《数学试题集》word版

1、2005-2006数学试题集200612301已知集合P = (x，y)| x2 + y2 = 1，Q = (x，y) | 2x2 + 3y2 = 6，则有APQBP QCPQ = PDPQ = 答案：D2已知集合G = x | | cos x | =，则集合G的真子集的个数是A7B8C15D16 答案：C3下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是Ap : 0 =；q : 0Bp :在ABC中，若cos 2A = cos 2B，则A = B，q:在第一象限是增函数Cp : a + b2，q :不等式| x | x的解集为（，0）Dp : 圆(x 1)2 + (y 2

2、)2 = 1的面积被直线x = 1平分，q : 椭圆的一条准线方程是x = 4 答案：C4有下列四个命题 （1）“若xy = 1，则x，y互为倒数”的逆命题； （2）“面积相等的三角形全等”的否命题； （3）“若m1，则x2 2x + m = 0有实数解”的逆否命题； （4）“若AB = B，则AB”的逆否命题其中真命题为A（1）（2）B（2）（3）C（4）D（1）（2）（3） 答案：D5“m 2”是“方程x2 mx + m + 3 = 0的两根都大于1”的A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分条件又非必要条件 答案：B6设函数f (x) =，区间M = a，b（a b），集合N

3、 = y | y = f (x)，xM，则使M = N成立的实数对（a，b）有A0个B1个C2个D无数多个 答案：A7函数f (x)的定义域是0，2，函数g (x) = f (x +) f (x )的定义域是A0，2B，C，D， 答案：D8设函数f (x) =若f ( 4 ) = f (0)，f ( 2) = 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为A1B2C3D4 答案：C9函数f (x)的定义域为x | xR且x1，已知f (x + 1)为奇函数，当x 1时，f (x)的递减区间是ABCD 答案：C10已知函数y = f (x)存在反函数y = g (x)，若f (3) = 1，则

4、函数y = g (x 1)的图象一定经过的一个点是A（ 2，3）B（2， 1）C（0，3）D（4， 1） 答案：C11如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数y = f (x)的图象，则f (x)只可能是AxsinBxcosCx3sinDx2cos 答案：A12一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么A人可在7米内追上汽车B人可在10米内追上汽车C人追不上汽车，其间距离最近为5米D人追不上汽车，其间距离最近为7米 答案：D13某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要到第2层至第20层，每层

5、1人，而电梯只允许停1次，可知使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第_层A15B14C13D12 答案：B14已知数列an满足a1 = 0，an + 1 = an + 2n，那么a2 005的值是A2 004 2 003B2 005 2 004C2 0052D2 005 2 006 答案：B15若数列an的通项公式为an = 7()2n 2 3()n 1 (nN*)，则数列an的A最大项为a5，最小项为a6B最大项为a6，最小项为a7C最大项为a1，最小项为a6D最大项为a7

6、，最小项为a6 答案：C16已知数列an，那么“对任意的nN*，点Pn (n，an)都在直线y = 2x + 1上”是“an为等差数列”的A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件 答案：A17已知数列an是递减等差数列，前三项之和为6，前三项之积为 24，则该数列的通项公式是A 4n + 4B 4n + 10C 4n 2 D 4n 4 答案：B18给出下列一系列化合物的分子式：C6H6、C10H8、C14H10、，则该系列化合物中，分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近A95%B96%C97%D98% 答案：B19小明准备购买一台价值6 000元的电脑，但现款不够，

7、商店允许分期付款，即在1年内分12次付款（购买时第一次付款，购买后满1月付一次款），每次付款额相同，若月利率为0.8%，按复利计算，则每期应付款（1.00812 = 1.100）A520元B528元C530元D540元 答案：B20函数y = sinx的定义域为a，b，值域为 1，则b a的最大值和最小值之和为AB2CD4 答案：B21下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（，）上为减函数的是Ay = cos2xBy = 2 | xin x |Cy = ()cos xDy = cot x 答案：B22已知，是锐角，sin= x，cos= y，cos (+) =，则y与x的函数关系式为ABCD

8、 答案：A23 在锐角ABC中，若tanA = t + 1，tanB = t 1，则t的取值范围是A（，+）B（1，+）C（1，）D（ 1，1） 答案：A24平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A（3，1），B（ 1，3），若点C满足，其中，且，= 1，则点C的轨迹方程是A3x + 2y 11 = 0B(x 1)2 + (y 2)2 = 5C2x y = 0Dx + 2y 5 = 0 答案：D25设，当c =a +b(，)，且+= 1时，点C在A线段AB上B直线AB上C直线AB上，但除去点AD直线AB上，但除去点B 答案：B26已知a = (1，2)，b =（x，1），且a + 2b与2a b

9、平行，则x等于A1B2CD 答案：D27把函数y = log2 (x 2) + 3的图象按向量a平移，得到函数y = log2 (x + 1) 1的图象，则a等于A（ 3， 4）B（3，4）C（ 3，4）D（3， 4） 答案：A28若a b 2bC| a | | b | 0D()a ()b 答案：B29实系数方程x2 + ax + 2b = 0的一根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是A（，1）B（，1）C（，）D（，） 答案：A30已知函数f (x) = 2x的反函数f 1(x)，若f 1 (a) + f 1 (b) = 4，则的最小值为A1BCD 答案：B31不等式1 |

10、 x + 2 | 1Da | a 答案：A33已知a 0，b 0，则不等式 b 等价于Ax B x 0或0 x Cx D x 0或0 x b 0）上的一点P，使OPA = 90，O为坐标原点，A为右顶点，则椭圆的离心率的取值范围是A（，）B（，1）C（，1）D（0，1） 答案：B42双曲线b2x2 a2y2 = a2b2 (a 0，b 0)的渐近线夹角为，离心率为e，则cos等于AeBe2CD 答案：C43设c，e分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线= 1（a 0，b 0）的一个实轴顶点A到它的一条渐近线的距离是ABCD 答案：D44对于抛物线C : y2 = 4x，我们称满足y 1D| t

11、an() | tan 答案：D46P (x，y)是椭圆= 1上的动点，则x 2y的取值范围是A，B，C，D， 答案：A47若椭圆=1（a b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2 = 2bx的焦点F分成5 : 3的两段，则此椭圆的离心率为ABCD 答案：D48动圆C与两定圆C1 : (x + 2)2 + y2 = 1及C2 : (x 2)2 + y2 = 4分别相切，且一个内切，一个外切，则动圆的圆心轨迹是A两个椭圆B一个椭圆及一个双曲线的一支C两个双曲线的各一支D一个双曲线的两支 答案：D49在下列命题中，属于真命题的是A直线m、n都平行于平面，则mnB设 l 是直二面

12、角，若直线ml，则mC若直线m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n在内或n与平行D设m、n是异面直线，若m与平面平行，则n与相交 答案：C50已知水平平面内的两条相交直线a、b所成的角为，如果将角的平分线l绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动，转动到离开水平位置的处，且与两条直线a、b都成角，则与的大小关系是A或B或D 答案： C51正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是DD1的中点，点O是正方形ABCD的中心，则AP与OB1所成的角是A45B60CarccosD90 答案：D52斜边长为2a的直角三角板ABC的直角顶点C在桌面上，斜边AB与桌面平行，A = 30，三角板AB

13、C与桌面所成的锐角为45，则边AC的中点到桌面的距离是ABCD 答案：D53如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是ABCD2 答案：D54棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1，P、Q是CC1上两动点，且PQ = 1，则三棱锥PAQD的体积为A8BC3D 答案：D55若正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为A1 : 3B1 : (3 +)C(+ 1) : 3D( 1) : 3 答案：D56如图，等边ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ平面BPQC

14、，若折叠后AB的长为d，则d的最小值是ABCD 答案：D57若m、n是不大于6的非负整数，则表示不同的椭圆个数为AABCCADC 答案：C58六个人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法为A40B50C60D70 答案：B59从6名短跑运动员中选出4人参加4 100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有A180种B240种C300种D360种 答案：B60二项式展开式中含有x4项，则n可能的取值是A5B6C3D7 答案：C61将一枚梗币连掷4次，其中仅连续两次出现正面向上的概率是ABCD 答案：B62甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解

15、决这个问题的概率是p2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是Ap1 + p2Bp1p2C1 p1p2Dp1 + p2 p1p2 答案：D63有一摆地摊的非法赌主在大街上吆喝着“大家都快来摸奖！”已知他面前放的盒中装有3个白球与7个黑球，这些球的外形与质量都相同一位摸球者每次从袋中取一个球并不放回，则他直到第三次才摸到黑球的概率为ABCD 答案：D64要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成课外学习小组，如果按性别比例分层随机抽样，试问组成课外学习小组的概率为ABCD 答案：A65某单位有职工160人，其中有业务人员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人为了解职工的某种情况，要从中抽取

16、一个样本容量为20的样本，记作；从某中学高三年级的18名体育特长生中选出3人调查学习负担情况，记作；那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是A用随机抽样法，用系统抽样法B用分层抽样法，用随机抽样法C用系统抽样法，用分层抽样法D用分层抽样法，用系统抽样法 答案：B66已知随机变量和，其中= 12+ 7，且E= 34，若的分布列如下表，则m的值为1234PmnABCD 答案：A67在数列an中a1 = 3，且对于任意大于1的正整数n，点（an，an 1）在直线x y 6 = 0上，则的值为A3BC1D0 答案：A68设函数f (x)在x = 1处连续，且，则f (1)等于A 1B0C1D2 答案：B

17、69设函数f (x) = ax3 + bx2 + cx在x = 1和x = 1处均有极值，且f ( 1) = 1，则a、b、c的值分别为A，0，B，0，C，0，D，0， 答案：C70复数的值是A iBiC 1 D1 答案：C71设复数z =，则(1 i)7展开式的第5项是A 21B35C 21iD 35i 答案：B72已知定义集合A = 1，2，3，B = 1，2定义集合A、B之间的运算“*”：A*B = x | x = x1 + x2，x1A，x2B，则集合A*B中最大的元素是_；集合A*B的所有子集的个数为_ 答案：5 24 = 1673若函数f (x) =的定义域和值域都是区间3，5b，

18、则b的取值范围是_ 答案：b = 1或b =（舍去）74已知函数f (x)具有以下两个性质： f (x1) = f (x2)，x1x2，则x1 + x2 = 3 若x1，x2，x1x2，则点（x1，f (x1)）与（x2，f (x2)）的连线的斜率大于零写出符合条件的一个函数：_ 答案：f (x) = | x |，或f (x) = (x )2 + b（b为实常数）等75已知0 a b，x =，y =，则x，y的大小关系是_ 答案：x y76设数列an的通项公式为an = n2 +n(nN*)且满足a1 a2 a3 an an + 1 377数列an中，an =S2n = a1 + a2 + +

19、 a2n，则= _ 答案：78有以下四个命题：2n 2n + 1(n3)；2 + 4 + 6 + + 2n = n2 + n + 2(n1)凸n边形内角和为f (n) = (n 1)(n3)凸n边形对角线的条数是f (n) =(n4)其中满足“假设n = k (kN，kk0)时命题成立，则当n + k + 1时命题也成立”但不满足“当n = n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题在立”的命题序号是_ 答案：79函数y = sin的图象中相邻两对称轴的距离是_ 答案：80关于函数f (x) = cos (2x ) + cos (2x +)，有下列命题：y = f (x)的最大值为；y = f

20、(x)是以为最小正周期的周期函数；y = f (x)在区间（）上单调递减；将函数y =cos 2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合其中正确命题的序号是_（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 答案：81已知向量a =（1，），b =（，1），若正数k和t，使得x = a + (t2 + 1) b与y = 1 ka +垂直，则k的最小值是_ 答案：282在三维空间直角坐标系中，对其中任何一向量x = (x1，x2，x3)，定义范数| x |，它满足以下性质：1）| x |0当且仅当x为零向量时，不等式取等号；2）对于任意实数，| = | |x|（注：此处点乘号为普通乘号，无点乘意义

21、）；3）| x | + | y |x + y|试求解以下问题：在二维平面直角坐标系中，有向量x = (x1，x2)，下面给出的几个表达式中，可能表示向量x的范围数的是_（把所有正确答案的序号都填上）； 答案：83设圆x2 + y2 4x 5 = 0的弦AB的中点为（3，1），则直线AB的方程是_， 答案：x + y 4 = 084直线y = x 1被抛物线y2 = 4x截得线段的中点坐标是_ 答案：（3，2）85椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_ 答案：（ 3，0）或（3，0）86下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中

22、点，能得出AB面MNP的图形序号是_（写出所有符合要求的图形序号） 答案：（1）（3）87如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别AF、AD、BE、DE的中点，则将ABC沿DE、EF、FD折成三棱锥后，GH与IJ所在直线所成的角的大小为_ 答案：6088有一排标号为A、B、C、D、E、F的6个座位，请2个家庭共6人入座，要求每个家庭的任何两个人不坐在一起，则不同的入座方法的总数为_（用数字做答） 答案：7289某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000 000到999 999若号码的奇数位数字是不同的奇数，偶数位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖

23、号码占全部号码的百分比）为_ 答案：0.75%90(x2 + 1)(x 2)7的展开式中x3的系数是_ 答案：1 00891有一物理问题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率为，如果两人都试图在半小时内单独解决它，则两人都未解决的概率是_；问题得到解决的概率是_ 答案：92某地区有农民家庭1 600户，工人家庭391户，知识分子家庭109户，现用分层抽样的方法从所有家庭中抽取一个容量为n的样本，已知从农民家庭中抽取了80户，则n = _ 答案：10593已知函数f (x) = 2asin xcos x + 2bcos2x，且f (0) = 8，f () = 12 （1）求实数a，b

24、的值； （2）求函数f (x)的最大值及取得最大值时x的值 答案：（1）由f (0) = 8，f () = 12，可得f (0) = 2b = 8，f () =，所以b = 4，a = 4 （2）f (x) = 4sin 2x + 4cos 2x + 4 = 8sin(2x +) + 4，故当2x += 2k+，即x = k+，kZ时，函数f (x)的最大值为1294已知电流I与时间t的关系式为I = Asin() （1）如图是I = Asin()()在一个周期内的图象，根据图中数据求I = Asin()的解析式； （2）如果t在任意一段秒的时间内，电流I = Asin()都能取得最大值和最小

25、值，那么的最小正整数值是多少？ 答案：（1）由图可知A = 300设t1 = ，t2 =，则周期T = 2 (t2 t1) = 2(+) =又当t =时，I = 0，即300sin（150）= 0，而，故所求的解析式为I = 300sin(150) （2）依题意，周期T，即，（ 0）300 942，又N*，故最小正整数= 94395（1）已知：k(kZ)，求证：tan=； （2）已知：=，求tan(+)的值 答案：k，tan= （2）sin=，cos=当cos=，sin=时，tan=，tan() =当cos=，sin=时，tan=，tan() =96已知tan2= 2，求 答案：事实上，我们可

26、以得出原式 =，由tan2=，解得tan或tan，tan，原式 = 3 + 297已知向量m =（1，1），向量n与向量m夹角为，且m n = 1 （1）求向量n； （2）若向量n与向量q =（1，0）的夹角为，向量p =（cos A，2cos2），其中A、C为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列求| n + p |的取值范围 答案：（1）设n =（x，y），由m n = 1，有x + y = 1m与n夹角为，有m n = | m | | n | cos，| n | = 1，则x2 + y2 = 1由、解得或n = (1 1，0)或n = (0， 1) （2）由n与q垂直知n = (0，

27、1)，由2B = A + C知B =，A + C =，0 A 若n = (0， 1)，则n + p = (cosA，2cos2 1) = (cosA，cosC)，|n + p|2 = cos2A + cos2C = 1 +0 A ， 2A +， 1cos（2A +）1 +cos(2A +) ，即|n + p|2，|n + p|98如图所示，在等边三角形中，AB = a，O为中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求的最大值和最小值 答案：由于O为正三角形ABC的中心，所以AO =，MAO =NAO =，设MOA =，则在AOM中，由正弦定理，得，OM =，在AON中，由正弦定理，得ON =，s

28、in21故当=时，取得最大值；当=，或时，sin2=，此时取得最小值99如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其科的地方种花，若BC = a，ABC =，设ABC的面积为S1，正方形的面积为S2 （1）用a，表示S1和S2； （2）当a固定，变化时，求取最小值时的角 答案：（1）AC = asin，AB = acosS1 =a2sincosa2sin2设正方形边长为x则BQ = xcot，RC = xtan，xcot+ x + xtan= ax =S2 = （2）当a固定，变化时，令sin 2= t，则0 ，0 0） （1）

29、求a，b，的值； （2）关于t的方程t2 + mt + n = 0(m，nR，且n0)有两个不等实数根，i）若| m | + | n | 1，证明f 2 (x) + mf (x) + n = 0在（）内有两个不等实数根；ii）上述i）的逆命题是否成立，并证明 答案：（1）由图象易知，函数f (x)的周期为T = 4() = 2，所以，= 1，上述函数的图象是由y = sin x的图象沿x轴负方向平移个单位得到的，其解析式为f (x) = sin (x +)，所以有a =，b = （2）由i）得| m | + | n | 1，| m + n | m | + | n | 1，同样由| m n |

30、m | + | n | 1，得m n 0，g ( 1) = 1 m + n 0而二次函数g (t)的对称轴t =( 1，1)，= m2 4n (1 + n)2 4n = (1 n)2 0，所以，二次方程t2 + mt + n = 0两实根在( 1，1)中，故知关于x的方程sin2(x +) + msin(x +) + n = 0在（）内有两个不等的实根，且| m | + | n | =101已知函数f (x) = 3x 1的反函数y = f 1(x)，g (x) = log9(3x + 1) （1）若f 1(x)g(x)，求x的取值范围D； （2）设函数H (x) = g(x) f 1(x)，

31、当xD时，求H (x)的值域 答案：f (x) = 3x 1，f 1(x) = log3(x + 1) （1）f 1(x)g(x)，即log3(x + 1)log9(3x + 1)log9(x + 1)2log9(3x + 1)，解之得0 x1，xD = 0，1 （2）H(x) = g (x) = log9(3x + 1) log3(x + 1)= log9(3x + 1) log9(x + 1)= log9，x0，1令t = 3 ，显然在0，1上递增，则有1t20H(x)log92，即H(x)的值域为y | 0ylog92102已知函数f (x) =(aR且xa) （1）证明：f (x) +

32、 2 + f (2a x) = 0对定义域内的所有x都成立； （2）当f (x)的定义域为a +，a + 1时，求证：f (x)的值域为 3， 2； （3）设函数g (x) = x2 + |(x a) f (x)|，求g (x)的最小值 答案：（1）利用恒等变形解题f (x) + 2 + f (2a x) =结论成立 （2）f (x) =当a +xa + 1时，有 a 1 x a ， 2 1，所以 3 1 + 2于是，我们可以得到f (x)的值域为 3， 2 （3）函数g (x) = x2 + | x + 1 a |(xa)i）当xa 1且xa时，g (x) = x2 + x + 1 a =

33、(x +)2 + a如果a 1，即a时，则函数在和(a，+)上单调递增，g (x)min = g (a 1) = (a 1)2如果a 1 即当a ，即a 时，g (x)min = g () = a ，如果a 1，即a时，g (x)在（）上为减函数g (x)min = g (a 1) = (a 1)2当a 时，(a 1)2 (a ) = (a )2 0；当a 0；综上，就可得出如下结论：当a 时，g (x)最小值为a ；当a = 时，g (x)最小值不存在103某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，按此规律一直分裂下去 （1）用列表表示1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，

34、得到的细胞个数； （2）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nN*)与得到的细胞个数y之间的关系； （3）写出得到的细胞个数y与1个细胞分裂次数n之间的关系式，试用计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数 答案：（1）利用正整数指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下分裂次数12345678细胞个数248163264128256 （2） （3）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是y = 2n，nN*利用计算器可以算得215 = 32 768，220 = 1 048 576故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32 768个和1

35、048 576个104某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：P =（其中c为小于96的正常数）注：次品率P =，如P = 0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品，其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量 （1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 答案：（1）当x c时，P =，所以，每天的盈利额T =；当1xc时，P =，所以，每日生产的合格仪器约有（1 ）x件

36、，次品约有（）x件故每天的盈利额T =（1 ）xA （）x 综上，日盈利额T（元）与日产量x（件）的函数关系为T = （2）由（1）知，当x c时，每天的盈利额为0当1xc时，T =令96 x = t，则0 96 ct95故T =（96 t ）A =（97）A（97）A =当且仅当t =，即t = 12（即x = 84）时，等号成立所以（i）当c84时，Tmax =（等号当且仅当x = 84时成立） （ii）当1c84时，由1xc得12 96 ct95，易证函数g (t) = t +在t(12，95)上单调递增（证明过程略）所以，g (t)g(96 c)所以，T =（97）A（97）A =，即

37、Tmax =（等号当且仅当x = c时成立）综上，若84c 96，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若1c m (x2 1)对满足| m |2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围 答案：令f (m) = 2x 1 m(x2 1) = (1 x2)m + 2x 1，可看成是一条直线（由| m |2知它实质是一条线段），且对| m |2的一切实数m都有2x 1 m (x2 1)成立所以有即即所以106定义在R上的单调函数f (x)满足f (3) = log23且对任意x，yR都有f (x + y) = f (x) + f (y) （1）求证f (x)为奇函数； （2）若f (k 3x) +

38、f (3x 9x 2) 0，即f (3) f (0)，又f (x)在R上是单调函数，所以f (x)在R上是增函数，又由（1）f (x)是奇函数，得f (k 3x) f (3x 9x 2) = f ( 3x + 9x + 2)，k 3x 0对任意xR均成立令t = 3x 0，问题等价于t2 (1 + k) t + 2 0对任意t 0恒成立令f (t) = t2 (1 + k) t + 2，其对称轴x =当 0即k 0，符合题意；当0时，对任意t 0，f (t) 0恒成立解得 1k 1 + 2综上所述，当k 1 + 2时，f (k 3x) + f (3x 9x 2) 0)， （1）求a的值，使点M

39、 (f (x)，g(x)到直线x + y 1 = 0的距离最短为； （2）若不等式1对x1，4恒成立，求a的取值范围 答案：（1）应用点到直线的距离公式，得当a 0时，dmin = 0，舍去；当a 0时，x = 0，dmin =，解出a = 3 （2）由不等式1，得0 2，即ax 2+ a20，解之，得，1，2，故所求实数a的取值范围是0 a2（）108若0 ，求函数f () =的最大值 答案：令a = sin2，b = cos2，t = ab，则t(0，由a + b = 1，得a2 + b2 = 1 2ab，a3 + b3 = 1 3ab于是3a (a + b2) + 3b (a2 + b)

40、4(a2 + b)(a + b2)3(a2 + b2) + 3 (ab2 + a2b)4(a3 + b3) + 4ab + 4a2b23(1 2ab) + 3ab4(1 3ab) + 4ab + 4a2b24a2b2 5ab + 10(4ab 1)(ab 1)0，这是显然成立的，故当a = b，即=时，f ()max =109已知a，b是正常数，ab，x，y(0，+) （1）求证：，并指出符号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数f (x) =的最小值，指出取得小值时x的值 答案：（1）应用二元均值不等式，得()(x + y) = a2 + b2 + a2a2 + b2 + 2= (a +

41、 b)2，故当且仅当，即时上式取等号 （2）由（1）f (x) =当且仅当，即x =时上式取最小值，即f (x)min = 25110已知函数f (x) = x3 (a + b)x2 + abx，这里0 a b （1）设f (x)在x = s与x = t处取得极值，其中s t，求证：0 s a t 0，(a) = a2 ab = a (a b) 0，在区间（0，a）与（a，b）内分别有一根s t，0 s a t 0；当x( 1，1)时，(x) 0所以，函数f (x)在， 1 和 1，上分别递增；在 1，1上递减于是，函数f (x)在，上的极大值和极小值分别为f ( 1) =，f (1) = 而

42、 ，故存在这样的区间a，b，其中满足条件的一个区间为， （3）由（2）知(x) = x2 1，所以，有an + 1(an + 1)2 1而函数y = (x + 1)2 1 = x2 + 2x在上单调递增，所以，由a11，可知a2(a1 + 1)2 122 1；进而可得a3(a2 + 1)2 123 1；由此猜想an2n 1下列用数学归纳法给出证明：当n = 1时，a1LINK Word.Document.8 E:2005年传承世纪高考最后押题数学数学4.doc OLE_LINK1 a r1 = 21 1，结论成立假设n = k时有akLINK Word.Document.8 E:2005年传承

43、世纪高考最后押题数学数学4.doc OLE_LINK1 a r2k 1，则当n = k + 1时，由于函数f (x) = x2 + 2x在上递增，可知，ak + 1(ak + 1)2 1(2k 1 + 1)2 1 = 22k 12k + 1 1，即n = k + 1时，结论也成立所以，对任意的nN*都有an2n 1，即1 + an2n，也就是，从而，故有 0时，函数f (x)是凹函数； （2）如果x0，1时，| f (x)|1，试求实数a的范围 答案：（1）因为= a()2 + ()，f (x1) + f (x2) =ax+ x1 + ax+ x2，所以，作差得到2 f (x1) + f (x

44、2)= a()2 + () a(x+ ax) (x1 + x2)= a()2 a(x+ ax) = a()= a=0(a 0)，即有f (x1) + f (x2)，故知函数f (x)为凹函数 （2）| f (x) |1 1f (x)1 1ax2 + x1设a 0时，在x0，1时，均有 1ax2 + x1，f (1)1，即a + 11a0，这与a 0矛盾假设a 0不成立，a0又a0，a 0由 1ax2 + x1i）若x = 0时，则aR恒成立ii）若x时，有0 x11当= 1时， (+)2 +max = 2a 2， ()2 min = 0a0故得到a114已知f (x) = x3 + ax +

45、b定义在区间 1，1上，且f (0) = f (1)，又P (x1，y1)、Q(x2，y2)是其图象上的任意两个点（x2x2） （1）求证：函数f (x)的图象是关于点（0，b）成中心对称图形； （2）设直线PQ的斜率为k，求证：| k | 2； （3）若0 x1 x21，求证：| y1 y2 | ， 1，| 2，则| k | 2 （3）0 x1 x21且| y1 y2 | 2 | x1 x2 | = 2(x1 x2)，又| y1 y2 | = | f (x1) f (x2)| = | f (x1) f (0) + f (1) f (x2)| f (x1) f (0) | + | f (1)

46、f (x2) | 2| x1 0 | + 2 | x2 1 | = 2(x1 0) + 2(1 x2) = 2(x1 x2) + 2由 + ，得2| y1 y2 | 2，故| y1 y2 | sin x x，（0 x ） 答案：构造如下函数f (x) =，当0 x f (x) f ()，即1 ，也就是x sin x 116（1）x(0，+)，求证； （2）nN*，n2，求证 答案：（1）令1 +，由x 0知t 1，x =于是，原不等式等价于1 一方面，令f (t) = t 1 ln t，则有= 1 ，当t(1，+)，有 0从而可以知道，函数f (t)在(1，+)上是递增函数，所以有f (t)

47、f (1) = 0，即是t 1 ln t另一方面，令g (t) = ln t 1 +，则=，当t(1，+)时，有 0，从而可以知道，函数g (t)在t(1，+)上是递增函数，所以有g (t) g (l) = 0，即得ln t 1 综上可知 （2）由（1）可知，当x = 1，2，n 1时，不等式也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得，即117在等比数列an中，前n项和为Sn，若Sm，Sm + 2，Sm + 1成等差数列，则am，am + 2，am + 1成等差数列 （1）写出这个命题的逆命题； （2）判断逆命题是否为真，并给出证明 答案：（1）逆命题：在等比数列an中，前n项和为Sn，若am，

48、am + 2，am + 1成等差数列，则Sm，Sm + 2，Sm + 1成等差数列 （2）设an的首项为a1，公比为q，由已知得2am + 2 = am + am + 1，于是有2a1qm + 1 = a1qm 1 + a1qma10，q0，2q2 q 1 = 0，q = 1或q =当q = 1时，Sm = ma1，Sm + 2 = (m + 2)a1，Sm + 1 = (m + 1)a1，Sm + Sm + 12Sm + 2， Sm，Sm + 2，Sm + 1不成等差数列当q =，2Sm + 2 =，易证Sm + Sm + 1 = 2Sm + 2，Sm，Sm + 2，Sm + 1成等差数列综

49、上，当公比q = 1时，逆命题为假；当公比q1时，逆命题为真118设数列an前n项和为Sn，且(3 m)Sn + 2man = m + 3(nN*)其中m为常数，m 3，且m0 （1）求证：an是等比数列； （2）若数列an的公比满足q = f (m)且b1 = a1，bn =( nN*，n2)，求证为等差数列，并求bn 答案：（1）由（3 m）Sn + 2man = m + 3，得 （3 m）Sn + 1 + 2man + 1 = m + 3，两式相减，得 （3 + m）an + 1 = 2man ，（m 3），（m0），从而可以知道，数列an是等比数列 （2）当n = 1时，（3 m）a1

50、 + 2ma1 = m + 3，a1 =，b1 = a1 = 1，又q = f (m) =，nN*且n2，bn =，得bnbn 1 + 3bn = 3bn 1是以1为首项，为以差的等差数列，= 1 +，故bn =119设数列an的前n项和为Sn，若Sn是首项为S1、各项均为正数且公比为q的等比数列 （1）求数列an的通项公式an（用S1和q表示）； （2）试比较an + an + 2与2an + 1的大小，并证明你的结论 答案：（1）Sn是各项均为正数的等比数列，Sn = S1qn 1 (q 0)当n = 1时，a1 = S1；当n2时，an = Sn Sn 1 = S1(q 1) qn 2a

51、n = （2）当n = 1时，a1 + a3 2a2 = S1 + S1(q 1)q 2S1(q 1) = S1(q )2 + 0，a1 + a3 2a2当n2时，an + an + 2 2an + 1 = S1(q 1)qn 2 + S1(q 1)qn 2S1(q 1)qn 1 = S1(q 1)3qn 2S1 0，qn 2 0，当q = 1时，(q 1)3 = 0，an + an + 2 = 2an + 1；当0 q 1时，(q 1)3 0，an + an + 2 1时，(q 1)3 0，an + an + 2 2an + 1综上我们可知当n = 1时，a1 + a3 2a2当n2时，若q

52、 = 1，则an + an + 2 = 2an + 1；若0 q 1，则an + an + 2 1，则an + an + 2 2an + 1120如图，一粒子在区域(x，y)| x0，y0内运动，在第一秒内它从原点运动到点B1(0，1)，接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度 （1）设粒子从原点到达点An、Bn、Cn时，所经过的时间分别为an、bn、cn，试写出an、bn、cn的通项公式； （2）求粒子从原点运动到点P (16，44)时所需的时间； （3）粒子从原点开始运动，求经过2 004秒后，它所处的坐标 答案：（1）设A1(1，0)，A2(2，0)，

53、An (n，0)，当粒子从原点到达An时，显然有a1 = 3，a2 = a1 + 1，a3 = a1 + 12 = a1 + 3 4，a4 = a3 + 1，a5 = a3 + 20 = a3 + 5 4，a6 = a5 + 1，a2n 1 = a2n 3 + (2n 1) 4，a2n = a2n 1 + 1，a2n 1 = a1 + 43 + 5 + + (2n 1) = 4n2 1，a2n = a2n 1 + 1 = 4n2b2n 1 = a2n 1 2(2n 1) = 4n2 4n + 1，b2n = a2n + 2 2n = 4n2 + 4nc2n 1 = b2n 1 + (2n 1)

54、 = 4n2 2n = (2n 1)2 + (2n 1)，c2n = a2n + 2n = 4n2 + 2n = (2n)2 + 2n，即cn = n2 + n （2）由图形知，粒子从原点运动到点P (16，44)时所需的时间是到达点C44所经过的时间c44再加（44 16）= 28秒，所以t = 442 + 44 + 28 = 2 008秒 （3）由cn = n2 + n2 004，解得1n，取最大整数n，得n = 44，计算得c44 = 1 980 0)，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn，求数列f (bn)的前n项和Sn 答案：（1）三角形数表中前m行共有1 + 2 + 3

55、+ + m =项第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项故第m行最后一个数是2 1 = m2 + m 1因此，使得amn = 2 005的m是不等式m2 + m 12 005的最小正整数解由m2 + m 12 005，得m2 + m 2 0060mm = 45于是，第45行第一个数是442 + 44 1 + 2 = 1 981，n = （2）f 1(x) = 8nx3 = y (x 0)，x = ()n，故f (x) = ()n第n行最后一个数是n2 + n 1，且有n个数，若将n2 + n 1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为 2的等差数列，故bn = n(n2 + n 1) +f (

56、bn) = ()n 故Sn =，两式相减，得Sn = 2 (n + 2)()n122某地为了防止水土流失，植树造林、绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况如下表所示：1998年1999年2000年新植亩数1 0001 4001 800沙地亩数25 20024 00022 400而一旦植完，将不会再有土地被沙化 （1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到哪一年可绿化完全部荒沙地？ 答案：（1）由表知，每年比上一年多造林400亩因为1999年新植1 400亩，故当年沙地应降为25 200 1 400 = 23 800亩，但当年实际

57、沙地面积为24 000亩，所以1999年沙化土地为200亩；同理2000年沙化土地也为200亩所以每年沙化的土地面积为200亩 （2）由（1）知，每年所植林木的“有效面积”应比实际造林面积少200亩设2000年及其以后各年的造林亩数分别为a1，a2，a3，则n年造林面积总和为Sn = 1 800 n +，由题意得Sn24 000 + 200n，化简得n2 + 7n 1200解得n8故大于等于8年时，即到2007年可绿化完全部荒沙地123某城市2003年底粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上年底粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量为6万吨记2003年底的粮食储备量为a1万吨，以后每年底

58、的粮食储备量依次为a2万吨、a3万吨、an万吨、（nN*） （1）求a2、a3； （2）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过120万吨，试问2010年粮食储备量是否超过120万吨？ （3）试求数列an的通项公式 答案：（1）a2 = 100 (1 5%) + 6 = 101，a3 = 101 (1 5%) + 6 = 101.95； （2）由题意得到2010年底粮食储备量为a8万吨，则a8 = a7 (1 5%) + 6 = a6 (1 5%)(1 5%) + 6= a6 (1 5%)2 + 6(1 5%) + 6 = = 100 (1 5%)7 + 6(1 5%)6 + 6(1 5%)5

59、+ + 6= 100 0.957 + 6 = 100 0.957 + 120 120 0.957= 120 20 0.957 0，ak ak 1a1 = 12(n 1) + (n 1) 1 = 3n 33n 3 += 3n 2，an故(n = 2，3，4，5，)126已知数列xn满足：xn + 1 =，x1 = 1 （1）问是否存在mN*，使xm = 2，并证明你的结论； （2）试比较xn与2的大小关系； （3）设an = | xn 2 |，求证：当n2时，2 21 n 答案：（1）假设存在mN*，使xm = 2，则2 =， 同理可得xm 2 = 2，以此类推有x1 = 2，这与x1 = 1矛

60、盾，故不存在mN*，使xm = 2 （2）当n2时，xn + 1 2 =，又xn + 1 = 1 +，x1 = 1，则xn 0，xn + 1 2与xn 2符号相反，而x1 = 1 2，以此类推有：x2n 1 2； （3）xn + 1 = 1 +，x1 = 1，则xn 1，| xn + 1 2| =，an ，(n2)127已知a1 = A，a2 = A+A，an = A+ A +A，当nN*，n2时，求证： （1）an = n (an 1 + 1)； （2）（1 +）（1 +）（1 +）（1 +） 3 答案：（1）A，(nk2)an = A+ A +A= n + n(A) = n (1 + an