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文档简介
1、第九章 柱体的扭转一.内容介绍 圆截面杆件的扭转问题通过平面假设可以解决。但是非圆截面柱体扭转时,由于构件轴线不再具有对称性质,因此平面假设不再成立。本章讨论非圆截面柱体的扭转。首先从位移解法入手,讨论横截面的翘曲,建立柱体扭转的基本方程和边界条件;然后 ,讨论柱体扭转的应力解法;最后应用薄膜比拟探讨柱体扭转的切应力分布形式。 位移解法在柱体扭转中,由于横截面面力边界条件的表达形式导致求解困难,因此柱体扭转仍然是应用应力解法。通过扭转应力函数,求解椭圆截面和矩形柱体的扭转问题。二.重点 1. 扭转位移解法与翘曲函数; 2. 扭转应力解法与扭转应力函数; 3. 薄膜比拟法; 4. 典型柱体扭转问
2、题解。知识点 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010201.HTM 扭转位移假设 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020201.HTM 扭转应力函数 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030201.HTM 薄膜比拟 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030203.HTM 薄膜等高线与切应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040202.HTM 椭圆截面切应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth
3、/09050201.HTM 矩形截面柱体的扭转 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09050204.HTM 矩形截面柱体扭转切应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060202.HTM 开口薄壁杆扭转 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060204.htm 局部切应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010202.HTM 扭转翘曲函数 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010203.HTM 扭转边界条件 HYPERLINK /
4、zskj/3011/TXLX/ninth/09020202.HTM 扭转应力函数描述的边界条件 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030202.HTM 薄膜垂度与扭转应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040201.HTM 椭圆截面杆的扭转 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040203.htm 椭圆截面翘曲 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09050203.HTM 扭转级数解 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060201
5、.HTM 狭长矩形的扭转应力9.1 扭转问题的位移解学习思路: 本节讨论自由扭转问题的位移解法。 首先建立自由扭转的位移假设:一是刚截面假设;二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设,将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示,因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数(x,y)。 基本未知量翘曲函数(x,y)。确定后,通过基本方程,将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。 位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数,自然满足自由扭转问题的基本方程。 自由扭转问题的边界条件,可以分为两个部分:侧面边界条件和端面边界条件。 对于自由扭转,侧面边界不受力。根据这一
6、条件,可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。 端面采用合力边界条件,就是端面应力的合力为扭矩T 。这一边界条件,采用翘曲函数表达相当复杂。学习要点: 1. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010201.HTM 扭转位移假设; 2. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010202.HTM 扭转翘曲函数满足的基本方程; 3. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010203.HTM 扭转边界条件; 4. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010204.htm 扭转
7、端面边界条件;当柱体受外力矩作用发生扭转时,对于非圆截面杆件,其横截面将产生翘曲。 如果横截面翘曲变形不受限制,称为自由扭转;如果横截面翘曲变形受到限制,就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。 对于柱体的自由扭转,假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素,使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T,侧面不受力。 设柱体左端面形心为坐标原点,柱体轴线为z 轴建立坐标系。 柱体扭转时发生变形,设坐标为 z 的横截面的扭转角为,则柱体单位长的相对扭转角为。而横截面的扭转角z 。 对于柱体的自由扭转,首先考察柱体的表面变形。观察可以发现,柱体表面横向线虽然翘曲,但是各个
8、横向线的翘曲是基本相同的,而且横向线的轮廓线形状基本不变。根据上述观察结论,对柱体内部位移作以下的假设:刚截面假设。柱体扭转当横截面翘曲时,它在Oxy平面上的投影形状保持不变,横截面作为整体绕 z 轴转动, HYPERLINK javascript:expands(P1) 如图所示。当扭转角 很小时,设OP=,则P点的位移为2 横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角成正比,而且各个截面的翘曲相同,即w=(x,y)。 (x,y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数,或者称为翘曲函数。对于位移法求解,需要将平衡微分方程用位移分量表示。因为 根据几何方程,应变分量为根据本构方程,应力分量为
9、 对于平衡微分方程,在不计体力的条件下,前两个方程自然满足,只有最后一个方程,为 将 HYPERLINK javascript:expands(P1) 位移表达式代入上式,则上式为Laplace 方程,它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程,即Lam方程时,则扭转翘曲函数(x,y)为调和函数。下面考察柱体自由扭转的边界条件。 对于自由扭转问题,在侧边界没有载荷作用。 由于x=y=z=xy =0,只有xz和yz不等于零,因此分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论。 柱体的侧边界没有外力作用,而且侧面边界法线方向余弦n=0。因此, HYPERLINK javascript:expands(
10、P1) 面力边界条件只有第三式需要满足,有将翘曲函数表示的应力分量代入上式,并且注意到柱体侧面法线方向余弦与坐标系的关系,n=0, 则 HYPERLINK javascript:expands(P2) 如图所示。有 因为 所以,柱体侧面面力边界条件转换为翘曲函数横截面边界条件。有对于柱体的端面面力边界条件,选取柱体任意一个端面,例如右端面,l=m=0,而n=1。因此 HYPERLINK javascript:expands(P1) 面力边界条件的第三式自然满足,而前两式成为 面力的合力为外力矩T,则端面面力边界条件为 对于上述边界条件的前两式,由于 同理 。 所以边界条件的前两式是恒满足的。对
11、于第三式有令 则T =GD,其中D表达了横截面的几何特征,GD 称为柱体的抗扭刚度。 总之,柱体的自由扭转的位移解法,归结为在边界条件下求解 HYPERLINK javascript:expands(P2) 方程,相对扭转角由公式T =GD确定。9.2 扭转问题的应力解学习思路: 柱体自由扭转问题的位移解法,基本方程是翘曲函数表示的调和方程。基本方程的形式简单,但是边界条件的描述,特别是要用翘曲函数表达端面的合力边界条件比较困难。因此典型的扭转问题均是采用应力解法求解的。 自由扭转的应力解法,以扭转应力函数(x,y)作为基本未知量。主要工作包括利用平衡微分方程建立扭转应力与应力函数的关系;将应
12、力函数表达的应力分量代入变形协调方程,可以确定应力函数(x,y)满足的基本方程。这是一个泊松方程。 根据扭转问题的侧面面力边界条件,扭转应力函数在横截面的边界为常数。对于单连域问题,可以假设这个常数为零。 对于扭转问题的端面面力边界条件,可以确定外力矩和应力函数的关系。学习要点: 1. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020201.HTM 扭转应力函数; 2. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020202.HTM 扭转应力函数与边界条件; 3. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/0902020
13、3.HTM 扭转端面边界条件;扭转问题的位移解法方程虽然简单,但是边界条件相对比较复杂,因此通常使用应力解法求解柱体的扭转问题。 根据扭转问题的平衡微分方程,可得 。因此,必然有一个函数(x,y),使得 将上述扭转应力分量代入变形协调方程,则前四个方程恒满足,而后 HYPERLINK javascript:expands(P1) 两个方程要求,所以,翘曲函数(x,y) 满足 因此 上式即扭转问题的应力解法的基本方程。(x,y)称为普朗特(Prandtl)扭转应力函数。将扭转应力函数与翘曲函数公式相比较,则扭转应力函数与翘曲函数的关系为 将上式代入变形协调方程,则 C=2G 。对于侧面边界条件,。 将应力函数代入侧面面力边界条件,有 所以 c=const 根据应力表达式,在应力函数(x,y)中增加或者减少一个常数对于应力分量的计算没有影响,因此对于单连域横截面柱体,可以将常数取为零。有 c0 但是应该
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