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1、第五章 梁弯曲时的位移5-1 梁的位移挠度和转角5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角5-6 梁内的弯曲应变能5-5 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施*5-4 梁挠曲线的初参数方程15-1 梁的位移挠度和转角 直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。第五章 梁弯曲时的位移2 弯曲后梁的轴线挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它可

2、以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：第五章 梁弯曲时的位移3 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。第五章 梁弯曲时的位移(a)(b)4 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负； 顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。第五章 梁弯曲时

3、的位移55-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分. 挠曲线近似微分方程的导出 在4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。第五章 梁弯曲时的位移6 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有注意：对于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁

4、的变形的影响是不可忽略的。第五章 梁弯曲时的位移7从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是q = w 沿x方向的变化率，是有正负的。第五章 梁弯曲时的位移8第五章 梁弯曲时的位移再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w ，正弯矩对应于负值的w ，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程9. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分常数。第五章

5、梁弯曲时的位移10 当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有第五章 梁弯曲时的位移 以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。11 边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。第五章 梁弯曲时的位移12 若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition)。

6、这两类条件统称为边界条件。第五章 梁弯曲时的位移13 例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章 梁弯曲时的位移14解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得于是得该梁的边界条件为：在 x=0 处 ，w =0第五章 梁弯曲时的位移15从而有转角方程挠曲线方程 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。第五章 梁弯曲时的位移16可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有第五章 梁弯曲时的位移17 由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角

7、方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。第五章 梁弯曲时的位移18两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有事实上，当以x为自变量时第五章 梁弯曲时的位移19思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？第五章 梁弯曲时的位移20 例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章 梁弯曲时的位移21解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得：第五章 梁弯曲时的位移22该梁的边界条件为在

8、 x=0 处 w=0，在 x=l 处 w=0于是有即从而有转角方程挠曲线方程第五章 梁弯曲时的位移23 根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故最大挠度在跨中，其值为第五章 梁弯曲时的位移24 例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章 梁弯曲时的位移25解：约束力为两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。第五章 梁弯曲时的位移26两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分

9、：挠曲线近似微分方程积分得左段梁右段梁第五章 梁弯曲时的位移27 值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项没有以x 为自变量而是以(x-a)作为自变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件 w1 |x=a=w2|x=a 及w1|x=a=w2|x=a 确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x 为自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章 梁弯曲时的位移28该梁的两类边界条件为支座约束条件：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0连续条件： 在x=a处 ，w1=w2第五章 梁弯曲时的位移由两个连续

10、条件得：由支座约束条件 w1|x=0=0 得从而也有29由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有即从而也有第五章 梁弯曲时的位移30从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁右段梁第五章 梁弯曲时的位移31左、右两支座处截面的转角分别为当ab时有第五章 梁弯曲时的位移32显然，由于现在ab，故上式表明x1a，从而证实wmax确实在左段梁内。将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得 根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax所在 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程 等于零，得第五章 梁弯曲时的位移33 由上式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小，以致 b2

11、 和 l2 相比可略去不计时有它发生在 处。而此时 处(跨中点C)的挠度wC为第五章 梁弯曲时的位移34 当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为 可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。第五章 梁弯曲时的位移35思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？第五章 梁弯曲时的位移l/4l/2365-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 当梁的变形微小，且梁

12、的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。第五章 梁弯曲时的位移37 悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。第五章 梁弯曲时的

13、位移38 例题5-5 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。第五章 梁弯曲时的位移(a) 解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接利用本教材附录表中序号13情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现成公式来讲述的。39 作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。第五章 梁弯曲时的位移(b)(a)40 在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录表中序号8的公式有第五章 梁弯曲时的位移C41注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦

14、为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中序号8情况下的公式有第五章 梁弯曲时的位移 在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有C42按叠加原理得第五章 梁弯曲时的位移43 例题5-6 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。第五章 梁弯曲时的位移44第五章 梁弯曲时的位移 解：为利用本教材附录中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座

15、B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也应与 的正负相对应，如图b及图c中所示。45 图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录中的资料求Bq， BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的 B和wD。第五章 梁弯曲时的位移46第五章 梁弯曲时的位移47 图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度

16、w1=|qB|a应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：第五章 梁弯曲时的位移485-5 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffness condition)：式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，q为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。第五章 梁弯曲时的位移49 土建工程中通常只限制梁的挠跨比， 。在机械工程中，对于主要的轴， ；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角， 。第五章 梁弯曲时的位移50第

17、五章 梁弯曲时的位移 例题5-8 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GPa， 。51 解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作更改。第五章 梁弯曲时的位移521. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩图如图c和图e。最大弯矩在距左支座0.8 m处，Mmax=62.4 kNm。梁所需的弯曲截面系数为第五章 梁弯曲时的位移53而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz36710-6 m3/2

18、=183.510-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz=183.510-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应力s，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/1703%，未超过5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。现加以检验：第五章 梁弯曲时的位移542. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为每根20a号槽钢其横截面在中性轴一侧

19、的面积对中性轴的静矩，根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：第五章 梁弯曲时的位移55其值小于许用切应力t=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切应力强度条件。当然， 的值也可按下式得出：第五章 梁弯曲时的位移每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4于是563. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录序号11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计算公式为可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为第五章 梁弯曲时的位移57于是

20、由叠加原理可得而许可挠度为由于wmaxw，故选用20a号槽钢满足刚度条件。第五章 梁弯曲时的位移58. 提高梁的刚度的措施(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。第五章 梁弯曲时的位移59 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为(2) 调整跨长和改变结构的体系第五章 梁弯曲时的位移60 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为第五章 梁弯曲时的位移(a)61而此时外伸端D和E的挠度也仅为第五章 梁弯曲时的位移62 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。第五章 梁弯曲时的位移635-6 梁内的弯曲应变能 在本教材的3-6中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺