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第一学期第二十次课4.2.2子空间的交与和，生成元集定义4.13 设，则是V的一个子空间，称为由生成的子空间，记为。易见，生成的子空间的维数等于的秩。定义4.14 子空间的交与和设为线性空间V/K的子空间，定义，称为子空间的交；，称为子空间的和。命题4.9 和都是V的子空间。证明： 由命题 ，只需要证明和关于加法与数乘封闭即可。 事实上，则，。由于均是V的子空间，则，于是，关于加法封闭，于是，关于数乘封闭；，则由的定义，使得，而，则，关于加法封闭，使得，由于，则，关于数乘封闭。证毕。命题4.10 设是V的子空间，则和均为V的子空间。4.2.3 维数公式。定理4.1 设V为有限维线性空间，为子空间，则。这个定理中的公式被称为维数公式。证明： 设，取的一组基（若=0，则，基为空集）将此基分别扩充为的基，只需要证明是的一组基即可。首先，易见中的任一向量都可以被线性表出。事实上，则，其中，而 于是可被线性表出。只要再证明向量组线性无关即可。设，其中则，（*）于是，于是，记为。则可被线性表示，则，带入（*），有，由于是的一组基，所以线性无关，则，带回（*），又有，于是向量组线性无关。证毕。推论2.1 设都

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