高数多元函数基本概念PPT通用PPT课件

1、高数多元函数基本概念PPT8.1 多元函数的的基本概念一、平面点集与n维空间二、多元函数的概念三、习题8.11.邻域例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域记为点集称为点 P0 的邻域.8.1.1平面点集 n维空间2. n 维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标 .记作即一个点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作O .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的距离记作规定为 与零元 O 的距离为中点 a 的 邻域为区域要点:(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及

2、一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . 内点一定是聚点；说明： 边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点 点集E的聚点可以属于E，也

3、可以不属于E例如,(0,0) 是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是聚点也都属于集合D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;例如，在平面上开区域闭区域 整个平面是最大的开域 , 点集 是开集， 也是最大的闭域；但非区域 .o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 |AP K ,则称

4、D 为有界域 , 界域 .否则称为无二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ;数集称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 ,记作类似地可定义三元以上函数例1 求 的定义域解所求定义域为二元函数 的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如, 二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.三元函数 定义域为单位闭球图形为 空间中的超曲面.例如,图形如右图.例如,左图球面.

5、单值分支:P68.2 多元函数的极限与连续一、 多元函数的极限说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例2 求证 证当 时，原结论成立例3 求极限 解其中例4 证明 不存在 证取其值随k的不同而变化，故极限不存在不存在.观察播放确定极限不存在的方法：利用点函数的形式有三、多元函数的连续性类似地,例5 讨论函数在(0,0)处的连续性解取故函数在(0,0)处连续.当 时例6 讨论函数在(0,0)的连续性解取其值随k的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理（3）一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例解多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义思考题思考题解答