2022年一次函数详细讲义

1、1 变量和函数一、变量1. 变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量 . 2. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量 二、函数 1. 函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有惟 一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。如果当 x=a 时， y=b，那么 b 叫做当自变 量的值为 a 时的函数值。注意：函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y 是 x 的函数，而不能简单的说出y

2、是函数。判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个 变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系 “y有唯一值与 x 对应 ”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否 则y不是x的函数x 取不同的值，y 的取 判断两个变量是否有函数关系 ,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系2 值可以相同例如 :函数 y ( x 3) 中，x 2 时，y 1；x 4 时，y 12. 函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表

3、示函数的方法叫做解析法（2）列表法：通过列表表示函数的方法（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法3 确定函数解析式的步骤（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数 4 确定自变量的取值范围（1）分母不为 0 （2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数（3）分式型：分母不为 0（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形

4、，就是这个函数的图象。注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式二、描点法画函数图象的步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线2.1 正比例函数1、正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k 是常数， k 0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数注意：注意 k 是常数， k 0的条件，当 k=0 时，无论 x 为何值， y 的值都为 0，所以它不是正比例函数。自变量 x 的指数只能为 12、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数 y=kx（ k 为常数， k 0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直

5、线，我们称它为直线 y=kx. 当 k0 时，直线 y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着 x 的增大， y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0 ，y 随 x 的增大而增大；k0 ，y 随 x 增大而减小倾斜度： |k|越大，越接近 y 轴； |k|越小，越接近 x 轴3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（1）设出含有待定系数的函数解析式 y=kx(k 0)；y=kx(k 0)中的常数 k，其基本步骤是：（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数 k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数 k；（4）将求得的待

6、定系数的值代回解析式 . 2.2 一次函数一、一次函数的定义一般地，形如ykxb （ k ， b 是常数，k0）的函数，叫做一次函数，当b0时，即 ykx ，这时即是前一节所学过的正比例函数注意：一次函数的解析式的形式是ykxb ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当b0，k0时， ykx 仍是一次函数当b0，k0时，它不是一次函数一次函数的自变量取值范围是全体实数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数二、一次函数的图象及其画法1、图象：一次函数ykxb （k0， k ， b 为常数）的图象是一条直线2、画法：由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一

7、次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可如果这个函数是正比例函数，通常取 0，0， 1，k 两点；如果这个函数是一般的一次函数（b 0），通常取 0，b，b，0，即直线与两坐标轴的交点k注意：由函数图象的意义知，满足函数关系式 y kx b 的点 x，y 在其对应的图象上，这个图象就是一条直线 l ，反之，直线 l 上的点的坐标 x，y 满足 y kx b ，也就是说，直线 l 与 y kx b是一一对应的，所以通常把一次函数 y kx b 的图象叫做直线 l ： y kx b ，有时直接称为直线 y kx b 三、一次函数的性质当k0时，一次函数ykxb 的图象从左到右上升，y 随

8、x 的增大而增大；当k0时，一次函数ykxb 的图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小注意：一次函数ykxb 的图象、性质与k 、 b 的符号b0 x一次kkxb k0函数k0k0k ，b符号b0b0b0b0b0yyyyyy图象OxOxOxOxOxO性质y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小字母 k，b 的作用： k 决定函数趋势，b 决定直线与y 轴交点位置，也称为截距倾斜度： |k| 越大，越接近y 轴； |k| 越小，越接近x 轴图像的平移：b0 时，将直线ykx 的图象向上平移b 个单位，对应解析式为：y kxb b0 时，将直线ykx 的图象向下平移b 个单位，对应解析

9、式为：ykxb 口诀：“ 上下”将直线 ykx 的图象向左平移m个单位，对应解析式为：yk（ xm）将直线 ykx 的图象向右平移m个单位，对应解析式为：yk（ xm）口诀：“ 左右”直线 y=kx b(k 0)与坐标轴的交点(1)直线 y=kx 与 x 轴、 y 轴的交点都是 (0，0)；(2)直线 y=kx b 与 x 轴交点坐标为 ( (0， b)四、用待定系数法求一次函数的解析式，0)与 y 轴交点坐标为1、定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做 待定系数法2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待定系数的解析式；

10、将x， 的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程（组） ，得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式注意：直线yk1xb 1（1k且0）与yk2xb2（k20）的位置关系（1）两直线平行k1k2b 1b2（2）两直线相交k1k2且b 1b2k1k2（3）两直线重合（4）两直线垂直k1k213 用函数观点看方程和不等式一、一次函数与一元一次方程的关系：直线 ykxb（k0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kxb0(k0)的解。 求直线 ykxb与 x轴交点时，可令y0，得到方程kxb0，解方程得x

11、b，直线 ykxb交 x 轴于 (b,0)，b k就是kk直线 ykxb与 x 轴交点的横坐标。二、一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为a xb0或 a xb0(a、b为常数，a0) 的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0 时，求自变量相应的取值范围。三、一次函数与二元一次方程（组）的关系：一次函数的解析式 y kx b（k 0）本身就是一个二元一次方程，直线 y kx b（k 0）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程 y kx b（k 0），因此二元一次方程的解也就有无数个。（1）以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成

12、的图象与一次函数 y= a x c的图象相同 . b b（2）二元一次方程组 a 1 x b 1 y c 1的解可以看作是两个一次函数 y= a 1 x c 1和 y= a 2x c 2的图a 2 x b 2 y c 2 b 1 b 1 b 2 b 2象交点 . 4 方案选择1生产方案的设计例 1 某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品，共 50 件。已知生产一件 A种产品需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产一件 B种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克，可获利润 1200 元。(1)

13、要求安排 A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案 ?请你设计出来；(2) 生产 A、B两种产品获总利润是 y( 元) ，其中一种的生产件数是 x，试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明 (1) 中的哪种生产方案获总利润最大 ?最大利润是多少 ? (98 年河北 ) 解 (1) 设安排生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品是 (50-x) 件。由题意得9 x 4 ( 50 x ) 360 ( 1 )3 x 10 ( 50 x ) 290 ( 2 )解不等式组得 30 x32。因为 x 是整数，所以 x 只取 30、31、32，相应的 (50-x) 的值是 20、 19

14、、18。所以， 生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产 A 种产品 30 件，B 种产品 20 件；第二种生产方案：生产 A 种产品 31 件， B 种产品 19 件；第三种生产方案：生产A 种产品 32 件， B 种产品 18 件。(2) 设生产 A 种产品的件数是x，则生产 B 种产品的件数是50-x 。由题意得y=700 x+1200(50-x)=-500 x+6000。( 其中 x 只能取 30，31， 32。) 因为 -500y乙，120 x+240144x+144 ，解得 x4 。当 y 甲y 乙,120 x+2404 。答：当学生人数少于 4 人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多

15、于 4 人时，甲旅行社更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题。一、生产方案的设计例 1 （镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务要求在天之内（含天）生产型和型两种型号的口罩共万只，其中型口罩不得少于 1.8 万只，该厂的生产能力是：若生产型口罩每天能生产 0.6 万只，若生产型口罩每天能生产 0.8 万只，已知生产一只型口罩可获利 0.5 元，生产一只型口罩可获利 0.3 元设该厂在这次任务中生产了型口罩 x 万只问： （）该厂生产型口罩可获利润 _万元，生产型口罩可获利润 _万元；（）设该厂这次生产

16、口罩的总利润是 y 万元，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围；（）如果你是该厂厂长：在完成任务的前提下，你如何安排生产型和型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产型和型口罩的只数 ?最短时间是多少？分析：（） 0.5 x ， 0.3（5 x ）；（） y 0.5 x 0.3（5 x ） 0.2 x 1.5，首先， 1.8 x ，但由于生产能力的限制，不可能在天之内全部生产型口罩，假设最多用 t 天生产型，则（t）天生产型，依题意，得 0.6 t 0.8（ t ），解得 t ，故 x 最大值只能是0.6 74.2

17、，所以 x 的取值范围是 1.8（万只） x 4.2（万只）；（） 1 要使 y 取得最大值，由于 y 0.2 x 1.5 是一次函数，且 y 随 x 增大而增大，故当 x 取最大值 4.2 时， y 取最大值 0.2 4.21.5 2.32（万元），即按排生产型 4.2 万只，型 0.8 万只，获得的总利润最大，为 2.32 万元；2 若要在最短时间完成任务，全部生产型所用时间最短，但要求生产型 1.8 万只，因此，除了生产型 1.8 万只外，其余的 3.2 万只应全部改为生产型所需最短时间为 1.8 0.63.2 0.8（天）二、营销方案的设计例（湖北）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是

18、每份 0.7 元，销售价是每份元，卖不掉的报纸还可以 0.20 元的价格退回报社在一个月内（以 30 天计算），有 20 天每天可卖出 100 份，其余 10 天每天只能卖出 60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同若以报亭每天从报社订购的份数为自变量 x ，每月所获得的利润为函数 y （）写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围；（）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？分析：（） 由已知， 得 x 应满足 60 x 100，因此， 报亭每月向报社订购报纸 30 x 份，销售（20 x 60 10）份，可得利润 0.3（20

19、x 60 10）6 x 180（元）；退回报社 10（ x 60）份，亏本 0.5 10（ x60） 5 x 300（元），故所获利润为 y （ 6 x 180）（ 5 x 300） x 480，即 y x 480自变量 x 的取值范围是 60 x 100，且 x 为整数（）因为 y 是 x 的一次函数，且 y 随 x 增大而增大，故当x 取最大值100 时， y 最大值为100480580（元）三、优惠方案的设计 例（南通市）某果品公司急需将一批不易存放的水果从市运到市销售现有三家运输公司可 供选择，这三家运输公司提供的信息如下：运输运 输 速运 输 费包 装 与包 装 与单位度 （ 千用

20、（ 元装 卸 时装 卸 费甲公司米千间 （ 小用（元）时）米）时）1500 60 乙公司50 1000 丙公司100 10 3 700 解答下列问题 : （）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的倍，求，两市的距离（精确到个位） ；（） 如果， 两市的距离为s千米， 且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300 元小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运 输公司？分析：（）设，两市的距离为x 千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：甲公司为（ 6 x 1500）元，乙公司为（8 x 1000）元，丙公司为

21、（10 x 700）元，依题意，得（8 x 1000）（ 10 x 700） （ 6x1500），解得 x 2162 217（千米）；3y ，y ，y （单位：元），则s（）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲（s ）小时；乙（60s ）小时；丙（50100）小时从而y 6 s 1500（s ）30011s 2700，60y 8 s 1000（s ）30014 s 1600，50sy 10 700（）30013 1600，100现在要选择费用最少的公司，关键是比较 1y ，y ，y 的大小 s ，y y 总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比较 y 和 y 的大小，而 1y