西大《常微分方程》 4.2 常系数线性微分方程的解法4.2.4 Laplace(22P)

1、假设二 拉普拉斯变换法 /Laplace Transform /附录1拉普拉斯变换1拉普拉斯变换定义/Definition of Laplace Transform/ 对于在上有定义的函数对于已给的一些 一般为复数存在，那么称为函数的拉普拉斯变换，记为f (t)称为Laplace Transform 的原函数，F(s)称为f (t)的象函数. 拉普拉斯变换法存在性/Existence of Laplace Transform/ 是分段连续的, 并且 常数假若函数在的每一个有限区间上使对于所有的都有成立则当时,的Laplace Transform是存在的。1 Definition of Lapl

2、ace Transform 例1 当即1 Definition of Laplace Transform 例2 ( 是给定的实数或复数 ) 1 Definition of Laplace Transform 2 拉普拉斯变换的根本性质/ Properties of Laplace Transform/ 1 线性性质如果是原函数,和是任意两个常数(可以是复数)，则有左=右2 Properties of Laplace Transform 显然，假设 为实函数，例1 如果原函数为为实函数，那么那么2 Properties of Laplace Transform 2 Properties of L

3、aplace Transform 2 原函数的微分性质如果都是原函数，那么有或如果在处不连续，那么理解为2 Properties of Laplace Transform 证假定成立2 Properties of Laplace Transform 证毕3 象函数的微分性质2 Properties of Laplace Transform 另外，令3 拉普拉斯逆变换 /Inverse of Laplace Transform /象函数，求原函数也具有线性性质3 Inverse of Laplace Transform由线性性质可得如果的拉普拉斯变换可分解为并假定 的拉普拉斯变换容易求得，即那么

4、3 Inverse of Laplace Transform例1 求 的Laplace 反变换解3 Inverse of Laplace Transform例2 求的Laplace 反变换解3 Inverse of Laplace Transform(二)拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )为常数令 3 Inverse of Laplace Transform给(4.32)两端施行Laplace Transform3 Inverse of Laplace Transform解 令例3满足初始条件 求的特解 3 Inverse of Laplace Transform令 例 4 求 满足初始条件 的特解 解3 Inverse of Laplace Transform3 Inverse of Laplace Transform例 5 求 满足初始条件 的特解 令 解3 Inverse of Laplace Transform作业:用Laplace Transform 求 P.146