第一章晶体几何基础

1、第一章晶体几何基础本章中首先阐明什么是晶体，然后根据晶体内部结构上区别于其它物体的共同特点，进一步导出晶体的共同规律，最后得出一切晶体所具有的共同性质。第一节 晶体的定义一、晶体内部结构的周期性从晶体的英文名称 Crystal 词源cristal（Middle English from Anglo-French）crystallum（from Latin）krystallos（from Greek）可以知道晶体的最初含义，即洁净的冰，后来直到时代才用于称呼石英晶体，这也就是为什么西方常用 Crystal 表示水晶的原因。这也说明人们认识晶体，首先是从外部形态开始的。在自然界的产物中例如石英、食

2、盐、等，都具有独特的多面体形态。于是人们就将这种天然具有规则几何外形而不是认为磨削的固体称作晶体。但是这种认识并没有从本质上抓住其特点。规则的几何外形并不是其必要条件，比如石盐，有的为立方形态的晶体，也有任意形态的晶体，但是初形态外的其它特性比如密度、硬度都是完全一样的。通过实践证明，如果将任意形态的石盐颗粒放入 NaCl 过饱和溶液中，让其有充分的空间生长，最终能长成立方体的形态。由此可见，规则的几何外形并不是晶体的实质，它只是晶体内部某种本质所具有的规律在外表上的一种反映。直到本世纪初，（Laue）应用 X 射线对晶体构造进行后，才真正弄清楚晶体的含义。在晶体中，组成它们的物质的质点在空间

3、中按格子构造的规律来分布的，例如食盐的结构。Na+Cl-图 11a)为食盐晶体的结构图，大球代表氯离子（Cl），小球代表钠离子（Na+），可以看出，这些离子在空间的不同方向上，各自都是按一定的间隔重复出现的。例如沿着立方体的三条棱边方向，Na离子与Cl离子各自都是每隔 0.5628nm的距离重复一次。而沿着两条棱边交角的角平分线方向，则各自都是每隔 0.3978nm重复一次。在其它方向，情况也类似，只是重复间隔大小不同罢了。用点和圈分别表示Na离子与Cl离子的中心点，并用直线将它们连接起来，那么显然可以得出一个格子状的图形来，如图 11b)所示。实践证明，不论外部形态如何，所有的食盐都可以抽象

4、出这样的一个图形。之所以能够成为这样的立方体形状，正是受这种格子构造规律性制约的必然结果。对于其它任何一种晶体而言，情况是完全类同的，比如，MgO晶体，其组成单元为Mg21和O2，如果把图 11 中的小球看作Mg2，大球看作O2，则图 11 的结构就变为MgO的结构，不同之处在于沿立方体的棱方向重复周期为 0.4203nm。不论外形是否规则，它们的内部质点在三都有规则地成周期性重复排列而格子状构造，所有的晶体无一例外都具有这样的性质。所不同的是，晶体不同，其组成单元不同，排列方式和间隔大小也就相应不同，相应所形成的结构复杂程度也就不同。但是不管它的结构多么复杂，都遵循这样一条规律；其组成单元（

5、质点）在三中成周期性排列。这也是晶体与其它状态物体之间的本质区别。这样就得出了晶体现代定义：晶体是内部质点在三固体。更简洁的定义：晶体是具有格子构造的固体。二、晶体结构与空间点阵中呈周期性排列的既然晶体都是具有格子构造的固体，但是千变万化的晶体是否具有共同规律呢？肯定的。下面简单予以说明。是首先看一维情况，如图 12 所示，显然这是一个沿一定方向以一定距离重复的一维结构图形。把这些基本单元抽象成既无质量又无大小的几何点，这样就可以抽象出如b 所示的图形。其中的几何点称为阵点（又称为结点，等同点），相邻两个阵点的距离 a 称为基本周期， av 称为平移向量。再看二维或三维情况，将一个二维或三维晶

6、体结构中的结构单元加以抽象，就会得到相当于二维晶体结构或三维晶体结构的图形，它们分别称为平面点阵和空间点阵，如 13，14 所示。类似地存在两个基本向量（ a 和b ）和三个基本向量（ a ， b 和 cv ）。像这样按照一定的规律从实际晶体结构中抽象出的图形就称为空间点阵。空间点阵又称为空间格子。显然可以用几何关系来表示这种重复规律，即用下面的向量关系来表示：Tv mav nbv pcv(m, n, p 0, 1, 2 任意整数）那么从一个阵点出发，只需要按T 向量进行平移，就可以得到所有的阵点。整个图形就可以复原。从这个意义上讲，晶体就是具有T 向量的固体。根据晶体特征抽象出来的阵点，其特

7、征有二：质点种类相同。质点周围的环境和方位相同。等同点可以由原子、离子、离子基团点阵。，等同点在三中有规律重复出现即由此看来，空间点阵和晶体具有下面的关系：晶体结构空间点阵具体的结构单元，阵点都是抽象的纯几何图形，都没有具体的这样就可以看出：空间点阵及其物质内容。但这种抽象又不是凭空臆造的，而是和实际晶体相联系的。但是通过这种抽象可以更深入地反映物质的本质和规律。结合从前所学的几何知识，可以从空间点阵的基本规律：1、 结点（node）点阵中的点，只有几何意义。相邻结点间的距离称为结点间距。2、 行列（row） 结点在直线上的排列，联系在一条直线上的结点行列。点阵中的任意两个结点连系起来都可以决

8、定一个行列。特点：平行的行列间距相等。一个面3、 面网（net） 同一平面内的结点网。相互平行的面网间距相等面网，任意两条相交的行列都可以24、平行六面体，连系分布在三中的结点平行六面体。显然任意三个不相交且不在同一个面网内的行列都可以决定一个平行六面体，平行六面体的集合就形成了空间点阵。因此，结点、行列、面网和平行六面体就了空间点阵的四要素。有些看起来像晶体的物质如玻璃、琥珀、松香等，它们内部质点的排列，不具有格子构造，而被称之为非晶质或非晶。从内部结构的角度来看，非晶中质点的分布类似于液体。后来又发现介于晶体和非晶体之间的固体，即准晶体（原子呈定向长程有序排列、但不作周期性平移重复、具有与

9、空间格子不相容的对称（如五次对称轴）的固体）。三、晶体的特性由于晶体是具有格子构造的固体，因此，晶体就具备了所共有的、由格子构造所决定的基本性质。1、自限性：指晶体能自发形成几何多面体外形的性质。晶体的多面体形态，是其格子构造在外形上的直接反映。但实际晶体中呈完整几何多面体形态的较少见，这是因晶体生长时受外界条件影响所致。2、均一性：由于同一个晶体的各个不同部分，质点的分布是一样的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的，这就是晶体的均一性。这是由晶体的格子构造所决定的。3、各向异性：指晶体的特性（如晶形、电导率、磁化率等）在不同的方向上有所差异的性质。非晶是各向同性的。同一格子构造

10、中，在不同的方向上质点的排列一般是不一样的，因此，晶体的性质也随方向不同而有所改变。如的硬度，随方向的不同而有显著的差别，平行晶体延长的方向可用小刀刻动，而垂直于晶体延长的方向则小刀不能刻动。又如沿石墨晶体底部测得热导率为沿柱面方向的 106倍。4、对称性：指晶体的等同部分能通过一定的操作而发生规律重复的性质。晶体的外形上，也常有相同的晶面、晶棱和角顶重复出现。晶体的对称性将在后面详细。5、最小内能：相同的热力学条件下晶体与同种物质的非晶体、液体、气体相比较，其内能最小。所谓内能，就是晶体内部所具有的能量（动能与势能）。对于一个晶体来说，他要处于一个稳定的状态，在结晶时就要将多余的能量间引力与

11、斥力的平衡。掉，从而达到有规律的排列的质点6、稳定性：由于晶体有最小的内能，因而结晶状态是一个相对稳定的状态。7、固定的：如果把晶体和非晶体同时加热，可以得到的曲线。可以看到，对于晶体，开始加热，温度随时间呈直线上升，加热到一定温度（Tm，称为）时，温度不再上升而保持恒定，吸收的热量全部用来使晶体熔化，即晶体由规则的构造变为无规则的构造。只有这种结构被打破后温度才继续上升。而对于非晶体，随时间延长，温度不断上升。晶体时间3温度第二节 晶体的宏观对称性自然界存在的晶体千差万别，如何对晶体进行分类呢？回答这个问题，必须首先学习对称的概念，掌握对称的一般特点。一、对称的含义（symmetry）对称是

12、自然界的基本规律之一，也是晶体的基本性质之一，正是基于对称特征的不同对晶体进行分类的。对称的现象在自然界和日常生活中部很常见。首先看一些基本图形，如蝴蝶(图 1)、花冠(图 1)等动植物的形体，以及某些用具、器皿，都常呈对称的图形。雪花最常见的形态就是六边形。这一点最早在西汉时的外传中就有叙述，“凡草木花多五出，雪花独六出。”说明祖先很早就了解了对称的概念，而西方直到近代才知道雪花是六边形的，而图 1-c 是高速照相拍到的雪花。abc显然对称的图形必须由两个以上的相同的部分组成。但是，只具有相同的部分还不一定是对称的图形。如图 1-c 是由两个全等的三角形组成，但它并不是对称图形。因此，对称的

13、图形还必须符合另一个条件，那就是这些相同的部分，通过一定的操作(如旋转、反映、反伸)可以发生重复；换句话说也就是相同的部分通过一定的操作彼此可以重合起来，使图形快复原来的形象。如图 1蝴蝶的两个相同的部分可以通过垂直平分它的镜面的反映，彼此重合；图 1的花冠通过围绕一根垂直它井通过它中心的直线旋转，可以多次重复其原来的形象。由此引出对称的概念对称就是物体上相同部分有规律的重复。相应引出两个晶体学概念：（1）对称变换（symmetry conver）亦称对称操作（symmetry operation），它是指：能够使对称物体（或图形）中的各个相同部分，作有规律重复的变换动作。（2）对称要素（sy

14、mmetry element）则是指：在进行对称变换时所凭借的几何要素点、线、面等。对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同晶体的对称性往往又是互有差异的：因此，可以根据晶体对称特点上差异来对晶体进行科学的分类。此外，晶体的对称性不仅包含几何意义上对称，而且也包含物理意义上的对称。它们对于一系列性质和识别晶体，以至对晶体的利用都具有重要的意义。理解晶体的晶体的对称性首先最直观地表现在它们的几何多面体外形上，以及其他方面的宏观性质上。在此只限于晶体在宏观范畴内所表现的对称性，即晶体的宏观对称。二、宏观对称要素和对称操作进行对称操作时借助的对称要素点、线、面在晶体学中称作对称中心、对

15、称轴和对称面。下面分别加以叙述。41、对称轴和旋转又称为旋转轴（symmetry axis，用符号Ln表示）。为一假想的直线，相应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定角度，各个相同部分就发生一次重复，亦即整个物体复原需要的最小转角则称为基转角。由于任一物体旋转一周后必然复原，因此，轴次n必为正整数，而基转角a必须要能整除 360，n=360 /n。而且受晶体对称定律（law of crystal symmetry）限制。在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。简单来讲，只需要分析相同部分能否布满整个平面，如能布满，只可以简单认为这

16、种对称是可以的，否则是不成立的。图1-22),( ),( ),( ),( ) 符合格子构造规律的网孔; ),( ),( ) 不符合格子构造规律的网孔;( ),( ),( ) 平行的行列上结点距离不等.对称轴特点：1）在Ln的周围，晶体相等部分必须有n个等同的（面、棱、角顶。晶面是指晶体在生长过程中自发形成的包围晶体表面的平面。晶棱指的是晶体上面与面的交线。晶L4周围相等的晶面角顶和晶棱都有 4 个，因此可能是四次轴。面之间形成角顶）。5名称符号基转角轴次作图符号一次L1360，21二次L2180，2三次L3120，2/33四次L490，1/44六次L660，1/662）对称轴只能是晶体、两个面

17、中心连线、两个相对棱中心连线、两个相对角顶的连线以及一个角顶与和它相对的面的中心的连线、一个棱和它相对面中心的连线。可以以此推断对称轴的可能位置以及数量。比如从图中，可以知道有 3 个四次轴，4 个三次轴，6 个 2 次轴。其它类推。L4L4晶面：4角顶：4晶棱：4L4：两相对面中心的连线共有六个面，除2得3L2：两条相对棱中心的连线，12条，除2得6 L3：两个相对角顶的连线，8个角顶，除2得42、对称中心（center of symmetry，C,国际符号：i）和倒反晶体内部一个假想点，相应的对称变换是对于这个点的倒反（反伸）。过此点作一直线在此直线上距中心等距离的两端必然可出现晶体上的相

18、等部分（面、棱、角顶）。有以下特点：具有对称中心的晶体，每一个晶面必有另一相等晶面与它平行反向。晶体对称中心必为几何中心且只能有一个，反之不成立。判断晶体中有无几何中心，只需把一晶面放平，看上面是否有形状相同，大小相等有与它平行反向的晶面存在。ABC-ABCABC-ABCABC-ABCACB-ACB图1-24 由对称中心联系起来的呈反向平行的相等晶面图1-23 由对称中心联系起来的物与象互成倒反关系3、对称面（symmetry plane,符号 P，国际符号为 m）和反映：一假想的平面，可以把晶体分为互成镜像关系的两部分，即物镜像，相应的对称变换为对此平面的反映。可以通过下述两条来判断是否存在

19、对称面：把相等部分上的对应点的连线是否与对称面垂直等距。对称面必过晶体的几何中心，并能把晶体分为互为镜像关系的两部分，且垂直平分某些晶面，晶棱或包含某些晶棱。6axis, 符号 Ln ，其中 n 表示轴次，i 表示倒反，国际符号 n ）：4、倒转轴（rotoinveri亦称旋转反伸轴，又称反轴或反演轴（inveraxis）等。是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素有两个：一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的倒反（反伸）。倒转轴和旋转轴一样，也有一定的轴次和基转角，即 L1、L2、L3、L4、L6 五种，且同样也没有 5 次和高于 6 次的

20、倒转轴。除四次反轴iiiii外，其余反轴都可以用其它简单对称要素或它们之间的组合代替，下面给出了示意图解及等效关系。L1 C 、 P 、 C 、 L 3 P （ P )L 2L 3L 3L 6L 3iiii4 是独立存在的对称要素，它无法用其它对称要素代替，而且只能在无对称中心的晶体中出现，且包含了一个L2。下面以正四面体为例解释四次反轴，以正四面体的六条边为立方体的面对角线作辅助立方体，则相对棱中点的连线为四次反轴，其对称操作过程如下所示。这一位置也是二次轴所在的位置，但是由于四次反轴的对称性更高，因此正四面体中的 2次轴就没有必要再表示了。再比如三次反轴可以在菱面体中找到，六次反轴在柱中存

21、在。5、映转轴（roto reflection axis, 符号 Ln ,其中 n 表示轴次，s 表示反映）：亦称旋转反映s轴。也是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素为一根假想的直线和垂直此干线的一个平面；相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此平面反映的复合。在晶体中，只能有一次，二次，三次，四次及六次的映转轴。由于存在以下关系，因此映转轴通常也单独的对称操作而存在。L1 P L2 ； L2 C L1 ； L3 L3 P(P L3 ) L6sisisiL4 L4 ； L6 L3 C L3sisi为便于比较，将晶体的宏观对称要素及对称操作归纳如下表。7第三节 晶体的 32 种点群及

22、分类上一节讲了宏观晶体中可能存在的对称要素，即表中所列的 12 种，其中L1无实际意义，1 次反轴和 2 次反轴又经常被i和m代替，因此常用的只有 9 种。借助于一个对称元素进行操作时，不仅对称图形各个相同部分会得到有规律的重复出现，就是与对称图形的各个相等部分有着固定几何位置关系的各种几何图像，也必定得到有规律的再现。对称是晶体的基本性质，晶体的对称既有普遍性也有特殊性，即所有的晶体都是对称的 ，但是不同晶体对称特点不同，从这个意义上讲，对称是晶体分类的基础。宏观晶体中之所有对称要素的集合就称为对称型（class of symmetry）。对称型也称为点群（pogroup）。由于在结晶多面体

23、中，全部对称要素相交于一点(晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，因此对称型也称为点群。一种晶体中对称元素可以有很多，但并不是无限多，要遵循一定的规律，即对称要素组合定理。1、对称要素的组合定理：如果有一个二次轴L2垂直n次轴Ln，则必有n个L2垂直Ln。如果有一个对称面P垂直偶次对称轴Ln(偶)，则在其交点存在对称中心C。如果有一个对称面P包含对称轴Ln，则必有n个P包含Ln(这一规律也可以这样理解，即对称面的交线必为对称轴，其基转角为相邻二对称面央角的二倍)。4)如果有一个二次轴垂直于旋转反伸轴 Ln ，或者有一个对称面P包含 Ln ，当n为奇数时必ii有nL2垂直 Ln 和n个对

24、称面包含 Ln ；当n为偶数时必有n/2 个L2垂直 Ln ；和n/2 个P包含 Ln 。iiii2、点群根据结晶多面体中可能存在的对称要素和对称要素组合定理，可以推导出可能的对称型共 32 种。具体推导过程在这里就不再详述了。8对称要素对称轴对称中心对称面倒转轴（反轴）一次二次三次四次六次一次二次三次四次六次辅助几何要素假想直线点平面假想直线以及直线上的一点对称操作绕直线旋转对点倒面反映绕直线旋转对点倒反基转角（）22/31/41/622/31/41/6惯用符号L1L2L3L4L6CPL1iL2iL3iL4iL6i国际符号12346im12346作图符号等效对称要素CP3+i3+m表32 种

25、宏观对称型（点群）*：在圣斯符号中，用Cn，Dn，T和O分别表示n=1,2,3,4,6 的循环群（cyclic），双面群（dihedral）,正四面体（tetrahedral）群和正八面体(octahedral)群。下标s,v,h,i分别表示：晶系中的对称面、相对主轴的垂直和水平对称面以及反演中心。而S表示有旋转反伸轴的一些点群。根据是否有高次轴以及有一个或多个高次轴，把 32 个对称型归纳为低、中、高级三个晶族。在各晶族中，再根据对称特点划分晶系，晶系共有七个。它们是属于低级晶族的三斜晶系(无对称轴和对称面)、单斜晶系(二次轴和对称面各不多于一个)和斜方晶系(二次轴或对称面多于一个)；属于中

26、级晶族的四方晶系(有一个四次轴)、晶系(有一个三次轴)和六方晶系(有一个六次轴)；属于高级晶族的等轴晶系(有四个三次轴)。对称型的表示方法有很多，常用的有三种，即：（1）写出对称型中所有的对称要素，如上表第四列所示；（2）只写出对称型中最基本的对称要素，因为其它对称要素可以根据组合定理推导出来。这样的书写符号又有多种，最常见的有圣面加以说明。斯符号（Schoenfiles）和国际符号(Herrmann-Mauguin)。下3、国际符号的书写法则：在国际符号中所采用的基本对称要素为对称面、对称轴和倒转轴。其中，用 1 次反轴代替对称中心，而 2 次反轴用对称面来代替。用不超过方向的数据（即窥视方

27、向）表示某一晶系，具体选取方位见下表9晶族晶系对称特点对称型对称型符号晶类晶体实例圣斯符号 *Schoenfiles国际符号Herrmann-Mauguin低级晶族三斜晶系无L2,无PL CC1 Ci=S211单面晶类平行双面晶类钠长石、硅灰石单斜晶系L2 或P不多于一个L2 PL2PCC2C1h=Cs C2h2m 2/m轴双面反映双面斜斜晶石正长石、石膏斜方晶系L2 或P多于一个3L2 L22P 3L23PCD2=VC2v D2h=Vh222mm(mm2) mmm(2/m2/m2/m)斜方四面体斜方单锥 斜方双锥泻利盐异极矿橄榄石、重晶石中级晶族四方晶系有一个L4或L 4iL4 L44L2

28、L4PC L44PL44L25PC4Li4 2Li 2L 2PC4 D4C4h C4v D4h S4D2d=Vd442(422)4/m 4mm4/mmm(4/m2/m2/m)44 2m四方单锥四方偏方面体四方双锥复四方单锥复四方双锥四方四面体复四方偏三角面体彩钼铅矿铄矿羟铜铅矿砷硼钙矿黄铜矿晶系有一个L3L3 L33L2 L33P L3CL33L23PCC3 D3C3v C3i=S6D3d3323m33 m(32/m)单锥偏方面体复单锥菱面体复偏三角面体细硫砷铅矿 石英 电气石白云石、菱铁矿六方晶系有一个L6或L 6i6Li6 2Li 3L 3PL6 L66L2 L6PC L66PL66L27

29、PCC3h D3h C6 D6C6h C6v D6h66 m2662(622)6/m 6mm6/mmm(6/m2/m2/m)双锥复双锥六方单锥六方偏方面体六方双锥复六方单锥复六方双锥霞石 石英磷灰石 红锌矿 绿柱石高级晶族等轴晶系有四个L33L24L33L24L33PC3Li44L36P3L44L36L23L44L36L29PCTTh Td OOh23m3(2/m3)4 3m43(432)m3m(4/m32/m)五角三四面体 偏方复十二面体面体五角三八面体六八面体香花石闪锌矿赤铜矿萤石、子石注：1、a0代表X轴方向，b0代表Y轴方向，c0代表Z轴方向，而(a0+b0)代表X轴与Y轴的角平分线方

30、向， (a0+b0+c0)代表三个晶轴体对角线方向。2、通常和六方晶系采取四轴定位。3、在某一方位出现的对称轴或倒转轴是指与这一个方向平行的对称轴或旋转轴。在某一方向上出现的对称面是指与这一方向垂直的对称面。同时出现对称轴和对称面，对称轴轴次放于分子上，对称面放于分母上。三个方向上相应对称要素选取原则是：1）首先标记出对称面；2）其次对称轴；3）无上述要素时用倒转轴，同时存在对称轴和与之垂直的对称面时，用分式表示。比如 6/m即表示在该方向上有一个六次轴，同时还有一个对称面与之垂直。实际上从对称要素组合定理 1可知，六次轴和对称面的交点必然是对称中心，所以 6/m代表L6PC。类似地 4/m代

31、表L4PC。如果该六次轴与对称面平行，则写作 6m，从组合定理 3 可知有 6 个对称面包含该六次轴，所以 6m代表L66P。对称型的国际符号举例如下：从表中可知L2PC属于单斜晶系，在I方向（Y轴）上，有L2和垂直于L2的对称面存在，因此第一位写作 2/m，C可以根据组合定理 1 导出，二三位空着，所以L2PC的国际符号为 2/m。从表中可知L66L27PC属六方晶系，在I 方向（Z轴）有L6及与之垂直的对称面，写作 6/m； II方向(X轴)上有L2及与之垂直的对称面存在，因此写作 2/m；在 III方向(X轴与U轴的平分线)，同样有L2及与之垂直的对称面，亦可以写作 2/m。所以L66L

32、27PC对称型的国际符号是6 2 2 。在该符号中只列出了一个L6，两个L2和三个P，其余的对称要素未列出，但是根据对m m m称要素组合定理，可以导出其它对称要素。实际上两个 2 也可以省略，则L66L27PC对称型的国际符号就可以简写为 6/mmm。圣斯符号（Schoenfiles）光谱的学者喜欢使用，这里就不再详细介绍了。课外阅读：晶体对称已经有几百年的历史了，对晶体概念的认识也是一个较为长期的过程，对晶体本质上的认识还是从近代 X 射线衍射发现以后的事。需要的是，晶体学上的对称和自然界中存在的对称是有所差异的，自然界中，特别是植物具有许多对称的特征，比如木槿花、天竺葵是五次对称的，而在

33、晶体中是观察不到的，那么实际中有没有五次对称呢，是认识世界有限还是非生物和生物之间并不是的。直到 19 世纪 80 年代才在一些晶体中观察到了五次对称，以后将会简单地予以，这种晶体称为准晶。10晶系对称型国际符号中的三个方位所代表的方位（依次列出）特征以平行六面体的三个矢量表示以晶棱符号表示等轴a0(a0+b0+c0)(a0+b0)001111110三条坐标轴是四次轴（或二次轴）必有四条三次轴六方c0a0(2a0+b0)001100210C 轴是六次轴四方c0a0(a0+b0)001100110C 轴是四次轴c0a0(2a0+b0)001100210C 轴是三次轴正交a0b0c01000100

34、01三条轴都是二次轴单斜b0010b 轴是二次轴，a 轴是斜轴三斜c0001只有一次轴第三节晶体的定向和点阵元素表示方法前面了晶体的对称问题，在晶体中，所有晶面、晶棱和角顶的分布都是对称的。其外在形态从本质上讲是由晶体的对称性所决定的，但对称性又不是决定晶体形态的唯一因素，比如对称型为 3L44L36L29PC的对称型，但因它们在空间中取向不同，所以表现为立方体、八面体和菱形十二面体等不同的形态，如何来准确表示它们，就需要对晶体进行定位。在晶体学中，一般采用几何方法来确定空间点阵中点、线和面的位置，这和晶体中结点、晶面和晶棱表示方法是完全一致的。一、晶体定向1、坐标系的选择坐标系的选择不是任意

35、的，必须考虑到晶体本身所固有的规律性。简单来讲，就是坐标系中的坐标轴必须符合晶体内部的空间格子规律，同时还应该尽可能考虑到晶体本身的对称特点。因此对称轴的选取应该遵循下面原则：（1）首先选取对称轴（晶轴）为坐标轴；（2）缺少对称轴则选对称面的法线为晶轴；（3）二者皆无选取平行于主要晶棱方向为坐标轴。这样等轴、四方、斜方、单斜和三斜五个晶系选取近似于垂直的三个轴（X，Y，Z），见图。特点如下：Z 轴直立，上正下负；Y 轴左右方向，左负；X 轴前后方向，前正后负。和六方晶系因为特殊选取四个轴（X，Y，U，Z），见图。Z 轴和 Y 轴方位及正负端与上述规定相同，但是 X 轴正端偏左 30，U 轴负端

36、偏右 30。而 XYU 轴在一个平面上。任二轴正端交角为 120。晶系的对称特点不同，晶轴的选取亦不同。坐标轴之间的夹角称为轴角，晶系不同，轴角也不相同。z(c)ay(b)ax(a)2、轴的确定坐标轴上作为长度计量的线段。是行列上的结点间距，实际上因为结点间距极小，需用衍射方法来确定，使用不便，实际上用相对长度，即把实际结点间距放大了一个很大的整数倍。三个坐标轴轴的连比称为轴率。它只涉及方向问题，不涉及具置和大小。由于七个晶系特征各不相同，因此轴选取也各不相同。轴和轴角一起称为晶体的几何常数。如表所示。由上所述，晶体定向实际上就是确定轴角和轴的方法。晶体常数是鉴定晶体的一种重要11三斜单斜正交

37、四方六方等轴轴abcabcabcabcabcabcabc轴角9090 90 9090 120 9090 120 90a六方及晶系四方晶系等轴晶系三斜晶系单斜晶系斜方晶系二、结点表示方法点阵的结点位置是以它们的坐标值来表示。如图中 P 点。过 P 点作平行于 xyz 轴的三条直线，与 yoz、xoz、xoy 交于L、M、N。因为 pl=a=2a; pm=b=4b；Pn=c=3c；所以：p 点坐标为：243。zCLa,bMLc b oaByc,NAx对于简单点阵，平行六面体只含有一个结点，显然这个结点的坐标应该取为 000，即位于坐标原点的位置。置于其它七个角顶上的结点坐标，由点阵结点周期性重复的

38、特点，均可由 000 经平移（即平移 T 矢量）得到，像这样通过平移矢量 T 能够重复出整个空间点阵的基本结点，也称为基点。类似地对于其它点阵也只需要找出其基点就可以了。三、晶向（晶棱）表示方法空间点阵中由结点连线和平行于结点连线的方向称为晶向。晶向可用晶向符号来表示。确定晶向方法为：过原点作一与晶向平行的直线，将直线上任一点化为无公约数的整数 uvw，然后加上方括号即可。如果坐标为负数，则在相应的符号上加负号。晶棱指数有以下特点：对应指数绝对值相同而正负号相反的两个晶棱符号表示同一晶棱符号。系数为 0 表示晶棱垂直于相应坐标轴。12举例：四、晶面表示方法晶面是一组平行等距的面网，晶面在晶体上

39、的方向可用晶面符号来表示，最广泛应用的符号为符号。符号是 1939 年英国学者（W.H.Miller）创立的。晶面指数标定步骤如下：（1）确定参考坐标系；（2）求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；（3）取各截距的倒数；（4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为( h k l )。举例：晶面 ABDE 延长后分别与 a、b、c 轴截据为 2a、3b、6c。取截据系数 p=2;q=3;r=6（3）取倒数比：1/p:1/q:1/r=1/2:1/3:1/6通分，化成整数比，乘以分母最小公倍数得 3；2：1去掉比例，加括号为（321）即

40、为所求晶面指数。类似，晶面 C0A0B0 指数为：(111)符号具有以下特点：晶面符号有正有负，视晶面交晶轴于正端或负端而定。指数为负时，表示交于轴的负方向，负号写于指数上方。晶面指数是截距系数的倒数，因此在某坐标轴上的截据越大，则晶面符号中对应的晶面指数越小，如果平行于某一坐标轴，则对应截据为无穷大，指数则为 0。（3）指数按 X、轴顺序排列，其一般式为(hkl)，晶系和六方晶系因选四个晶轴，因此晶面符号中就有四个指数，一般式为(hkil)，其中 i 代表 U 轴上的指数，在这个指数中，三个水平轴上的指数的代数和永远等于零，即 h+k+i=0。几组典型的晶面符号如下图所示。五、晶面符号和晶棱

41、符号的关系下面晶面（hkl）和它平行的晶棱uvw之间的关系。晶面（hkl）可以用几何方法来表示：Ax+By+Cz+D=0（11）。h:kl=A:B:C13若此平面通过原点，则 D0，平面方程式变为 Ax+By+Cz=0（12）。将 11 带入 12，：hx+ky+lz0(1-3)显然，通过坐标原点而与晶面(hkl)平行的晶棱方向uvw必然包含在上述平面内，因此晶棱uvw上的某一点的坐标 u、v、w 应满足方程式(1-3)，因此可写作：hu+kv+lw0(1-4)这就是晶面符号与晶棱符号之间的关系，通过上式，就可以在已知晶面或晶棱的时候求晶棱或晶面。第四节 晶体构造的几何规律前面讲述了晶体的对称

42、性，知道了晶体在外形上的各种几何规律都是由晶体内部构造上的规律性来决定。所以在晶体时，需要进一步从几何角度来分析晶体内部构造规律性。因此本节及下节分别介绍空间点阵的划分问题以及晶体构造的微观对称问题。一、十四种空间格子在理想晶体中，其内部质点均按照格子构造规律排列。平行六面体是空间格子的最小单位，整个晶体结构可视为平行六面体（即晶胞）在三平行的、毫无间隙的重复堆砌而成。那么划分平行六面体具体方法可能多种多样，为了对划分方式进行，并使划分出来的平行六面体是一个具有代表性的基本。选择平行六面体时，应该遵循以下原则：所选取的平行六面体能够充分反映整个空间格子所固有的对称性。（简称对称性原则）在上述前

43、提下 ，所选取的平行六面体，其交角应该尽可能为直角。（直角最多原则）在遵循上面两条件的前提下，所选取的平行六面体的体积应该最小。（体积最小原则）结合前面所学，上述原则的实质是尽可能使 a=b=c，=90是一致的。下面从图来分析。ac321456bd7平行六面体的三条棱长a0、b0、c0以及三者之间的夹角、和称为面体参数，也称为晶格常数。平行六前面根据晶体外形做出的晶体定向，和平行六面体对应一致，即三个结晶轴的方向就是平行六面体的三组棱的方向，晶体常数和晶格常数是一致的。只不过在这里平行六面体的三根棱长度a0、b0、c0有具体的数值，而轴率a：b：c只是相对的数值。平行六面体是晶体结构在三面。中

44、的最小重复，对其描述则包括结点和形状两方根据平行六面体中结点分布情况，可以分为四种情况。1、原始格子（P，对于菱面体格子用 R 来表示）：结点分布于平行六面体的 8 个角顶，而每个结点同时为 8 个平行六面体所共有，因此每个平行六面体只有一个结点。2、底心格子（C，A 或 B）：结点分布于平行六面体的 8 个角顶及某一对面的中心。面中心的结点为两个共面的平行六面体所共有，因此每一个平行六面体共有两个结14点。其中又可细分为三种类型：平行（001）一对平面的中心；平行（100）一对平面的中心；平行（010）一对平面的中心。、C 心格子（C）：结点分布于平行六面体的角顶和、A 心格子（A）：结点分

45、布于平行六面体的角顶和、B 心格子（B）：结点分布于平行六面体的角顶和3、体心点阵（I）：结点分布于平行六面体的 8 个角顶和中心，这种结构形式包含两个结点。4、面心点阵（F）：结点分布于平行六面体的 8 个角顶和六个面的中心，这种结构形式包含四个结点。如果再考虑到平行六面体的形状，则空间格子共有 14 种，称为点阵（Bravis）。这就提出一个问题，既然平行六面体有七种形状和四种结点分布类型，为什么空间格子不是28 种呢？这是因为一些晶系的空间格子是重复的；而另一些空间格子违背了格子构造的规律、或者由于其对称与该晶系不符，而不能在晶体结构种存在。当所选取的平行六面体不是最小，则会出现重复。比

46、如四方晶系中，底心点阵可以转换为原始点阵。又如某些点阵形式不可能出现在某些晶系，中，否则违背了该晶系点阵的周期性。比如立方晶系中，不可能存在立方底心点阵。需要相同。因为六的是对应于晶系的格子有两种，一种是格子，其晶格常数和六的底面是一个内角为 60和 120的菱形，相当于由两个等边三角形拼成，而在每个等边三角形的中心显然可以有 L3 存在。而另一种格子是菱面体格子。表给出了 14 种空间格子及其特征参数。表14 种点阵及其特征参数15原始底心体心面心三斜abc 90C=PI=PF=P单斜abc 90,90I=CF=C正交abc 90（菱形）a=b=c，90。与对称不符I=PF=P四方abc 9

47、0C=PF=I六方abc 90,120 底心有结点时，不符合六方对称与对称不符不符合六方对称立方（等轴）abc 90与对称不符另一种格子是菱面体格子，晶格常数特征： abc，90,120由于六方点阵的特殊性，为了表示出六次轴的位置，通常把三个平行六面体按图示的方法相拼，即可以表示出六次轴的位置。那么对于面心立方点阵，有四个基点，坐标分别为：000，下面举例说明四方底心点阵为什么不存在。C晶胞从晶体结构可以抽象出空间点阵，它是几何图形，其结点不具有任何物理化学性质，但是由于它是由实际晶体抽象而得，如果把空间点阵的结点再放上实际的原子、离子或离子基团，则变为实际晶体，那么也可以在实际晶体中划分出相

48、应于平行六面体的划分，这样。晶胞的的划分则称为晶胞。所以说晶胞是能够充分反映晶体构造特征的最小构造大小晶胞参数与对应的平行六面体参数完全一致。16CaADaB第五节晶体内部构造的对称要素晶体外形的对称取决于晶体内部构造的对称，两者相互联系，彼此的。但是晶体外形是有限必须图形，它是基于宏观对称的。而晶体内部构造规律的时候，必须把晶体构造作为无限图形来对待，其对称属于微观对称。因此宏观对称既相互联系又有所区别。知道，对于宏观对称，总有一个点是不动的，在微观对称中，所有的点都要动，因此微观对称要比宏观对称复杂。总的来说，微观对称有以下特点：1、晶体构造中，任何一个对称要素都有无限多个和它相同的对称要

49、素，按格子构造规律进行排列。2、晶体构造中，对称要素不交于一点。3、晶体构造中，多了一种平移操作，平移操作和宏观对称要素复合产生了一些宏观对称中所没有的特有对称要素。下面分别予以介绍。平移轴为一直线，相应操作为沿此直线平移一定距离，可以使晶体相等部分重合，从第一节空间点阵的概念可知，晶体中任一行列都是平移轴，故空间点阵中的平移轴是无穷多的，空间点阵有 14 种，平移轴也就有 14 种。滑移面滑移面是晶体构造中一个假想的平面，其操作是复合操作，相对于反映和平移联合进行，首先对此平面反映，再沿着平行于此平面的方向移动一定距离后，图形重合。先平移后反映其效果是完全一样的。例如：NaCl 晶体在（00

50、1）面上投影， 做如下变换：aa2平移a0a0b平移12 1 aa面反映2 2 2 aa面反映3经过这样的操作，1 点合 2 点重合，2 点又可以和 3 点重合。所以 a-a 面是滑移面。类似地，b-b 面也是滑移面。在晶体构造中，根据移动方向合平移距离的不同可以把滑移面分为五种：a，b，c，n，d。其中 a、b、c 称为轴向滑移面，n 为对角线滑移面；d 称为菱形滑移面。1b1aa表滑移面（3）螺旋轴螺旋轴为晶体中假想的直线，也是复合操作，相当于旋转和平移的复合，即绕此直线先旋转一定的角度，并沿此直线移动一定的角度后，晶体中每一个质点都与其相同的质点重合，整个图形复原。先平移后旋转其结果也是

51、一样的。根据旋转的方向分为左旋和右旋两种情况，若沿顺时针方向旋转，则称为左螺旋轴，若沿逆时针方向旋转，称为右螺旋轴。根据旋转角的不同，分为 1、2、3、4、6 次旋转轴。根据平移距离，每一种旋转轴又有几种变化。17类型平移方向平移距离a平行x 轴1 av 2 0b平行y 轴1 bv 2 0c平行z 轴1 cv 2 0n平行晶胞面对角线1 vv1 vv1 vv（a0 b0）或 （a0 c0）或 （b0 c0）222d平行晶胞面对角线1 vv1 vv1 vv（a0 b0）或 （a0 c0）或 （b0 c0）444b2b平移距离： tv s Tv （n:轴次；s：1、2n-1 个整数； ：基本向量）Tn当 s0 时平移距离为 0，即为对称轴情况。 n=1 时，一次螺旋轴即为平移轴。n=2 时，螺旋轴只有 1 个，即 21。在NaCl结构中可以观察到。n3 时，s可以取 1，2。有两种螺旋轴 31（右旋三次螺旋轴）和 32（左旋三次螺旋轴）。31表示当逆时针旋转时向上平移距离 1/3 T ，32表示当逆时针旋转时平移距离 2/3 Tv 。31和 32在 -石英的结构可以观察到。四次螺旋轴有三种，即右旋四次轴（41）、中性四次螺旋轴（