高数微积分第六章多元函数微积分通用PPT课件

1、高数微积分第六章多元函数微积分6.2 多元函数的基本概念一、平面区域的概念二、二元函数概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 注： 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的邻域记为U(P0 ) 它是如下点集 邻域 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的某个去心邻域记作 下页下页 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种 点与点集之间的关系 内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点 外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 边界点 如果点P的任一邻域内

2、既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点边界点内点外点 E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 开集 如果点集E的点都是内点, 则称E为开集. 下页闭集 如果点集的余集Ec为开集 则称E为闭集 举例 点集E(x y)|1x2y20 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x y)|x2y21 举例 下页z=ax+by+c二元函数的图形 点集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)D称为二元函数zf(x, y)的图形. 二元函数的图形是一张曲面. z=ax+by+c表示一张平面. 举例 方程x2+y2+z2a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面, 其定义域均

3、为D=(x, y)|x2+y2a2.首页 二重极限概念可以推广到多元函数的极限. 三、多元函数的极限二重极限的定义 设二元函数f(P)f(xy)也记作 下页下页 例 设22221sin)(),(yxyxyxf+=, 求),(lim)0,0(),(yxfyx.),(lim)0,0(),(yxfyx=0必须注意 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 提示讨论 下页四、多元函数的连续性二元函数连续性定义 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去. 下页性质1(有界性

4、与最大值最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值多元连续函数的性质 性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值 结束6.3 偏 导 数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数上页下页铃结束返回首页一、偏导数的定义及其计算法 类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.偏导数的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 若极限存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作 一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义 偏导数的符号 如果

5、函数zf(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为函数zf(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作偏导函数一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义 偏导数的符号 偏导函数偏导函数的符号 偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可. 偏导函数 例 求zx23xyy2在点(1, 2)处的偏导数. 解 偏导函数 解 例 例 求zx2sin2y的偏导数. 解 证原结论成立有关偏导数的几点说明：.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解3. 偏导数存在与连

6、续的关系？偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续， 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续. 但函数在点(0, 0)并不连续.在点(0, 0), 有fx(0, 0)0, fy(0, 0)0, 提示：当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有 因此 函数f(x y)在(0 0)的极限不存在 当然也不连续 偏导数的几何意义 fx(x0, y0)= f(x, y0)x0 fy(x0, y0)= f(x0, y)y0 z=f(x, y0) z=f(x0, y) 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x

7、轴的斜率. 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y轴的斜率. 偏导数的几何意义 fx(x0, y0)= f(x, y0)x0 fy(x0, y0)= f(x0, y)y0 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x轴的斜率. 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y轴的斜率. 设某产品的需求量偏导数的经济意义其中为该产品的价格，为消费者收入。称需求对价格的偏弹性需求对收入的偏弹性偏导数的经济意义科布-道格拉斯生产函数其中是由用品的成本）。偏导数分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。个人力单位和个资本单位生产出的产品数量（资

8、本是机器、场地、生产工具和其它二、高阶偏导数二阶偏导数 如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数. 函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数. 类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数. 解 此例中两个混合偏导数是相等的. 例 设z=x3y2-3xy3-xy+1, 求22xz、33xz、xyz2和yxz2. 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 定理 解 例 设z=x3y2-3xy3-xy+1, 求22xz、33xz、xyz2和yxz2. 证 例

9、证 例提示 证 例一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用6.4 全微分上页下页铃结束返回首页应用 一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分（perfect differential)全增量(perfect increment)的概念全微分的定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数zf(x, y)在点(x, y)可微分, 而AxBy称为函数zf(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dzAxBy. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D内可微分. 下页 如果函数zf(x, y)在点(x,

10、 y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示为可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则 zf(xx, yy)f(x, y)AxByo(r),因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续. 下页于是从而可微分的必要条件应注意的问题下页可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导 偏导数存在是可微分的必要条件 但不是充分条件 可微分的充分条件 以上结论可推广到三元及三元以上函数. 下页可微分的必要条件可微分与连续 偏导数存在不一定连

11、续, 但可微分必连续. 如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导 则函数在该点可微分. 叠加原理 按着习惯, x、y分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 这样函数z=f(x, y)的全微分可写作 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全微分为下页 例1 计算函数zx2yy2的全微分. 解 所以 例2 计算函数zexy在点(2, 1)处的全微分. 解 所以 dz2xydx(x22y)dy. dze2dx2e2dy. 下页因为 因为 解 解 首页 例3 因为 所以设

12、解: 类似 可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 、全微分在近似计算中的应用下页 当函数zf(x, y)在点(x0, y0)处可微，那么函数L (x, y) f (x0, y0) +fx (x0, y0) (x-x0)fy(x, y) (y - y0), 就称为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处的线性化. 近似式 f(x, y) L (x, y) 称为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处的标准线性近似. 例 求函数在点(3,2)处的线性化. 当函数zf(x, y)在点(x, y)的两个偏导数fx(x, y), fy(x, y)连续, 并且|x|, |y|都较小时, 有近似等

13、式 zdzfx(x, y)xfy(x, y)y , 即 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算. 例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V, 则有 V r2h. 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3. 2201000.05202(1) VdV 2rhrr2h 200 (cm3), VrrVhh 下页 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x,

14、 y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根据近似公式, 有 例5 计算(1.04)2.02的近似值. (1.04)2.02 所以 x yyx y1xx yln x y, f(xx, yy) f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y1.08. 1221210.0412ln10.02 解 设函数 f(x, y)x y. 显然, 要计算的值就是函数在 x1.04, y2.02时的函数值f(1.04, 2.02). 结束 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x

15、, y)y, 因为 取x1, y2, x0.04, y0.02. 练 习 题练习题答案第五节、复合函数微分法与隐函数微分法一元复合函数求导法则微分法则一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数且有链式法则1.复合函数的中间变量为一元函数情形例如,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.以上公式中的导数 称为全导数.定理22.复合函数的中间变量为多元函数情形链式法则如图示 设zf(u v) u(x y) v(x y) 则 例. 解: exyy sin(xy)cos(xy) eusin v 1 eucos v y eusin v exyx sin(

16、xy)cos(xy)1eucos v x 设zf(u v) u(t) v(t) 则 3.复合函数的中间变量既有一元又有多元函数情形特殊地即其中两者的区别区别类似解:例.解:为简便起见 , 引入记号例. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解: 令则全微分形式不变性的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变性二、多元复合函数的全微分例1 .例.利用全微分形式不变性解例1.解:所以三、隐函数微分法隐函数的求导公式 例. 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x

17、0的值. 解: 设F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.隐函数存在定理:则 设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0). 由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x). 解: 设F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.则由

18、隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x). 提示: 由方程F(x, y)0确定的隐函数yf(x)的导数为 例. 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值. 解: 设F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.则由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x). 例. 验证方程x2y210在点(0

19、, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值. 隐函数存在定理 设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有解:令则内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,3. 隐函数微分法. 练

20、 习 题一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值 拉格朗日乘数法6.6 多元函数的极值及其求法上页下页铃结束返回首页一、多元函数的极值及最大值、最小值下页极值的定义 设函数z f (x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f (x y) f (x0 y0) 则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值) f (x0 y0) 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点

21、(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 例 函数z3x24y2在点(0, 0)处有极小值. 提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)(0, 0)时, z0. 因此z=0是函数的极小值.下页一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 提示: 例 当(x, y)=(0, 0)时, z=0,

22、 而当(x, y)(0, 0)时, z0. 因此z=0是函数的极大值. 下页提示: 因为在点(0, 0)处的函数值为零, 而在点(0, 0)的任一邻域内, 总有使函数值为正的点, 也有使函数值为负的点. 例 函数zxy在点(0, 0)处既不取得极大值也不取得极小值. 下页一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 下页定理1(取得极值的必要条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0

23、)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 类似地可推得 如果三元函数uf (x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点 驻点 设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 下页讨论 驻点与极值点的关系怎样？提示 具有偏导数的函数的

24、极值点必定是驻点 函数的驻点不一定是极值点 定理1(取得极值的必要条件) 例如,有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.下页定理2(取得极值的充分条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 则f (x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下 (1)ACB20时具有极值 且当A0时有极小值 (2)ACB20 则函数在驻点处取得极值 如果fxxfyy-fxy20 则函数在驻点处不取得极值 在极值点处 当fxx0时有极小值下页例求

25、函数解: 第一步 求驻点.得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;例 讨论函数及是否取得极值.解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为应注意的问题 不是驻点也可能是极值点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考

26、虑. 下页但(0 0)不是函数的驻点 最大值和最小值问题 如果f(x, y)在有界闭区域D上连续, 则f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 讨论: 比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？提示: 不能, 最大值和最小值也可能在区域的边界上取得, 而极值是在区域的内部求得的.下页 使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部, 也可能在D的边界上. 最大值和最小值的求法 将函数f(x, y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 如果函数f(x, y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得, 而函数在D内只有一

27、个驻点, 那么该驻点处的函数值就是函数f(x, y)在D上的最大值(最小值). 下页最大值和最小值问题 如果f(x, y)在有界闭区域D上连续, 则f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 下页 例 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省 解 根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D(x y)|x0 y0内取得 又因为函数在D内只有一个驻点(2 2) 所以此驻点一定是A的最小值点 设水箱的长为x m 宽为y m 则所用材料的面积为 水箱所用的材料最省 二、条件极值 拉格朗日乘数法条件极值 对自变量有附加条件的极值称为

28、条件极值. 上述问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题. 例如, 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x, y, z, 则体积Vxyz. 又因假定表面积为a2, 所以自变量x, y, z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2. 下页求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 例如, 求Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值. 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题. 下页二、条件极值 拉格朗日乘数法条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

29、(2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下页求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 拉格朗日乘数法 要找函数zf(x, y)在附加条件j(x, y)0下的可能极值点,可以先作辅助函数(拉格朗日函数)F(x, y)f(x, y)lj(x, y), 其中l为某一常数(拉格朗日乘子). 然后解方程组 上述方程组的解(x, y)就是所要求的可能的极值点, 对于所求得的可能的极值点还需判断是否是极值点,在实际问题中往往可根据问题本身

30、的性质来判定. 下页 例 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的三个棱长x, y, z, 则问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)=a2下的最大值. 作拉格朗日函数 解方程组F(x, y, z)xyzl(2xy2yz2xza2), 结束 因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时 解 小 结1. 函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第

31、二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题在条件求驻点 . 解 按题意，即求函数在条件解由一、二重积分的概念二、二重积分的性质6.7 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积 设一立体的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 提示 相应地把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.提示 其中l为各小区域直径的最大值.用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积Vi Vif(i

32、 i)i 用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积 将分割加细 取极限 求得曲顶柱体体积的精确值si(xi,hi)一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积 用曲线网把D分成小区域 1 2 n 二重积分的定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 1 2 n 其中i表示第i个小闭区域 也表示它的面积 在每个小闭区域i上任取一点(i i) 作和 设为各小闭区域的直径中的最大值 如果当 0时这和式的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记为积分号 二重积分的定义积分中各部分的名称 f(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d 面积

33、元素 x y 积分变量 D积分区域 积分和 对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素(areal element)为 二、二重积分的性质性质1 设c1、c2为常数 则 性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2 则 注 二、二重积分的性质性质1 设c1、c2为常数 则 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2 则 二、二重积分的性质性质1 设c1、c2为常数 则 性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2 则 性质3 性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式 特殊地有 性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积