第九章柱体的扭转

1、第九章 柱体的扭转一.内容介绍 圆截面杆件的扭转问题通过平面假设可以解决。但是非圆截面柱体扭转时，由于构件轴线不再具有对称性质，因此平面假设不再成立。本章讨论非圆截面柱体的扭转。首先从位移解法入手，讨论横截面的翘曲，建立柱体扭转的基本方程和边界条件；然后 ，讨论柱体扭转的应力解法；最后应用薄膜比拟探讨柱体扭转的切应力分布形式。 位移解法在柱体扭转中，由于横截面面力边界条件的表达形式导致求解困难，因此柱体扭转仍然是应用应力解法。通过扭转应力函数，求解椭圆截面和矩形柱体的扭转问题。二.重点 1. 扭转位移解法与翘曲函数； 2. 扭转应力解法与扭转应力函数； 3. 薄膜比拟法； 4. 典型柱体扭转问

2、题解。知识点 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010201.HTM 扭转位移假设 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020201.HTM 扭转应力函数 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030201.HTM 薄膜比拟 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030203.HTM 薄膜等高线与切应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040202.HTM 椭圆截面切应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth

3、/09050201.HTM 矩形截面柱体的扭转 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09050204.HTM 矩形截面柱体扭转切应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060202.HTM 开口薄壁杆扭转 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060204.htm 局部切应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010202.HTM 扭转翘曲函数 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010203.HTM 扭转边界条件 HYPERLINK /

4、zskj/3011/TXLX/ninth/09020202.HTM 扭转应力函数描述的边界条件 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030202.HTM 薄膜垂度与扭转应力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040201.HTM 椭圆截面杆的扭转 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040203.htm 椭圆截面翘曲 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09050203.HTM 扭转级数解 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060201

5、.HTM 狭长矩形的扭转应力9.1 扭转问题的位移解学习思路: 本节讨论自由扭转问题的位移解法。 首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数(x，y)。 基本未知量翘曲函数(x，y)。确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。 位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。 自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。 对于自由扭转，侧面边界不受力。根据这一

6、条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。 端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T 。这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。学习要点： 1. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010201.HTM 扭转位移假设； 2. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010202.HTM 扭转翘曲函数满足的基本方程； 3. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010203.HTM 扭转边界条件； 4. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010204.htm 扭转

7、端面边界条件；当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。 如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。 对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。 设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z 轴建立坐标系。 柱体扭转时发生变形，设坐标为 z 的横截面的扭转角为，则柱体单位长的相对扭转角为。而横截面的扭转角z 。 对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个

8、横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。根据上述观察结论，对柱体内部位移作以下的假设：刚截面假设。柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕 z 轴转动， HYPERLINK javascript:expands(P1) 如图所示。当扭转角 很小时，设OP=，则P点的位移为2 横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=(x，y)。 (x，y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数，或者称为翘曲函数。对于位移法求解，需要将平衡微分方程用位移分量表示。因为 根据几何方程，应变分量为根据本构方程，应力分量为

9、 对于平衡微分方程，在不计体力的条件下，前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为 将 HYPERLINK javascript:expands(P1) 位移表达式代入上式，则上式为Laplace 方程，它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程，即Lam方程时，则扭转翘曲函数(x，y)为调和函数。下面考察柱体自由扭转的边界条件。 对于自由扭转问题，在侧边界没有载荷作用。 由于x=y=z=xy =0，只有xz和yz不等于零，因此分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论。 柱体的侧边界没有外力作用，而且侧面边界法线方向余弦n=0。因此， HYPERLINK javascript:expands(

10、P1) 面力边界条件只有第三式需要满足，有将翘曲函数表示的应力分量代入上式，并且注意到柱体侧面法线方向余弦与坐标系的关系，n=0， 则 HYPERLINK javascript:expands(P2) 如图所示。有 因为 所以，柱体侧面面力边界条件转换为翘曲函数横截面边界条件。有对于柱体的端面面力边界条件，选取柱体任意一个端面，例如右端面，l=m=0，而n=1。因此 HYPERLINK javascript:expands(P1) 面力边界条件的第三式自然满足，而前两式成为 面力的合力为外力矩T，则端面面力边界条件为 对于上述边界条件的前两式，由于 同理 。 所以边界条件的前两式是恒满足的。对

11、于第三式有令 则T =GD，其中D表达了横截面的几何特征，GD 称为柱体的抗扭刚度。 总之，柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件下求解 HYPERLINK javascript:expands(P2) 方程，相对扭转角由公式T =GD确定。9.2 扭转问题的应力解学习思路: 柱体自由扭转问题的位移解法，基本方程是翘曲函数表示的调和方程。基本方程的形式简单，但是边界条件的描述，特别是要用翘曲函数表达端面的合力边界条件比较困难。因此典型的扭转问题均是采用应力解法求解的。 自由扭转的应力解法，以扭转应力函数(x,y)作为基本未知量。主要工作包括利用平衡微分方程建立扭转应力与应力函数的关系；将应

12、力函数表达的应力分量代入变形协调方程，可以确定应力函数(x,y)满足的基本方程。这是一个泊松方程。 根据扭转问题的侧面面力边界条件，扭转应力函数在横截面的边界为常数。对于单连域问题，可以假设这个常数为零。 对于扭转问题的端面面力边界条件，可以确定外力矩和应力函数的关系。学习要点： 1. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020201.HTM 扭转应力函数； 2. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020202.HTM 扭转应力函数与边界条件； 3. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/0902020

13、3.HTM 扭转端面边界条件；扭转问题的位移解法方程虽然简单，但是边界条件相对比较复杂，因此通常使用应力解法求解柱体的扭转问题。 根据扭转问题的平衡微分方程，可得 。因此，必然有一个函数(x,y)，使得 将上述扭转应力分量代入变形协调方程，则前四个方程恒满足，而后 HYPERLINK javascript:expands(P1) 两个方程要求，所以，翘曲函数(x,y) 满足 因此 上式即扭转问题的应力解法的基本方程。(x,y)称为普朗特(Prandtl)扭转应力函数。将扭转应力函数与翘曲函数公式相比较，则扭转应力函数与翘曲函数的关系为 将上式代入变形协调方程，则 C=2G 。对于侧面边界条件，。 将应力函数代入侧面面力边界条件，有 所以 c=const 根据应力表达式，在应力函数(x,y)中增加或者减少一个常数对于应力分量的计算没有影响，因此对于单连域横截面柱体，可以将常数取为零。有 c0 但是应该