（文章）评点二次函数重点、考点、热点

1、评点二次函数重点、考点、热点一考题巡礼例1（天津）抛物线与x轴的交点（-1，0）（3，0）且过点（1，4），求此二次函数的解析式考查重点求二次函数解析式解根据已知条件，可选取多种解法方法1：设所求的解析式为y=ax2bxc（a0），由题意得a-b+c=0a=-19a+3b+c=0解之得b=2a+b+c=4c=3解析式为y=-x22x3方法2：抛物线与x轴交点的横坐标为-1和3，即-1和3是多项式ax2bxc的两根，设所求解析式为ya（x1）（x3）把x1，y=4代入解得a=-1y=-（x+1）（x-3）y=-x2+2x+3方法3：抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），它的对称轴为直线x=1

2、又抛物线过点（1，4），恰是抛物线的顶点，设所求的解析式为y=a（x1）24，把x=-1，y=0代入求出a=-1，y=-（x-1）24yx22x3方法4：由题意-1，3是一元二次方程，ax2bxc=0的两根，又过（1，4）得方程b/a=-1+3a=-1c/a=(-1)3解得b=2a+b+c=4 c=3点评求二次函数解析式一般有三种方法：已知三点，用一般式y=ax2bxc（a0）已知顶点坐标，对称轴或最值，可用顶点式ya（xh）2k（a0），其中（h，k）是顶点坐标已知图象与x轴的两个交点，可用两根式，设y=a（xx1）（xx2），（a0），其中x1和x2是图象与x轴交点的横坐标例2(南京)如图

3、，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=4/3，直线FE交AB的延长线于G过线段FG上的一个动点H作HMAG，HNAD，垂足分别为M、N设HM=x，矩形AMHN的面积为y（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？考查重点求函数的解析式及其函数的最值解（1）正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=4/3，CF/AG，BE=3，CF:BG=CE:BE，BG=4，HMAG，CBAG，HM/BE，MG:BG=HM:BE，MG=4/3xy=x(4+4-4/3x)=-4/3x2+8x(2)y=-4/3x2+8x=-4/

4、3(x-3)2+12当x=3时，y最大，最大面积是12点评（1）要写出y关于x的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用y、x或已知量来替换，就可以找到y与x的关系式（2）这类题目，注意自变量x的取值范围例3（北京西城区）已知：抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），其顶点的横坐标是1/2，与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点(其中x1x2，且x12+x22=13（1）求此抛物线的解析式及其顶点E的坐标；（2）设此抛物线与y轴交于点D，点M是抛物线上的点，若MBO的面积为DOC面积的2/3倍，求点M的坐标考查重点二次函数的综合性问题解（）抛物线y=ax2+

5、bx+c过点A（-1，4），a-b+c=4，即c=4-a+b抛物线顶点的横坐标是1/2-b/2a=1/2即b=-a抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于B（x1，0），C(x2，0)两点（其中x1x2），x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实根x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，由已知x12+x22=13，（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22(-b/a)2-2c/a=13 由解得a=-1，b=1，c=6经检验，a、b、c的值使0，符合题意抛物线的解析式为y=-x2+x+6当x=1/2时，y=25/4，抛物线y=-x2+x+6的顶点E的坐标为（1/2，25/4）(2)

6、由(1)得y=-x2+x+6，（如图，画草图帮自己分析）令x=0，y=6，得D（0，6）令y=0，-x2+x+6=0，解得：x1=-2，x2=3B(-2，0)，C(3，0)设点M的坐标为（x，y），则点M到x轴的距离为yMSMBO=2/3SDOC，1/2BOyM=2/31/2OCOD得yM=6，yM=6因为抛物线y=-x2+x+6开口向下，顶点的坐标为（1/2，25/4），对称轴是直线x=1/2若yM=6，因为625/4，有-x2+x+6=6，解得x1=0，x2=1点M的坐标是（0，6）或（1，6）若yM=-6，则-x2+x+6=-6，解得x3=-3，x4=4点M的坐标是（3，6）或（4，6）

7、答：所求点M的坐标分别是（0，6），（1，6）（-3，-6），（4，-6）点评本题具有一定的综合性和探索性，在问题（2）中要注意多解性，不要漏解例4（广东中考题）已知抛物线y=ax2bxc，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)又知方程：ax2bxc0(a0)两根平方和等于40(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使SPAB=2SCAB如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由考查重点求二次函数解析式及其综合问题分析求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式第(2

8、)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在解(1)由题设条件得抛物线顶点为(2，4)又A点坐标为(-2，0)，而ABC与PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，PAB面积最大显然，SPAB=162SABC=212=24故在x轴上方的抛物线上不存在点P使SPAB=2SCAB点评以二次函数为载体，结合二次方程、三角形等构造考题，知识覆盖面广，综合性强，是着力考查学生的综合思维能力它任是构成今年中考的压轴性题型二、热点题型设计1存在性问题例1已知抛物线y=x2-6xM与x轴有两个不同的交点A和B，以AB为直径作C，(1)求圆心C的坐标(2)是否存在实数M，使抛物线的顶点在C上，若存在，

9、求出M的值；若不存在，请说明理由解(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于C的半径长，依据这个条件，列出关于M的方程，求出M值后再由已知条件做出判断（1)y=x2-6xM=(x-3)2+M-9，抛物线的对称轴为直线x=3抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是C的直径，由抛物线的对称性圆心C的坐标为(3，0)(2)抛物线与x轴有两个不同交点，=(-b)2-4M0，M9设A(x1，0)，B(x2，0) 抛物线的顶点为P(3，M-9) 解得：M=8或M=9M9，M=9舍去M

10、8当M=8时，抛物线的顶点在C上点评“存在性”问题是探索性问题的主要形式解答这类问题的基本思路是：假设“存在”演绎推理得出结论(合理或矛盾)在结论探索题中，常见的一类就是探索存在性的问题，这类问题的特点是探求命题的结论是否存在一般的求解方法是：假设结论存在，如果求出的结论符合已知条件则结论存在；如果求出结论不符合已知条件或与定理、公理等相矛盾，则结论不存在探求存在型试题可以考查学生的判断能力和发现问题、解决问题的能力例2如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过点A、B、C三点的抛物线解析式为y=x2-Mx+N，若方程x2-Mx+N=0两根倒数和为-2(1

11、)求N的值；(2)求此抛物线的解析式；(3)设平行于x轴的直线交该抛物线于E、F两点，问是否存在以线段EF为直径的圆恰好与x轴相切，若存在求出此圆半径；若不存在，说明理由(淮阴中考)分析此类试题是探求符合题设条件的数学对象是否存在其解法是：先假设所需探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提运用二次函数等知识进行运算或推理，找出数学对象存在的条件，从而确定数学对象的存在，否则不存在解(1)设A(x1，0)、B(x2，0)，则方程x2-Mx+N=0的两根为x1，x2，可求得(2)抛物线的解析式为y=x2-2x-1，对称轴为x1(3)假设存在符合题设条件的圆P恰好与x轴相切，其半径为r，又抛物线是以

12、x=1为对称轴的轴对称图形，圆心P在对称轴x=1上，E、F、P三点的纵坐标都是r，把点 F(1r，r)坐标代入抛物线解析式求出r =2满足条件的圆存在，其半径为2圆心(1，2)点评随着数学中考对考查学生的数学思想方法及分析问题解决问题的能力的要求逐年提高，中考试题中出现了一类新颖的题型探索性试题，二次函数有关的探索性试题又是中考热点之一其特点是：1难度大此类试题涉及的知识点多将知识、技巧、思想方法综合在一起，对学生思维和能力有较高的要求2选拔功能强2应用性问题例33名教师带领若干名学生去旅游(旅费统一支付)，联系了标价相同的两家旅游公司经洽谈，甲公司给的优惠条件是：教师全额付费，学生按7折付费；乙公司给的优惠条件是：全部师生按8折付费问选择哪家公司较省钱？分析一看到此题，许多学生觉得无从下手，似乎题目所给条件不足因为无法计算出甲公司或乙公司的总旅费而不能比较优劣其实，我们只要分析题中涉及的一些量，发现学生的人数和总旅费都是变量，并且总旅费随着人数的变化348而变化这就说明了总旅费是学生人数的函数由于两家公司给出的优惠条件不同，则有两个不同的函数解析式选择哪家公司省钱，就转化为比较两个函数值大小的问题解设参加旅游的学生人数为x人，则甲公司优惠后需付费总额y=370 x；乙公司优惠后需付费总额y=80(x+3)令3+70 x80(x+3)，解之得x6，