北师大版小学数学五年级下册第八单元《平均数的再认识》教学建议

1、平均数的再认识（进一步认识平均数及其实际意义）学习目标1.结合解决问题的过程，进一步认识平均数，体会平均数的实际应用。2.在运用平均数的知识解释简单生活现象、解决简单实际问题的过程中，进一步积累分析和处理数据的方法，发展数据分析观念。编写说明本节内容是在学生认识平均数，能用自己的语言解释其实际意义的基础上进行的。平均数是一个重要的刻画数据集中趋势的统计量，在日常生活中，特别是在工农业生产中经常用到，它既可以反映出一组数据的集中趋势，也可以用来进行不同组数据比较，看出组与组之间的差别。为此，教科书安排了三个问题。其中，第一个问题是利用北京市6岁男童、女童的平均身高，解释1.2m免费乘车的合理性：

2、第二个问题是体会极端数据（个别数据偏大或偏小）对平均数的影响：第三个问题是谈对平均数的新认识。目的是进一步认识平均数，体会平均数不是一个孤立的数据，而是代表一组数据的平均水平，及一些实际问题的解决需要应用平均数的知识。根据有关规定，我国对学龄前儿童实行免票乘车，即一名成年人可以携带一名身高不足1.2m的儿童免费乘车。这是平均数在生活中的实际应用。教科书描述了问题情境，提出了两个问题，鼓励学生表达对1.2m这个数据的看法，说说这个数据是如何得到的。根据提供的北京市6岁男童、女童的平均身高的数据，解释1.2m免费乘车规定的合理性。目的是进一步体会平均数的意义，发展学生的数据分析观念。下表是“新苗杯

3、”少儿歌手大奖赛的成绩统计表。教科书呈现了“新苗杯”少儿歌手大奖赛的成绩统计表，提出三个问题。第（1）题是计算3位选手的平均分，排出名次；第（2）题讨论为何在比赛中要去掉一个最高分和一个最低分；第（3）题是去掉一个最高分和一个最低分后，再计算每位选手的得分，并排出名次。在问题解决的过程中，让学生体会极端数据（个别数据偏大或偏小）对平均数的影响，从而理解比赛中去掉一个最高分和一个最低分的合理性。说一说，你对平均数有了哪些新的认识？教科书呈现了学生可能的两种想法，即淘气、笑笑讨论的想法，启发学生从多角度来认识平均数。例如，淘气认为平均数具有代表性，说明了平均数是反映一组数据集中趋势的统计量；笑笑认

4、为一组数据中任何一个数有变化，平均数都会随着变化。目的是让学生进一步体会平均数的意义，并能用自己的语言解释其实际意义，体验运用已学的统计知识解决问题的乐趣，树立学好数学的信心。教学建议根据有关规定，我国对学龄前儿童实行免票乘车，即一名成年人可以携带一名身高不足1.2m的儿童免费乘车。教学时，建议参考以下教学环节。首先，建议教师带领学生复习学过的关于平均数的知识，鼓励学生举例说明自己对平均数的理解，方便教师根据学生的实际情况进行教学。其次，建议教师出示此问题，鼓励学生自己读题，理解题意，在此基础上，组织学生分小组展开对两个问题的讨论与交流。最后，组织全班交流。交流时，要关注学生对问题的思考过程。

5、对第（1）题的理解，学生可能是多方面的，如通过调查得到的，这个数是个平均数等。在教学中，学生对规定的身高不足1.2m的儿童免费乘车的这个数据可能有不同的看法，借此，可出示第（2）题中的调查数据，让学生学会用数据说话，理解1.2m这个数据（免票线）确定的合理性，从而体会平均数在生活中的实际意义。下表是“新苗杯”少儿歌手大奖赛的成绩统计表。教学时，建议参考以下教学环节。首先，建议教师出示教科书中的统计表，让学生把统计表填写完整，并排出名次。其中，选手1的平均分为96分，选手2的平均分为95分，选手3的平均分为90分，从高到低名次依次是：选手1，选手2，选手3。其次，建议教师提出问题：“在实际的比赛

6、中，通常都采取去掉一个最高分和一个最低分、然后再计算平均数的计分方法。你能说出其中的道理吗？”提出问题后，组织学生进行讨论与交流。在教学中，大部分学生能想到这样比较公平，因为有的评委打分太高，有的评委打分太低，会影响选手的最终名次。虽然学生不能准确描述平均数容易受极端数据的影响，但只要学生能理解把最高分和最低分去掉后，再求平均分就更具有代表性即可。学生表达得合理，教师就应给予肯定。再次，让学生去掉一个最高分和一个最低分，再算一算3位选手的最终成绩，并排出名次。此时，选手1的平均分为96分，选手2的平均分为97分，选手3的平均分为89分，从高到低名次依次是：选手2，选手1，选手3。最后，组织学生

7、讨论为何两次计算的结果不同，名次也不同，让学生体会到极端数据对平均数的影响。需要说明的是，教师要清楚平均数是反映一组数据集中趋势的统计量，当一组数据中出现极端数据（个别数据偏大或偏小）时，平均数会受其影响，不能很好地代表这组数据的集中趋势。因此，会出现两次计算平均分、名次有变化的情况。这些不需要让学生去记忆和背诵，只要学生结合举例了解即可。说一说，你对平均数有了哪些新的认识？教学时，建议直接出示问题“你对平均数有了哪些新的认识”，鼓励学生用自己的语言举例进行描述，然后组织学生交流。一般来说，学生能想到平均数有代表性，能表示一组数据的平均水平。通过对上一个问题的学习，学生也能体会到平均数容易受极

8、端数据的影响，有时候不能很好地代表一组数据的平均水平。只要学生描述得合理即可。对学有余力的学生，鼓励其查阅更多的资料，进一步了解平均数，感受平均数与生活的联系，体会平均数在日常生活中的作用，发展学生的数据分析观念。练一练“练一练”一共3道题。第1题是配合着问题串，鼓励学生根据平均分去作出判断，加深学生对平均数的理解。第2题则鼓励学生在新的情境中，计算出平均年龄，进一步加深对平均数的理解。第3题是一道拓展题，侧重对数据的整理、分析过程。第1题理解该如何去计算数学和英语喜欢程度的平均分，根据平均分如何去作出判断。同时，注重学生对平均数的理解。交流时，要关注对学习困难学生的指导。答案：（1）数学喜欢

9、程度的平均分是3分，英语喜欢程度的平均分是2.4分；（2）对于这个组的学生，数学更受欢迎。第2题交流时，关注学生对第（2）题的描述和分析，先让其估计平均年龄是变大了还是变小了，并让其说说理解，从中让学生体会到相对于这一组数据而言，45是个极端数据，对平均年龄会有影响的。答案：（1）这些小朋友的平均年龄为7.875岁；（2）老师加入后，做游戏的人的平均年龄为12岁。第3题本题是一道拓展题，不作全班统一要求。在交流时，要关注学生对数据的整理、分析过程，学生整理和分析数据的方法可能有所不同，但只要学生分析的结论清楚，能反映实际背景即可。这道题目要让学生明白分数越低，喜好程度越高。答案：按照喜好程度从

10、高到低排列如下：苹果得分是6，香蕉得分是9，西瓜得分是12，橘子得分是17，葡萄得分是19，梨得分是25，桃得分是28，菠萝得分是28。“去掉最高分和最低分”的启示近几年来，电视屏幕上不断出现各种竞赛的实况。当一个演员表演完毕后，先由10个（或若干个）评委亮分，裁判长用这10个数据判分时，总要去掉最高分和最低分，再用其余的8个数据的平均值作为该演员的最后得分。现在这已是人们的常识了。这一常识背后的数学，就是数据处理中的代表数问题。算术平均数是最常用的技巧，在我国也是最普及的数学知识之一。任何一个干部和工人，至少都懂得平均数和百分比这两个概念。“我厂工人平均工资是多少，这次有百分之几的人可以加工

11、资”这类话人人都能懂。学生的成绩用总分来衡量，也会用总平均来衡量。比较两班学生的某科成绩，也用各班该科得分数的平均数作为衡量标准。至此，人们将平均值奉为至宝，似乎是金科玉律、无可更改的科学定则。实际上不尽然，用算术平均数来作为代表数，有两个缺点：一是容易受异常值的影响；二是计算比较复杂，不能一眼看出。前面所说的去掉最高分和最低分就是为了避免第一个缺点。让我们看一个极端的例子。如果一个班级有30个学生，其中两个学生逃学旷课，数学考试只得2分和10分。此外，有5个学生得90分，22个得80分，1个得78分。此时，该班数学成绩的平均分是：（2+10+590+2280+78）=230076.67（分）

12、确实，如以76.67分作为该班平均分，太受那两个得2分和10分的同学牵连了。结果不能反映大多数人的真实状况。从直观上看，应在80分或80分以上才对。于是我们就去掉一个最低分，总平均约是229879.2分；如果去掉两个最低分，总平均则是228881.7分。这似乎比较符合实际了。但是这种去掉最高分或最低分的方法，在计算全班总成绩时未免有“弄虚作假”之嫌。明明是本班的学生，为何不计入总分呢？所以去掉最高分和去掉最低分的方法，不见得都合适。上述的以平均数作为代表数，由于异常值的影响往往不能反映中等水平，一般以为的平均数就是中等水平，乃是误解。上述30个学生的数学成绩中，总平均数是76.67分。某同学得

13、78分，超过平均数，似乎该是“中上”水平了，其实他是倒数第三名！那么我们用什么办法来刻画“中等水平”呢？这就是数据的中位数。其定义为：设有n个数据，将它们从小到大依次排列为x1，x2，xk，xn。如果n是奇数，则第项是中位数；若n是偶数，则取第项和第项的平均值作为中位数。中位数的特征是比它大的数据个数和比它小的数据个数一样多，它恰在中间位置。例1 在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员打分。例如：9.30，9.35，9.45，9.90。其中位数是当中两项的平均值：（9.35+9.45）=9.40（分）。这相当于去掉最低分9.30分和最高分9.90分而得出的平均分。体操比赛规定这样给分，就避免

14、了过高分数9.90分的影响，同时9.40分处于裁判分的中间数，不偏不倚，十分公正。例2 上面的30个学生的数学成绩中，若依大小排列后，第15位和第16位都是80分，所以中位数就是80分。那么78分低于此数，当然是中下水平无疑了。例3 若一个生产小组有15个人工作，每人每天生产某零件的数目是6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，12，12，17，18。如此平均数作为标准日产量则是15110.07。若取中位数则是第8个数字9。比9大的有7个人，比9小的也有7个人。以9为标准日产量，则有半数人可超产。管理者若希望多数人超产，则应定得比中位数低；若希望少数人超产，则应定得比中位数大一些。这

15、些数都是中位数提供的信息。众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次数最多的那个数据。例如，全班30人所穿鞋子尺寸为：33号的5人，34号的6人，35号的15人，36号3人和37号1人。如取平均数得34.63，此数没有多大意义，鞋厂不生产34.63号码的鞋。如取众数，则为35号。该班穿35号鞋的人最多。通常评“最佳”“最受欢迎”“最畅销”等往往都和众数有关系。比如，美国某厂职工的月工资数统计如下：月工资数/美元得此工资的人数100001（总经理）80001（副总经理）50002（助理）20005100012900188002370055002如何来选取该厂的月工资代表数呢？经计算，平均值为1387美元，中位数为900美元，众数为800美元。工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工资来提高平均数，故采用1387美元。工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职工中以拿每月800美元的人最多）。而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求对策。我们常说“胸中有数”，但是究竟有些什