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1、第五章 留 数 1 一般理论设为的一个孤立奇点.洛朗级数:.0(高阶导数公式)0 (柯西定理)定义 留数定理.证两边同时除以 .留数的计算方法(1) 如果为的可去奇点, 如果 为 的一阶极点, 则 1.成洛朗级数求(2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算方法展开则需将如果 为 的 阶极点, 2.证则3.设证的一阶极点.为为 的一阶极点,顺时针方向注定义设函数在圆环域内解析，C为圆环域内绕原点的正向简单闭曲线，.证定理设函数在扩充复平面内有有限个孤立奇点, 那么各奇点 (包括 点)的留数之和为零.计算积分计算无穷远点的留数.优点: 简化计算 例1 求在的留数.解例2 求在
2、的留数.分析是的三阶零点计算较麻烦.如果利用洛朗展开式求较方便:解例3 求在的留数.解 是的四阶极点.在内将展成洛朗级数:例4C为正向圆周:解为一阶极点,为二阶极点,例5C为正向圆周:函数在的外部, 解 解法2 :有四个一阶极点在的内部 , 由规则3 例6C为正向圆周 :解 由于与1在C的内部, 思考题z=0是可去奇点，z=1是一级极点提示：思考题答案留数定理.如果 为 的一阶极点, 1.如果 为 的 阶极点, 2. 2 留数计算的应用一、方法 :把定积分化为复函数沿闭路的积分 .的正方向绕行一周.z 沿单位圆周26包围在单位圆周内的孤立奇点.例1解则例2解 令极点为 :(圆内)(圆外)例3 解 R(x)为有理函数 ，分母比分子至少高两次, 且分母在实轴不取零.分析可讨论再令二、构造封闭曲线围道积分法:xy.取辅助曲线取R充分大, 使R(z) 在上半平面内所有的极点都包在这积分路线内.由留数定理 :当 充分大时, 例4解 在上半平面有二级极点一级极点xy. R(x)是有理函数，分母比分子至少高一次, 且分母在实轴不取零.与一起构成封闭曲线C三、当 充分大时, 从而例5 解 在上半平面只有一个二级极点解 封闭曲线C:由Cauchy定理得:xy.例7证 亚纯函数零点与极点的个数证.不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向
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