第一篇微积分模型

1、PAGE 1PAGE 81第一篇 微积分模型在微积分部分的应用实例中，通过对应用问题建模主要培养应用极限、连续、相对变化率、微元、无穷级数、最优化和微分与差分方程等思想解决实际应用问题的能力。函数的性质包括分段性质、单调性、奇偶性等，由函数的基本性质可以产生对函数进行分类的方法。与函数基本特性相关的应用实例有：市话费是降了还是升了，外币兑换与股票交易中的涨跌停板，库存问题与库存曲线，“另类”的常量函数，蠓虫分类的初等数学模型，核军备竞赛问题等。数列与函数的极限和函数连续性质是处理变量变化过程的工具，应用重要极限计算连续复利利率的计算，应用函数的连续性和介值定理解决特殊的应用问题。与极限和连续等

2、内容相关的应用实例有：从科赫雪花谈起，复利、连续复利与贴现，出售相同产品的公司为什么喜欢扎堆，椅子为什么能放稳等。导数、微分是函数的相对变化的极限过程，函数的特性和极值理论可以解决经济管理中的实际应用问题，导数、微分在经济管理中的应用反映为边际、弹性等。相关的应用实例有：影子为什么那么长，边际是什么？弹性是什么？商家应该怎样制定自己的价格策略？不同消费群体的需求弹性问题，机械与人工的调配问题，易拉罐的形状，这批酒什么时候出售最好，该不该接受供货商的优惠条件，作者与出版商的利益冲突等。微元分析是微积分中一种重要的分析方法，特别是函数的连续求和归结为该函数的积分。与积分和微元分析内容相关的应用实例

3、有：洛伦兹曲线与基尼系数，均匀货币流的总价值与投资回收期的计算，下雪时间的确定，第二宇宙速度是怎样计算出来的等。离散变量的求和可以用无穷级数来表达，无穷级数的求和是一个极限过程。与无穷级数内容相关的应用实例有：最大货币供应量的计算，政府支出的乘数效应，运用现值计算进行投资项目的评估，谈谈龟兔赛跑悖论 等。如果影响研究问题的主要因素有两个或者两个以上，则要用多元函数的微积分学来处理，涉及到多元函数偏导数、偏边际、偏弹性和交叉弹性、条件极值等内容。相关的应用实例有：空调销售量的预测，相互关联商品的需求分析，衣物怎样漂洗最干净，拉格朗日乘数与影子价格等。变量的变化过程可以用微分方程或差分方程来描述，

4、通过对微分方程或差分方程的建立与求解，可以研究变量的形态和变化规律。与微分方程和差分方程相关的应用实例有：人口模型，单种群动物模型，相对封闭环境中的传染病模型，江河污染物的降解系数，怎样计算固定资产的折旧，放射性元素衰变模型，市场上的商品价格是怎样波动的，再谈下雪时间的确定，溶液浓度模型，饲养物的最佳销售时机，信贷消费中每月还款金额的确定，资源的合理开发与利用，从诺贝尔奖谈起，蛛网模型，梵塔问题，平面内直线交点的个数，菲波那契数列的通项公式等。1.1 市话费是降了还是升了2001年1月1日起，我国的电讯资费进行了一次结构性的调整，其中某地区固定电话的市话费由原来的每三分钟（不足三分钟以三分钟计

5、）0.18元调整为前三分钟0.22元，以后每一分钟（不足一分钟以一分钟计）0.11元。那么，与调整前相比，市话费是降了还是升了？升、降的幅度是多少？若以、分别表示调整前后市话费与通话时间之间的函数关系，则有为便于二者进行比较，我们可以按具体的时段计算上述两个函数对应的函数值及相应的调价幅度，并列成如下的对照表，如表1.1.1。表1.1.1 两个函数对应的函数值及相应的调价幅度与对照表 0.180.360.360.360.540.540.543.600.220.330.440.550.660.770.886.49升降幅度22%8%22%53%22%43%63%80%不难看出，只有当通话时间时，调

6、整后的市话费才稍微有所降低，其余的时段均比调整前有较大幅度的提高。评注1.理论依据：建立分段函数的方法及取整函数的应用。2.应用与推广：许多以时间、重量、距离等为计量单位的收费系统，如场地租赁费、邮政信函及包裹的邮寄费、各类交通工具的行李运输费等，通常都规定了最小的计量单位，且不足一单位的部分以一个单位计。此类问题均可以参照此例提供的方法借助取整函数建立函数关系。1.2 外币兑换与股票交易中的涨跌停板按某个时期的汇率，若将美元兑换成加拿大元，币面值增加12%；而将加拿大元兑换成美元，币面值减少12%。今有一美国人准备到加拿大度假，他将一定数额的美元兑换成了加元，但后来因故未能成行，于是他又将加

7、元兑换成了美元。经过这样一来一回的兑换，结果白白亏损了一些钱。这是为什么呢？对于这个问题，我们只要将两种不同的兑换用函数关系表示出来进行分析，就不难发现造成他亏损的原因：设美元可兑换的加元数为，加元可兑换的美元数为，则（1.2.1）（1.2.2）于是，先把美元兑换成加元，可得的加元数为；再把这些加元兑换成美元，所得的美元数应为，即显然，他亏损了1.44%。之所以会出现这样的结果，是因为两种兑换所对应的函数（1.2.1）和（1.2.2）不互为反函数。因为假若（1.2.1）和（1.2.2）互为反函数，则根据的性质，应有，他也就不会亏损了。类似的例子还有股票交易中的涨、跌停板。上海及深圳证券交易所为

8、抑制股票市场中的过度投机，规定了一只股票在一个交易日内的涨、跌幅均不得超过10%的限制，分别称之为“涨停板”和“跌停板”。假若某只股票第一个交易日涨停，而第二个交易日又跌停，则股价并不是简单地回到原地，而是比上涨前更低了。这其中的道理与造成外币兑换损失的原理是完全相同的。评注1.理论依据：反函数的性质。2.应用与推广：本例给出了判定两个函数之间不具备反函数关系的一个方法。参考文献：李心灿等：高等数学应用205例M.高等教育出版社.1997.8。 1.3 库存问题与库存曲线我们知道，不论是生产厂家还是商家，都要设置仓库用来存贮原料或是商品，因此库存问题也就成了他们都必须要面对的问题。如果在一个计

9、划期内（譬如说一年），生产厂家对原料（或商家对商品）的总需求量是一定的，则由于资金和仓库容量的限制，不可能将全部原料或是商品一次性采购进来，因此一般情况下所采用的都是分批进货的方法，于是就产生了相应的库存模型（也称存贮模型），其中最简单、也是最典型的一类就是“一致性存贮模型”。所谓，是在“一致需求，均匀消耗，瞬间入库，不许短缺。”的假设之下建立的模型。即在总需求一定的情况下，等量地分批进货，并以均匀的速度消耗这些原料（或商品）。而当一批原料（或商品）用完的时候，下一批原料（或商品）可以做到瞬间入库进行补充而忽略不计搬运入库的时间，从而不会有停工待料（或缺货）的现象发生。其库存量随时间变化的情况

10、可以用图1.3.1的库存曲线来描述： Q q O T 2T 3T 4T t图1.3.1 库存曲线图1.3.1中q表示每批进货的数量（称为“批量”）， T表示一个进货周期。可以看出，在每一个进货周期内，库存量都经历了一个由q均匀地递减到0的过程。虽然每一天的库存量都在发生变化，但我们用“削峰填谷”法不难得出此类存贮模型中的一个最典型的数量特征平均的日库存量恰为批量的一半（如图中的水平虚线所示）。于是，某个生产（或销售）过程中总库存费的计算就可以简化为一致性存贮模型总库存费批量单位库存费用库存时间这在实际操作中是非常方便的。评注：1. 理论依据：区间上线性函数的平均值。2. 应用与推广：一致性存贮

11、模型在经济批量问题中有着广泛的应用。1.4 “另类”的常量函数我们知道，所谓常量函数，是不论自变量如何变化、对应的函数值都始终保持同一数值不变的函数，其函数表达式可表示为 （为常数）但是，也有一种常量函数，其表达式却有点“另类”。例如，由计算机科学的创始人之一、美国的麦卡锡首创的“91函数”，就是一个用分段函数表示的常量函数，其定义如下： （为自然数）之所以称之为“91函数”，是因为对于取1到100之间任一整数值时，恒有。下面，我们就根据91函数的定义，通过具体的计算来验证这一点。先证明：然后，我们从最小的自然数1开始，逐个计算相应的函数值：不难看出，随着计算过程的延续，函数复合的层次越来越多

12、。为简明起见，姑且用符号表示层的复合，则上述计算过程就可以简记为注意到就是，而，所以 （1.4.1）代入上（1.4.1）式，可得 （1.4.2）而 于是，（1.4.2）式又化为不断重复上述过程，即得类似地，还可以验证此处就不再一一列举了。至此，我们完全有理由感叹“91函数”的构造是如此的精妙！重复的计算不但没有使人感到厌倦，反而让人得到了极大的愉悦。可以毫不夸张地说，数学的无比魅力已经在这里被展现得淋漓尽致了！感叹之余，人们也许会问，用这种表达方式表示常量函数，“91函数”是不是唯一的一个呢？会不会有“92函数”、“93函数”或是“85函数”之类的函数存在呢？通过对“91函数”的仔细观察与研究

13、，似乎可以发现其中的两个常数“10、11”与“91”之间有如下的关系：于是我们就有了如下的猜想：设分段函数 其中、为自然数，且，则对于取1到100之间任一整数值时，恒有这个猜想是否成立，建议有兴趣的读者证明或验证之。评注1. 理论依据：分段函数与复合函数的计算。2. 应用与推广：仿照“91函数”的结构，可以构造出更多的用分段函数表示的常量函数。参考文献：谈祥柏: 乐在其中的数学M.科学出版社.2005.81.5 蠓虫分类的初等数学模型两种蠓虫Af 和Apf 已由生物学家W.L.Grogna 和W.W.Wirth（1981年）根据它们的触角长度和翅长加以区分。现测得6只Apf 和9只Af 蠓虫的

14、触角长度及翅长的数据如下：Apf ：（1.14，1.78）、（1.18，1.96）、（1.20，1.86）、（1.26，2.00）、（1.28，2.00）、（1.30，1.96）Af ：（1.24，1.72）、（1.36，1.74）、（1.38，1.64）、（1.38，1.82）、（1.38，1.90）、（1.40，1.70）、（1.48，1.82）、（1.54，1.82）、（1.56，2.08）我们是否可以利用以上的已知数据，建立一种正确区分两种蠓虫的简单方法？ 图图1.5.1如果我们把每一只蠓虫的触角长度及翅长都看作是平面直角坐标系内的一个点并描绘在坐标纸上（如图1.5.1所示），不难发现

15、Apf类蠓虫大致分布在图象的左上角，而Af类蠓虫则大致分布在图象的右下角。于是我们就可以找到一条直线，使两类蠓虫分隔在这条直线的两侧。为了找到这样的直线（不妨称之为“分隔线”），我们首先从代表两类蠓虫的点中分别找出和两点，使这两点与坐标原点的连线、之间夹角最小，然后在线段上任选一点，则射线就是一条分隔线。若记则据此易求得点的横坐标，纵坐标，于是就是我们要求的分隔线的方程。为了方便地区分蠓虫类别，我们还可以根据分隔线的方程构造一个“判别函数”（1.5.1）对于任意一个蠓虫标本，利用这个函数的判别准则是： 若，则；若，则。根据前面所提供的数据可知，A、B两点的坐标分别是， ，将其代入（1.5.1）

16、式，即可得到具体的判别函数（1.5.2）其中可取区间上的任一数值（譬如令）。然后我们将已知的15个样本代入（1.5.2）式进行判别，可知无一例外地均归属于原有的类别。这也说明此判别方法是简单实用而且是有效的。需要指出的是，当我们利用上述判别函数对未知类别的蠓虫进行分类时，如果某样本点使得较大，则说明点远离分隔线，或者说点落在之外，因而据此所分的类别就可以认为是基本正确的；如果某样本点使得较小（譬如小于0.1），则说明点与分隔线的距离较近，甚至是落入之内，则此时的分类就有可能产生“误判”。对这种情况，通常可根据分类的目的采用修改数值的方法进行二次判别，有兴趣的读者可参阅有关的书籍。评注1.理论依

17、据：直线方程的建立以及由此推出的“判别函数”的构造方法。2.应用与推广：以直线划分平面的思想来进行二维点集聚类的方法也可以推广到用平面（或曲面）划分空间的方法进行三维点集的聚类。参考文献：李尚志：数学建模竞赛教程M.江苏教育出版社.1996.61.6 核军备竞赛问题进入20世纪50年代以来，当一部分国家拥有一定数量的核武器之后，其他的国家出于自身安全的考虑，同时也是为了打破“核垄断”、“核讹诈”，也必须发展一定数量的核武器，以保证在遭受第一次核打击之后，仍然能有足够的核武器保留下来，给对方以致命的还击。那么，人们非常关心的是，在这场军备竞赛中，是否存在着一个相对稳定的区域，即双方都认为他们各自

18、拥有的核武器数量是可以保证自身安全的呢？ x=f(y) y 双方安全区yM 乙方安全区 M y=h(x) y0 甲方安全区 0 x0 xM x图1.6.1设甲乙双方拥有的核武器数量分别为x和y，对于甲方来说，x的数量是依赖于y的，即存在某个单调增加的函数，可使甲方认为他们根据这个函数确定的核武器数量足以与乙方相抗衡，因此这个函数的曲线也称为甲方的“安全线”。通常，甲方实际生产的核武器数量一般都要满足，以确保自身的安全。反映在图象（1.6.1）上，表示的是曲线右侧的区域，称之为“甲方安全区”。至于曲线与x轴的交点，则表示当乙方 的核武器全部用完时（y=0），甲方只要保存枚核武器，就能给乙方以致命

19、的打击（如图1.6.1所示）。同理，乙方也有自己的安全线，这条曲线的上方即为“乙方安全区”， 是甲方的核武器全部用完时（x=0）乙方存有的核武器数量。两个安全区的公共部分称为“双方安全区”，也就是说，当双方的核武器数量都落入这个区域内时，彼此都会有一种安全感，因而这一轮的核军备竞赛就暂时进入了一个相对稳定的时期。可以证明，在第一次打击不能完全摧毁对方全部核武器的情况下，图中两条单调的曲线 和 必相交，它们的交点称为平衡点，和分别是甲乙双方都感到安全时所拥有核武器的最少数量。评注1.理论依据：曲线对平面的划分。2.应用与推广：在市场经济的环境中，相互竞争双方的博弈策略也可以用类似的方法来描述。参

20、考文献：沈继红等：数学建模M.哈尔滨工程大学出版社.1996.5 1.7 从科赫雪花谈起1906年，数学家科赫（H.Von Koch）在研究构造连续而不可微函数时，提出了构造能够描述雪花形状曲线的方法：图1.7.1科赫曲线将一条线段三等分，先以中间的一段为底边作一个正三角形，然后再去掉这个正三角形的底边，于是我们可以得到一条由4条长度为原线段长度三分之一的线段构成的折线。 如果我们对构成这条折线的每一条线段不断重复上述的步骤，得到的曲线就是所谓的“科赫曲线”（如图1.7.1所示）。 现在，我们作一个边长为a的正三角形，然后在这个正三角形的每条边上不断重复上述的变换，便可以得到科赫雪花图案。图1

21、.7.2给出的就是从一个正三角形开始依次进行了五次变换后所得到的结果：图1.7.2 科赫雪花若记、分别表示第n步变换后的科赫雪花的周长和面积，则周长依次为面积依次为于是，我们有上述结果表明，科赫雪花图案的面积是有限的，但该图形的周长却趋于无穷大！此类问题是分形几何研究的内容之一，有兴趣的读者可以参阅有关的书籍。 评注1. 理论依据：分形与数列极限的计算。2. 应用与推广：科赫雪花图案的面积是有限的，但该图形的周长却趋于无穷大，这在传统的欧氏几何学看来是多么的不可思议！而这恰恰又是分形几何的魅力所在。分形几何为描述自然界和社会系统中大量存在的不规则图形和现象提供了相应的思想方法，为解决传统科学众

22、多领域的难题提出了全新的思路，具有重大的理论意义和实用价值。参考文献：吴振奎：分形漫话J.读者.1998.101.8 复利、连续复利与贴现复利与连续复利不是同一个概念。下面，我们以银行存款的增长情况为例说明这个问题。设某顾客向银行存入本金元，若存款的年利率为，试计算年后该顾客存款的本利之和。若每年结算一次，则第一年末的本利之和是 第二年末的本利之和是 第年末的本利之和是: （1.8.1）若每月结算一次（即每年结算12次），则月利率可以计，于是由（1.8.1）式可得第年末的本利之和是 若每天结算一次（即每年结算365次），则日利率可以计，于是由（1.8.1）式可得第年末的本利之和是 综上可知，若

23、每年（期）结算次，则第年（期）末的本利之和应为这里不论是多少次，只要是按上式计算本利之和的都称之为“复利”。利用二项式定理可以证明，对任意的正整数，有这意味着每年（期）结算的次数愈多，则第年（期）末的本利之和就愈大。但这绝不意味着随着结算次数的增加可以使第年（期）末的本利之和无限制地增大！事实上，我们只要计算一下时第年（期）末的本利之和的极限，就不难得出正确的答案：（1.8.2）在这个计算过程中，表明结算周期变得无穷小，这就意味着银行要连续不断地向顾客付利息，这种计利方式就称为“连续复利”。搞清了复利与连续复利的概念，有助于我们了解资本市场上“资金的时间价值”与“贴现”等问题。一般地，我们将称

24、为资金的“现值”，而将按年利率以依连续复利形式计算出来的称为资金的“年未来值”。这就是资金的时间价值。了解了这一点，就可以在我们准备进行某项投资时判断该项投资是否有价值。显然，如果投资的预期收益小于按年利率以依连续复利形式计算出来的年未来值，那还不如把资金存在银行里。由公式（1.8.2），可得（1.8.3）利用（1.8.3）式可以在已知资金的“年未来值”的情况下求资金的现值 ，这个过程称为“贴现”。例如，财政部过去曾经发行过一种 “贴现国债”，老百姓只要花八十几元钱，就可以买到面值百元的国债（到期后可到银行兑付现金一百元），它就是用贴现的方法计算出来的。评注1.理论依据：第二个重要极限。2.应

25、用与推广：连续复利条件下资金的时间价值广泛应用于各类资本运作的决策过程。1.9 出售相同产品的公司为什么喜欢扎堆按照常理，一组出售相同产品的公司分布在不同的地理位置，可以让顾客得到均衡的服务。然而事实却恰恰相反，这些公司往往喜欢聚集在一起。例如，我们经常可以看见不止一个电脑公司或者是服装店彼此坐落在街对面或者是紧挨着。这是为什么呢？为了建立一个简单而又直观的数学模型来说明这个问题，我们首先假设：1. 、两家公司位于一条直线距离为1公里的街上，点、分别表示它们各自所处的位置，其中、；2. 两家公司出售同样的产品，且质量相同，价格也相同；3.个顾客沿街呈均匀分布，在同一个时期，每一个顾客都会购买一

26、个单位的产品；4.若两个公司处于同一个位置，则每个公司都会获得一半的顾客；若两个公司处于不同的位置，则顾客将选择去距离较近的公司购物。显然，当第一家公司进驻这条街的时候，不论它坐落在哪个位置，都将获得百分之百的市场份额。现在的问题是：另一家公司加入进来，怎样选址，才能获得最大的市场份额？第一家公司又该如何应对呢？如图1.9.1所示，不妨假设，即公司已经位于距离左边街口0.2公里处。下面，我们就来分析公司从左到右位于不同位置时各自市场占有率的变化情况： 图1.9.1如果，即公司位于左边的街口，此时两公司之间的距离为0.2公里。于是只有两公司之间靠左边二分之一街区的顾客会去公司购物，其余的顾客都将

27、去公司购物，即公司的市场占有率为0.1，公司的市场占有率为0.9；如果公司从左边向公司靠拢，则市场占有率就会不断地均匀增加，譬如当时，其市场占有率会上升至0.15。但只要是在公司左边，其市场占有率就始终不会超过0.2。换言之，此时公司市场占有率的极限是0.2；然而，一旦公司确切到达点处时，两个公司将平分市场，因为此时对顾客而言它们是无差别的。于是在点处，公司的市场占有率会突然从左极限值0.2不连续地跃升至0.5；接下来，如果公司继续向右越过公司一个微小的距离，即，则其市场占有率将再一次从0.5不连续地跃升至0.8，因为在点右边所有原先公司的顾客都将转到公司购物。随着公司继续向右侧移动，其市场占

28、有率又将从0.8不断地均匀降低，特别地，当时，公司到达了右边的街口，此时在两公司之间0.8公里的距离中，只有靠右边二分之一街区的顾客会去公司购物，其余的顾客都将去公司购物，即公司的市场占有率为0.4，公司的市场占有率为0.6。如果我们用表示公司的市场占有率，则在的前提下，公司的市场占有率函数可表示为如图1.9.2所示。 图1.9.2 时的市场占有率 图1.9.3 时的市场占有率如果将假设的改为任意的，则可以得到一般情况下公司的市场占有率函数图1.9.3给出的是时的情形。通过以上的讨论，我们可以得到两个结论：1. 对于公司来说，如果公司的位置在街区偏左的位置，即，则选择恰好在右边紧挨着公司时将会

29、获得大于50%的市场份额；同理，如果公司的位置在街区偏右的位置，即，则就要选在左边紧挨着公司的位置；2. 对于公司来说，为了不给公司留下市场份额超过自己的机会，选择在街区正中的位置可以保证自己的市场份额不低于50%。正是基于这个结论，所以在一条商业街中，首先进驻的公司往往希望自己刚好位于中心点，以获取最大的市场份额；此时公司的最佳选择是使自己位于街道另一边的中心点。这样，两个公司都可以获得50%的市场，如图1.9.4所示.在这个模型中，研究市场份额函数的连续性极其重要，因为模型的解是在不连续点得到的。而且，当市场份额函数的不连续点逐渐演变为连续点（由图1.9.1到图1.9.4）的时候，我们最终

30、得到了模型的均衡解，即两个公司都位于中心点。显然，改变这个结果不会使任何一个公司的情况变得更好。评注1. 理论依据：分段函数的连续性及其由不连续点到连续点的演化过程。2. 应用与推广：本例通过研究市场份额函数连续性的方法解释了同类公司喜欢“扎堆”这种现象是理性公司利润最大化行为的必然结果。类似的方法还可以讨论两个以上公司的选址问题。参考文献：霍伊等著、张伟等译：经济数学 M.中国人民大学出版社.2006.121.10 椅子为什么能放稳我们都有这样的生活经验：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳。但只要稍微挪动几次，就可以四脚着地放稳了。这是什么道理呢？为了能用数学语言说明这个问

31、题，必须对椅子和地面作出一些合理的假设：1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处看作是一个点，四脚连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的，沿任何方向不会出现间断（如没有台阶那种情况），即地面是数学上的连续曲面；图1.10.1 椅子四只脚位置示意图O3.地面相对平坦，不会出现连续变化的深沟或凸峰，能够使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。这里的假设1是显然的，假设2给出了椅子可以放稳的条件，假设3则排除了三只脚无法同时着地的情况。下面，我们就在这些假设的基础上建立椅子问题的数学模型。这里首先要解决的，是如何用数学语言把问题的条件和结论表示出来。如图1.10.1所示，如果我们以 A、B、C、D表

32、示椅子的四只脚， 以正方形ABCD表示椅子的初始位置，则以原点为中心按逆时针将其旋转角所得到的正方形就表示椅子位置的改变。换言之，椅子位置应该是角的函数；另一方面，由于我们可以以椅脚与地面的竖直距离是否为零作为衡量椅脚是否着地的标准，而椅子旋转就是在调整这一距离，因此该距离也应该是角的函数；注意到正方形的椅子腿是中心对称的，所以只要考虑两组对称的椅脚与地面的竖直距离就可以了。设A、C两脚与地面距离之和为，B、D两脚与地面距离之和为，显然 且由假设2可知，、均为连续函数；由假设3可知，与中至少有一个为零，即对任意的，。不妨设时，有 于是，改变椅子的位置使其四脚着地，就归结为证明下面的命题：已知、

33、均为的连续函数，对任意的，且、，证明至少存在一点，可使。注意到将椅子旋转后对角线AC与BD交换,于是由、知 设辅助函数 ，则在区间上连续，且 故由零点定理可知，至少存在一点，使得，即；又因为对任意的，所以与中至少有一个为零，故由以上模型的建立与求解过程不难看出，关键是选择了变量表示椅子的位置，以及用的两个函数表示椅脚与地面的距离，并且把问题的条件和结论翻译成了数学语言。至于利用中心对称和旋转并不是本质的东西。作为练习，请读者求解下面的“爬山问题”：某游客计划用两天的时间游览泰山。第一天上午七时开始登山，边走边看，共用了5个小时到达了山顶。第二天早晨看完日出之后，于上午七时开始按原路下山，回到起

34、点时也用了5个小时。试建立数学模型，证明在上下山的过程中至少有一次是在同样的时刻经过同样的地点。评注1. 理论依据：函数的连续性与零点定理的应用。2. 应用与推广：本例在合理假设的前提下，通过构造辅助函数建立数学模型，并以零点定理为工具求解，用数学语言解释了放在不平地面上的椅子的平稳问题。对于文中提出的爬山问题，也可以仿照本例提供的方法，通过构造辅助函数求解，其中表示登山者上山时在时刻所处的位置与山脚的距离，表示登山者下山时在时刻所处的位置与山脚的距离。参考文献：常大勇等：经济管理数学模型M.北京经济学院出版社.1996.121.11 影子为什么那么长当人们夜晚在马路上行走时，如果身后有一盏路

35、灯，就会看到前方的路面上留下了一条长长的身影，而且人影移动的速度明显比人行走的速度快了许多。下面，我们就用导数来解释这种现象。 图1.11.1如图1.11.1所示，表示路灯与地面的距离，表示人的身高，人沿着轴的正向前进。如果人在时刻由灯下的点前进至点，那么人的影子则从点“前进”至点，换句话说，时刻影子移动的距离即为线段长度。由导数的物理意义知，就表示影子移动的速度。由于，所以 ，由此可求得 假设人以匀速行走，速度为，则时刻行走的距离，于是从而有如果我们以灯高米、身高米、速度（米/秒）计算，即可求得影子移动的速度为（米/秒）这比人行走的速度要快多了。评注1.理论依据：对作直线运动的物体来说，如果

36、位移可以表达为时刻的函数，则即表示时刻物体移动的速度。2.应用与推广：任何一个可导函数的导数，都可以理解为因变量相对于自变量的变化“速度”，如总产量对时间的增长速度、利润对产量的变化速度等。1.12 边际是什么“边际”是经济学文献中经常出现的一个词汇，如“边际成本”、“边际利润”、“边际效用”等等。那么，这里所说的“边际”是什么含义？下面，我们就以“边际成本”为例来说明这个问题。设某产品的总成本是产量的函数于是，当产量为时，总成本即为。如果在此基础上产量增加单位，那么总成本相应的改变量为它与的比值表示产量由到这段生产过程中，平均每增加一个单位产量时总成本的改变量，即在这段生产过程中总成本的平均

37、变化率。显然，越小，比值就越接近于产量为时增加一个单位产量时总成本的改变量。如果当时，的极限存在，则在经济学上就把该极限值称为产量为时的边际成本。由导数定义可知，这里的边际成本，实际上就是在点处总成本对产量的导数，也就是产量为时总成本的变化率，即总成本的增长速度。注意到较小时，总成本在处的改变量可以用总成本的微分来近似，即于是，当时，有这表明，当产量达到时，再生产一个单位产量，总成本的增加值可以用边际成本近似地表示。在经济学中，通常略去“近似”二字，将边际成本解释为：当产量达到时，再生产一个单位产品所增加的总成本为，或者说是生产第单位产品所需要的生产成本为。从以上的讨论不难看出，所谓边际成本，

38、实际上就是总成本对产量的导数。一般地，在经济学中，某经济总量函数的导数称为该经济量的边际函数。例如，若收益是产（销）量的函数，则就称为边际收益函数；若利润是产（销）量的函数，则就称为边际利润函数。它们分别近似地表示产（销）量为时再产（销）一个单位产品所增加的收益和利润。类似地，在经济学中还有边际需求、边际供给等等。根据边际函数与边际量的求法及它们所表示的经济学含义，我们就可以对一些经济现象进行量化的“边际分析”。例如，如果某产品投放市场获得的利润是日产量（吨）的函数（元）则边际利润函数就是（元 / 吨）于是，当日产量分别为30吨、45吨时的边际利润为（元/吨） （元/吨）上述结果表明，当日产量

39、为30吨时，再增产1吨，利润可望增加约60元；而当日产量为45吨时，再增产1吨，利润将减少约30元。特别需要指出的是，如果我们令 可得，即，这表明当日产量为40吨时，再增产1吨，利润已经不再增加，经过进一步的判定可知，此时企业获得的利润是最大的。评注1. 理论依据：导数的概念及其经济学含义。2. 应用与推广：边际概念的建立，把导数引入了经济学，从此许多经济现象开始由定性分析转入了定量分析，从而为推动经济学的发展作出了卓越的贡献。 1.13 弹性是什么“弹性”是经济学文献中经常出现的另一个重要词汇，如“需求的价格弹性”、“消费的收入弹性”、“市场弹性与企业（产品或服务）弹性”等等。那么，这里所说

40、的“弹性”又是什么含义？要解释清楚这个问题，可以先从“需求的价格弹性”谈起。先介绍一个与弹性相关的概念绝对改变量与相对改变量。设变量由初值改变到终值，则称为变量在处的（绝对）改变量，称为变量在处的相对改变量。不难看出，绝对改变量指的是改变量的具体数值，而相对改变量则描述了改变量相对于初始值的变化幅度（后者常常用百分数来表示）。从某种意义上说，相对改变量更能反映变化的实质。例如，某品牌服装的价格从160元降为80元和某品牌空调的价格从2060元降为1980元相比，其价格的绝对改变量均为元，但服装的降价幅度是，而空调的降价幅度还不到。从以下的具体实例中，我们可以发现相对改变量与弹性之间有着十分密切

41、的关系。假设某百货公司根据市场需求对金饰品的价格进行了调整，由销售记录，可以得到调价前一周和调价后一周金饰品销售价格和需求量（即销售量）的有关数据如表1.13.1。表1.13.1 调价前后金饰品的售价和需求量调价前调价后单价需求量单价需求量420元350克399元420克现在就让我们借助于绝对改变量和相对改变量的概念，根据以上的数据设计出一个指标，使之能从数量上反映出金饰品价格波动对需求量的影响程度。第一步，我们要分别计算出价格和需求量的绝对改变量和相对改变量：价格的绝对改变量和相对改变量为（元），需求量的绝对改变量和相对改变量为（克），上述结果表明，降价5，使得金饰品的需求量增加了20；第二

42、步，计算需求量的相对改变量是价格相对改变量的倍数：由比值可知，需求量的变动幅度是价格变动幅度的4倍，也就是说，若价格平均变动1，需求量将随之变动4（这里的负号表示需求量和价格变动方向相反，即价格上浮，需求减少；价格下调，需求增加）。显然，我们第二步得到的这个指标从数量上比较精确地描述出了金饰品价格波动对需求量的影响程度。以上所讨论的虽然只是金饰品价格在和两点之间需求量受价格影响的平均变动情况，但却给我们提供了度量价格波动对需求量影响程度的一种方法。如果我们把这种处理问题的方法推广到更一般的情形，就得到了“需求量的价格弹性”（简称“需求弹性”）的概念：设某商品需求量是价格的函数，则称为该商品在价

43、格与两点间的需求弹性，记为，即它表示在区间上，价格波动1%，需求量平均变动。特别地，若当时，与之比的极限存在，则称此极限值为该商品在价格为时的需求弹性，记为，即它表示在价格为时，价格波动1%，需求量将随之变动约。两点间的弹性称为“弧弹性”，点处的弹性称为“点弹性”。不难看出，我们在上面所举实例中计算的正是在价格为420元399元两点间金饰品需求量对价格的弧弹性。由于价格升高（）会导致需求量的降低，所以需求函数一般都是价格的单调减函数，从而需求弹性一般也都是负值。这也是为什么需求量变动的幅度要表示为的原因。由需求弹性的概念可知，如果某商品需求弹性的绝对值大于1，则说明需求量变动的幅度大于价格变动

44、的幅度，也就是说价格提高（或降低）1所引起的需求减少（或增加）的幅度将超过1。此时我们就称该商品是“高弹性”的，或者说该商品的需求对价格波动的反映是敏感的，市场中的奢侈品多属于这一类；反之，如果某商品需求弹性的绝对值小于1，则说明需求量变动的幅度小于价格变动的幅度，也就是说价格提高（或降低）1所引起的需求减少（或增加）的幅度不会超过1。此时我们称该商品是“低弹性”的，或者说该商品的需求对价格波动的反映是不敏感的，市场中的生活必需品多属于这一类。因此，需求弹性绝对值的大小实际上反映的是需求量对价格变动是否敏感的程度。不论是对同一种商品还是多种商品，用弹性来描述需求量对价格变动敏感的程度都比用边际

45、来描述要方便的多，这是因为边际（即导数）表示的是变化率，是有单位的；而弹性表示的是“相对变化率”，是无量纲化的。更重要的是，需求弹性在经济学中还有许多其它的应用，因而是一个非常重要的概念。仿照需求弹性的定义，还可以得到一般函数弹性的概念：可导函数在处的相对变化率称为函数在处的弹性，记为，即它表示自变量在处变动1%时，因变量将随之变动约。评注1.理论依据：函数相对变化率的概念、含义及计算方法。2.应用与推广：弹性与弹性分析在需求与价格理论中有许多重要的应用，是一个非常重要的概念。1.14 商家应该怎样制定自己的价格策略“降价促销”是商家销售商品时经常要打的一张“牌”，然而是不是所有的商品都能采用

46、这种价格策略、以及采用这种价格策略的效果如何却不能一概而论。事实上，对于这个问题，我们只要深入研究价格波动过程中所产生的改变量对收益改变量的影响，就可以找到正确的答案。我们知道，收益是价格与销售量（即需求量）的乘积，即根据微分用于近似计算的原理，当价格改变量的绝对值较小时，收益的改变量可以用收益的微分来近似，即（1.14.1）联想到需求弹性，因此通过提取，可将（1.14.1）式化为由于需求弹性，所以上式又可改写为这个表达式向我们揭示了需求弹性在价格规律中所起的重要作用，具体分析如下：当时，商品是高弹性的。此时要使收益有所增加（即），必须，即需要采取降价促销、薄利多销的策略； 当时，商品是低弹性

47、的。因为此时需求量变动的幅度小于价格变动的幅度，所以即使涨价也不会造成销售量大幅度的降低。而单价的提高（）同样可以保证收益的增加（）。故此时适当地提高价格才是正确的应对措施；作为一种特殊的情况，如果，则称商品是单位弹性的。由于此时需求量变动的幅度与价格变动的幅度相等，因而也就没有对现行价格进行调整的必要了。评注1. 理论依据：微分的计算与应用以及需求弹性在价格规律中所起的作用。2. 应用与推广：需求弹性的大小对制定销售策略和合理确定价格有重要的参考价值。1.15 不同消费群体的需求弹性问题文献1中有一道这样的练习：“假设某商品的50%为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为，另外50%为25

48、个消费者购买，他们每个人的需求弹性为，试问这100个消费者合计的弹性为多少？”这个练习涉及到一个很普遍的现象：若干个消费群体购买同一种商品，且各个消费群体的需求弹性各不相同。那么在这种情况下，该商品总的需求弹性应该如何计算？它是否与每个消费群体的人数有关？下面我们就来讨论这一个问题。为简单起见，我们假设购买同一种商品的只有A、B两个消费群体，其人数分别为m、n ，需求弹性分别为和。如果记A、B两个消费群体各自的需求量分别为、，且其中消费群体A中每个人购买商品的数量为，消费群体B中每个人购买商品的数量为，则该商品总的需求量为（1.15.1）而在消费群体A中，每个人的需求弹性都可以表示为（1.15

49、.2）在消费群体B中，每个人的需求弹性都可以表示为（1.15.3）于是，由（1.15.2）、（1.15.3）式可得（1.15.4）（1.15.5）故总的需求弹性 （1.15.6）将（1.15.4）、（1.15.5）代入（1.15.6）式，即得分析以上的推导过程和所得的结果，可以得出以下的两个结论：1.不论m、n取什么数值，都不会对结果产生任何影响。这也就是说，该商品总的需求弹性只与两个消费群体各自的需求弹性和需求比例有关，而与每个消费群体的人数无关；2.由于、分别表示A、B两个消费群体各自的需求量占总需求量的比例（即概率），因此上述结果也表明，总的需求弹性恰好是各消费群体需求弹性的数学期望（即

50、平均值）！如果我们把上述的结果推广到n个消费群体的情形，就可以得到更一般的结论：设有n个消费群体购买同一种商品，如果每个消费群体的需求量与需求弹性分别为 与，则总需求量对价格的弹性可表示为各消费群体需求弹性的数学期望。即这个结论可以帮助我们解决实践中很多类似的问题。譬如说，某个企业生产的产品要销往若干个地区，只要能估算出各地区的销售量及需求弹性，就可以根据上述公式计算出总的需求弹性，这就为该企业制定相应的价格策略提供了重要的参考依据。最后再让我们回过头来看看本文开头提出的练习，极易计算出所求的弹性为这与文献1用了大量的篇幅所计算出的结果是完全一致的。评注1. 理论依据：弹性的概念与计算。2.

51、应用与推广：如果某个企业生产的产品要销往若干个地区，而每个地区的需求弹性又各不相同，则根据本例得到的公式可以方便地计算出总的需求弹性，这就为该企业制定相应的价格策略提供了重要的参考依据。参考文献：1 尹伯成：现代西方经济学习题指南（微观经济学）M.复旦大学出版社.1993.1。1.16 机械与人工的调配问题某工程公司采用机械和人力联合作业的形式在各个工地进行施工。经长期统计分析知，每周完成的工程量与投入施工的机械台数和工人人数之间有如下的关系：一个时期以来，工地一直是9台机械和16名工人在施工。如果这个时候需要从工地抽调一台机械支援工地，则应补充多少名工人，才能使工地的工程进度不受影响呢？由于

52、工地现在每周的工程量为 因此，上述问题即转化为在工程量41472保持不变的情况下，如何根据关系式 即 求出工人人数相对于机械台数的变化率。利用隐函数求导法，上式两边同时对求导，得从而当、时，有于是这里的负号表示人数与机械台数变化的方向正好相反，即这时减少一台机械，大约需要增加3名工人才能使工程进度不受影响。评注1. 理论依据：变化率的“边际”含义及隐函数求导法。2. 应用与推广：在许多实际问题中，如果两个变量与之间可以建立起可导的函数关系（不论是显函数还是隐函数），则就近似地表示自变量在处变化一个单位时因变量也随之变化个单位。1.17 易拉罐的形状我们知道，制造一个容积一定的罐头状圆柱形容器，

53、当它的高与底面直径相等时用料是最省的。然而易拉罐的形状却并非如此，它的高比底面直径要大一些。这又是为什么呢？如果我们仔细地观察一下易拉罐的结构，不难发现它的上、下底要比侧壁厚一些。其实问题就在这里：我们原先的结论是建立在容器上、下底厚度与侧壁相同的前提下推导出来的，如果厚度不同，结论当然会有所不同。下面，我们就来讨论在用料最省问题中圆柱形容器上、下底与侧壁厚度对高与底面直径之比的影响。设易拉罐的底面半径为，高为，容积为。如果侧壁的厚度是1个单位，上、下底的厚度是侧壁厚度的倍，则所用材料的体积为令，得惟一驻点，易知它就是的极小值点，也是实际问题的最小值点，此时这表明，制造一个容积一定的罐头状圆柱

54、形容器，如果上、下底的厚度是侧壁厚度的倍，则要使所用材料最省，高也应该是底面直径的倍。明白了这个道理，就不难理解为什么易拉罐要做成那样的形状了。评注1.理论依据：极值应用中的用料最省问题。2.应用与推广：善于从熟知的结论中多问几个为什么，是启迪人们创新思维的有效方法之一。1.18 这批酒什么时候出售最好？*本问题为1998年全国硕士研究生入学考试数学四试题。某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就售出，总收入为元；如果窖藏年后按陈酒价格出售，则总收入为元。假定银行的年利率为，并以连续复利计息，那么，这批酒窖藏多少年售出才能使总收入的现值最大呢？要解决这个问题，首先应该搞清楚什么是“总收入的现值”。我

55、们知道，资金的时间价值体现在计算公式（1.18.1）之中，其中为资金的现值，为按年利率以连续复利计息的年未来值；另一方面，我们由（1.18.1）式又可以得到（1.18.2）公式（1.18.2）称为“贴现”公式，根据这个公式就可以把按年利率以连续复利计息的年未来值折合成现值。现在我们重新回到原来的问题之中。如果记年未总收入的现值为，则令 ，得唯一驻点 ；由于时，时，故是极大也是最大值点，即这批酒窖藏年售出可使总收入的现值最大。至于这批酒是现在出售还是窖藏起来待来日出售，取决于按上述方法计算出来的现值是否大于现在出售的总收入与窖藏成本之和，实际操作时根据具体情况是不难作出决策的。评注1. 理论依据

56、：资金未来值的贴现与收益的最大值。2. 应用与推广：不论是哪一类的经济活动，都不能忽视资金的时间价值。1.19 该不该接受供货商的优惠条件东风化工厂每年生产所需的12000吨化工原料一直都是由胜利集团以每吨500元的价格分批提供的，每次去进货都要支付400元的手续费，而且原料进厂以后还要按每吨每月5元的价格支付库存费。最近供货方的胜利集团为了进一步开拓市场，提出了“一次性订货600吨或以上者，价格可以优惠5%”的条件，那么，东风化工厂该不该接受这个条件呢？这里所涉及的实际上是如下的两个问题：1. 东风化工厂原来使总费用最低的进货批量是多少；2.在新的优惠条件下，原来已经达到最低的总费用能不能继

57、续降低。为简单计，不妨假设东风化工厂全年的生产过程是均匀的，于是第一个问题就可以转化为“最优经济批量问题”求解：设化工厂每批购进原料吨，则全年需采购次，从而支付的手续费为（元）另一方面，由于化工厂全年的生产过程是均匀的，根据一致性存贮模型（见1.3库存问题与库存曲线）知“日平均库存量恰为批量的一半”，即吨，故全年的库存费为 （元）。于是可得该化工厂全年化在原料上的总费用（原料费、库存费与手续费之和）为（元）令 ，可得唯一驻点 再由时及时即知，是极大值点也是最大值点，即当化工厂每批购进原料400吨时可使全年化在原料上的总费用最低。此时不难算得最低总费用为602.4（万元），全年的采购次数为30。

58、现在，假如接受供货方的优惠条件，那就意味着批量要由原来的400吨至少提高到600吨。如果就以600吨计算，则全年的采购次数变成了20，平均库存量也变成了300吨，这样一来，原料费、库存费、手续费都会发生相应的变化。于是，全年的总费用变为（万元）通过比较即知，只要库房容量允许，将每批的进货量由400吨提高到600吨，全年就可以节约资金（万元）。因此供货商的优惠条件是应该接受的。注意：由时知总费用函数当批量时是单调增加的，既然已经算得600吨是优惠条件限制之下的最优批量，因此当批量超过600吨时我们是不予考虑的。评注1. 理论依据：求最优批量，使总费用最低。2. 应用与推广：最优批量问题广泛应用于

59、各类库存管理与生产决策之中。1.20 作者与出版商的利益冲突一本新书上架以后，通常出版商会将该书的收入按一定的比例支付给作者作为稿酬，这就是所谓的“版税”。销量大，不但出版商可以获得较大的利润，作者获得的版税也会水涨船高，因此很多人会认为作者与出版商所期望达到的目标应该是一致的。其实不然，通过以下的分析，你会发现在市场需求的制约之下，作者与出版商所期望的销量会有明显的差异。先来看一个具体的例子：某作者准备出版一本专著，并与出版商签订了按销售收入10%的比例提取版权费的合同。假设该专著的印刷成本为每册36元，市场需求为 （为销售量，为价格）则作者的收益为令，得惟一驻点；再由知是极大值点，也是实际

60、问题的最大值点，即销售50册、每册定价100元时作者获得的收益最大，最大收益为元；而对于出版商来说，他的利润必须要考虑付给作者版权费：令，得惟一驻点；再由知是极大值点，也是实际问题的最大值点，即销售40册、每册定价120元时出版商获得的利润最大，最大利润为元。此时作者的收益是元。事实上，作者与出版商之间的这种利益冲突总会产生而不是因为特殊例子的选择。如果我们以表示版权费率，则作者的收益与出版商的利润可以分别表示为如果是作者收益最大化时的销售量，则应该有 或 （1.20.1）如果是出版商利润最大化时的销售量，则应该有 或 注意到边际成本，所以又有（1.20.2）由于我们通常假设边际收入随产量的增