第5章衍生金融工具的风险分析(2)欧式期权ppt课件

1、金融工程与风险管理第5章 衍生金融工具的风险分析2：欧式期权.5.1B-S模型的实际根底 弱式有效市场与马尔可夫过程 1965年，法玛Fama提出了著名的效率市场假说EMH，该假说以为:前提：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。推论：证券价钱对新的市场信息的反响是迅速而准确的，证券价钱能完全反响全部信息。只需新信息才干引起价钱的变动，而新信息是不可预测的，故价钱的变化不可预测。价钱变化报答不可预测，等价于报答是相互独立的。.EMH根据市场对信息集包含的信息进展分类：弱式、半强式和强式弱式有效市场：市场价钱曾经包含了历史上一切的买卖信息价钱和买卖数量等。EMH与可用马尔可夫过程Marko

2、v Stochastic Process假设证券价钱遵照马尔可夫过程，该过程具有“无后效性，其未来价钱的概率分布与历史无关。衍生资产的定价问题的关键：标的资产的动摇的假设。B-S模型假设：资产价钱的动摇服从几何布朗运动，它是一种特殊的马尔可夫过程。.5.2 维纳过程根据有效市场实际，股价、利率和汇率具有随机游走性不可预测性，这种特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。对于随机变量w是Wiener process，必需具有两个条件：在某一小段时间t内，它的变动w与时段t满足.5.12. 在两个不重叠的时段t和s, wt和ws是独立的

3、，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！5.2有效市场.满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有当时段的长度放大到T时从如今的0时辰到未来的T时辰随机变量wT的满足.证明：.假设t0，由5.1和5.2得到5.35.4所以， 的分布性质为以上得到的随机过程，称为维纳过程。.程序：维纳过程的模拟% 假设初始点为0，由规范正态分布产生随机数300个，这样将1个单位时间等分为300个等分rnd=random(norm,0, 1,300,1);%建立初始的零向量，用来放置计算的结果w=zeros(1,300);for i=1:299 w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/3

4、00)0.5;endx=1:1:300;wplot(x,w).B-S模型证明思绪ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式.5.3 伊藤引理普通维纳过程(Generalized Wiener process)可表示为5.5显然，普通维纳过程的性质为.普通维纳过程仍缺乏以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当假设把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程.B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例几何布朗运动来代表股价的动摇，无妨令省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程5.6目的：证券的预期报答与其初始价钱无关。.思索：普通维纳过

5、程的缺陷假设将价钱变化表示为.伊藤引理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为省略下标t令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价钱那么f(x,t)的变动过程可以表示为5.7.证明：将5.7离散化由5.1知利用泰勒展开，忽略高阶项，f(x,t)可以展开为5.8.因此，5.8可以改写为5.9保管1阶项，忽略1阶以上的高阶项.即x2不呈现随机动摇！5.10.由5.10可得5.11由5.11得到5.12. 由于x2不呈现随机动摇，所以，其期望值就收敛为真实值，即当t0时，由5.9可得.命题：设当前时辰为t，假设股票价钱服从几何布朗运动那么T时

6、辰股票价钱满足对数正态分布5.4 几何布朗运动与对数正态分布.令那么这样由ITO引理得到即.由5.1.那么称ST服从对数正态分布，ST的期望值为所以.5.5 B-S模型的推导Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型根本假设8个无风险利率知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权.无买卖费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自在借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票买卖无限细分，投资者可以购买恣意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价钱S的变化为几何布朗

7、运动.5.5.1 B-S微分方程假设标的资产价钱变动过程满足这里S为标的资产当前的价钱，令f(s,t)代表衍生证券的价钱，那么f(s,t)的价钱变动过程可由ITO引理近似为.假设某投资者以1个单位的衍生证券空头和份的标的资产多头来构造一个组合，且满足那么该组合的收益为.例： 无套利定价与期权的风险对冲假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价钱要么是11元，要么是9元。假设如今的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价钱为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 .为了找出该期权的价值， 可构建一个由1单位看涨期权空头和m单位的标的股票多头组成的组合。假

8、设股票价钱11，那么该期权执行，那么组合收益为11m0.5假设股票价钱9，那么该期权不执行，那么组合收益为9m为了使该组合在期权到期时无风险，m必需满足下式： 11m0.59m，即m=0.25组合价值为2.25元.由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价钱为10元，因此，从无套利出发，期权费f期权的价值必需满足根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为.下面将证明该组合为无风险组合，在t时间区间内收益为.留意到此时不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于t较小不采用延续复利，那么整理得到.B-S 微分方程的意义

9、衍生证券的价钱f，只与当前的市价S，时间t，证券价钱动摇率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。因此，B-S微分方程构造了一个风险中性世界。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即一切证券的预期收益率都等于无风险利率r。只需标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价钱f。.释义：风险中性定价假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价钱要么是11元，要么是9元。假设如今的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价钱为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 .了解：在我们这个世界上，

10、一共有3种人，风险躲避者、偏好者和风险中性者，但是证券的价钱只需一个。所以，证券的定价对风险中性者也是适用的，风险中性者也必需以同样的价钱来购买证券。由于风险中性的投资者不需求额外的风险补偿，在由风险中性者构成的子世界，一切证券的预期收益率都等于无风险收益率。风险中性者与风险躲避者最大的区别是：二者对证券价钱变化的概率不同。启发：改动各个形状出现的概率，使风险资产的报答率等于无风险收益率超额收益率为0。.风险中性者与躲避者例如某个证券，风险躲避者是这样定价的而在风险中性者是这样定价的留意：证券的上涨概率添加，但同时贴现率也添加，所以定价不变。所以风险中性世界的定价仍可以用于现实的世界！.风险中

11、性定价原理风险中性定价原理：在这个改动了概率的世界里，一切证券的预期收益率都等于无风险利率r，一切现金流量都可以经过无风险利率进展贴现求得现值。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定风险中性概率仅仅是为方便定价给出的参数，它与我们概率论中所讲的概率具有本质的不同联络：数学中的坐标变换、微观经济学中的成效？.假定存在风险中性世界，股票上升的概率为p，下跌的概率为1-p。虽然有实践的概率，但可以不论，由于风险中性，那么该股票无超额收益，其报答率只需无风险利率同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，那么期权的现值为风险中性世界，一切证券都只能获得无风

12、险收益率！.5.5.2 B-S买权定价公式 对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权买权的在定价日t的定价公式为.1设当前时辰为t，到期时辰T，假设股票价钱服从几何布朗运动，假设曾经当前时辰t的股票价钱为st=S,那么T时辰的股票价钱的期望值为B-S买权定价公式推导5.13.5.14由5.13和5.14得到5.15根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，那么资产的期望报答为无风险报答，那么这阐明：在风险中性的世界中，任何可买卖的金融资产的报答率均为无风险利率。.2在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为第1项第2项.推导第1项.令 由此得到.被积函数为：

13、.y的积分下限为y的积分上限为.这样就完成了第1项的证明。.推导第2项首先进展变量代换，令.那么z的积分下限z的积分上限.将z和dz代入.由两个部分的推导得到.pr0dN(d)例如:当d1.96时,N(d)95.5%.5.5.3 B-S模型的含义由Z的积分下限可知，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。X e-r(T-t)N(d2)是X的风险中性期望值的现值。 StN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。.S=100，X=95，r=0.10,T=0.25 (quarter)，=0.50，那么d1=ln(100/95)

14、 + (0.10+(05 2/2) / (050.251/2)= 0.43 N(d1)=N (0.43)=0.6664d2=0.43+(050.251/2)=0.18， N(d2)=N(0.18)=0.5714Call Option Example期权的价值关于标的资产的价钱及其方差，以及到期时间等5个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数。.5.6 欧式看跌期权的定价利用金融工程技术来对待期权平价关系思索恣意t时辰，如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金组合B：一份有效期和执行价钱与上述看涨期权一样的欧式看跌期权，加上一单位标的资产.组合A到期时辰T的收益组合B到期时辰T的收益两个组合在T时辰具有一样的价钱，且由于欧式期权不能提早执行，那么在t时辰两个组合价值也必然相等无套利原理即此为看涨看跌期权平价公式。.从几何图性上看，二者对影