论：(1) 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界反之对偶问(2) 如原问题有可行解且目标函数值无界( 具有无界解 ) ，则其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行

10、解且目标函数值无界，则其原问题无可行解。注意：本点性质的逆不成立，当对偶问题无可行解时，其原问题或具有无界解或无 可行解，反之亦然。(3) 若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之对 偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。强对偶性 ( 或称对偶定理 ) 若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的 目标函数值相等。互补松弛性 在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则 该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一 定为零。影子价格 资源的市场价格是其价值的客观体现，相

11、对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资 源的利用情况，是未知数。因企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影 子价格也随之改变。影子价格是一种边际价格。资源的影子价格实际上又是一种机会成本。随着资源的买进卖出，其影子价格也将 随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。生产过程中如果某种资源未得到充分利用时，该种资源的影子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。影子价格反映单纯形表中各个检验数的经济意义。一般说对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案，而对于对偶问题的求解则是确定对资源的恰当估价，这种估价直接涉及资源的最有效利用对偶

12、单纯型法： 转化成标准的线性规划问题；确定换入基变量， bi 小于 0 中的最小的那一排，再求（ cj-zj）/aij，且 aij0,d+,d-0 目标规划的图解法： 先画绝对约束的可行域， 然后按照优先性优先考虑某个目标约束，随着 最合适的那条，直到最后10.用割平面法解下列整数规划：（1）maxzx 1x22x 1x26s .4x 15 x220 x 1,x2,0且为整数min 系数中 d+或者 d- 的增大移动曲线，画出解：引进松弛变量x3, x4，将问题化为标准形式，用单纯形法解其松弛问题。0 3 cj1 1 0 CBX Bb x1x 2x 3x 40 x 36 【2】1 1 0 0

13、x 420 4 5 0 1 5 j1 1 0 0 6 1 x 13 1 1/2 1/2 0 0 x 48 0 【 3】-2 1 8/3 j0 1/2 -1/2 0 1 x 15/3 1 1 x 28/3 0 j0 找出非整数解变量中分数部分最大的一个基变量（0 5/6 -1/6 1 -2/3 1/3 0 -1/6 -1/6 x2），并写下这一行的约束：x22x 31x 422333将上式中的所有常数分写成整数与一个正的分数值之和得：x211x301x422333将上式中的分数项移到等式右端，整数项移到等式左端得：x2x3221x 321x40 0 333得到割平面约束为：x41x313332引

14、入松弛变量x ，得割平面方程为：1x 31x4x 5333cj1 1 0 CBX Bb x1x 2x 3x 4x51 x 15/3 1 0 5/6 -1/6 0 1 x 28/3 0 1 -2/3 1/3 0 0 x 5-2/3 0 0 【-1/3】-1/3 1 j0 0 -1/6 -1/6 0 j/arj0 1/2 1/2 5/2 1 x 10 1 0 -1 1 x 24 0 1 0 1 -2 0 x 32 0 0 1 1 -3 j0 0 0 0 -1/2 最优解为X*0 ,4 ,200,T，最优值为max z44=0，最优解不唯一？11.用分支定界法解下列整数规划max z 2 x 1 x

15、 2x 1 x 2 5（1）x 1 x 2 06 x 1 2 x 2 21x 1 , x 2 ,0 且为整数解：最优解（ 3,1），最优值 z=7。12.匈牙利解法：见课本145 页v 到9v 的最短路。13.如图，v 是一仓库，v 是商店，求一条从解：v0v1v23vv4v56vv7v8v9P=T=0 T=T=T=T=T=T=T=T=T=P=T=2 T=T=11 T=T=7 T=T=4 T=T=T=13 T=11 T=T=7 T=P=T=4 T=T=T=13 T=11 T=P=T=7 T=11 T=13 T=T=13 P=T=11 T=T=11 T=13 T=T=13 T=16 P=T=11 T=13 T=P=T=13 T=16 T=13 T=20 T=16 P=T=13 T=19 P=T=16 T=19 P=19 最短路长为 19。最短路为： 0129，0329，0349，01249，0789。14.如图，发点 1s ，s 分别可供应 10 和 15 个单位，收点 1t ，2t 可以接收 10 和 25 个单位，求最