河南省许昌市2022届高三第一次质量检测（一模）理科数学试卷

1、外装订线请不要在装订线内答题内装订线河南省许昌市2022届高三理数第一次质量检测（一模）试卷一、单选题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 M=xlg(x-2)0 ， N=x|x-1|0 ”；命题 q: “ x2022 ”的一个充分不必要条件是“ x8 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(2,+)B.(-3,2)C.(-,-3)D.(-,-3)(2,+)11.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点 A ，若 AF1F2 的内切圆

2、半径为 b3 ，则双曲线的离心率为（ ） A.3B.2C.5D.312.设 a=4(2-ln4)e2 ， b=1e ， c=ln44 ，则 a ， b ， c 的大小顺序为（ ） A.acbB.cabC.abcD.bab0) ，点 G(32,74) 在椭圆 E 上，椭圆 E 的左顶点为 A ，上顶点为 B ，原点 O 到直线 AB 的距离为 255 . （1）.求椭圆 E 的标准方程； （2）.以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 BMN ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由. 21.已知函数 f(x)=ex-m(x+1)2 ， (mR)

3、 . （1）.选择下列两个条件之一； m=12 ； m=1 ；判断 f(x) 在区间 (0,+) 是否存在极小值点，并说明理由；（其中 e2.718 ）（注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分） （2）.已知 m0 ，设函数 g(x)=f(x-1)+mxln(mx) .若 g(x) 在区间 (0,+) 上存在零点，求实数 m 的取值范围. 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=1+cosy=sin （ 为参数）， M 是 C1 上的动点，且动点 P 满足 OP=3OM . （1）.求动点 P 的轨迹 C2 的参数方程； （2）.在以 O 为极点， x 轴

4、的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 =4 与曲线 C1 异于极点的交点为 A ，与曲线 C2 异于极点的交点为 B ，求 |AB| . 23.已知函数 f(x)=|2x+a|-|2x+3| . （1）.当 a=2 时，求不等式 f(x)0 的解集； （2）.若 f(x)2 ，求 a 的取值范围. 答案解析部分河南省许昌市2022届高三理数第一次质量检测（一模）试卷一、单选题1.已知集合 M=xlg(x-2)0 ， N=x|x-1|2 ，则 MN= （ ） A.B.(2,3)C.(-1,3D.0,1,2,3【答案】 C 【考点】并集及其运算 【解析】【解答】解： M=xlg(x-2)0=x0 x-

5、21=x2x3N=x|x-1|2=x|-2x-12=x|-1x0a+b=0 ， a0b ，则复数 z 在复平面内所对应的点在第四象限.故答案为：D 【分析】根据复数相等可得a0b ， 进而得出复数z在复平面内所对应的点所在的象限。3.已知命题 p: “ x0R ， ex00 ”的否定是“ xR ， ex0 ”；命题 q: “ x2022 ”的一个充分不必要条件是“ x8 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(2,+)B.(-3,2)C.(-,-3)D.(-,-3)(2,+)【答案】 D 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】 f(x)=2x3-2x+4+ex-1

6、ex f(x)-4=2x3-2x+ex-1ex又 f(-x)-4=-2x3+2x-ex+1ex=-f(x) ， 函数 f(x)-4 为奇函数，又 f(x)=6x2-2+ex+1ex0 ，且仅 x=0 时 f(x)=0 ， 函数 f(x) 在R上为增函数， 函数 f(x)-4 为R上的增函数，不等式 f(a-6)+f(a2)8 可化为 f(a-6)-44-f(a2) ， f(a-6)-4f(-a2)-4 a-6-a2 a2 ， 实数 a 的取值范围是 (-,-3)(2,+) ，故答案为：D. 【分析】 记f(x)-4=2x3-2x+ex-1ex ， 易知f(x)-4 为奇函数，求导后利用基本不等

7、式可知f(x)-4在R上单调递增，则原不等式可转化为a-6-a2 ， 解该不等式即可求出实数 a 的取值范围.11.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点 A ，若 AF1F2 的内切圆半径为 b3 ，则双曲线的离心率为（ ） A.3B.2C.5D.3【答案】 B 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】设双曲线 x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左焦点 F1(-c,0) 、右焦点 F2(c,0) ， 设双曲线的一条渐近线方程为： y=bax ，可得直线 AF2 的方程为： y=ba(x-

8、c) ，由 y=ba(x-c)x2a2-y2b2=1 可得： x=a2+c22cy=b(a2-c2)2ac ，即 A(a2+c22c,b(a2-c2)2ac) ，设 |AF1|=m ， |AF2|=n ，可得 SAF1F2=12|F1F2|yA|=12(|F1F2|+|AF1|+|AF2|)b3 ，即 122cb(c2-a2)2ac=12(2c+m+n)b3 ，整理可得： 3(c2-a2)a=2c+m+n ，即 m+n=3c2a-3a-2c ，由双曲线的定义可得： m-n=2a ，所以 n=3c22a-52a-c ，设直线 AF2 的倾斜角为 ，在 AF1F2 中， nsin=b(c2-a2)

9、2ac ，tan=ba ， sin2+cos2=1 ，所以 sin=ba2+b2 ，所以 n=b(c2-a2)2acsin=b(c2-a2)2aca2+b2b=b(c2-a2)2accb=c2-a22a ，所以 3c22a-52a-c=c2-a22a ，整理可得： 2a2+ac-c2=0 ，解得： 2a=c 或 a=-c （舍），所以双曲线的离心率为 e=ca=2 ，故答案为：B. 【分析】 设双曲线的左、右焦点分别为F1(-c,0) 、F2(c,0) ， 设双曲线的一条渐近线方程为y=bax ， 可得直线AF2的方程为y=ba(x-c),联立双曲线的方程可得A的坐标，设 |AF1|=m ，

10、|AF2|=n ， 运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a,c的方程，结合离心率公式可得所求值.12.设 a=4(2-ln4)e2 ， b=1e ， c=ln44 ，则 a ， b ， c 的大小顺序为（ ） A.acbB.cabC.abcD.bac【答案】 A 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】因为 a=4(2-ln4)e2=lne24e24 ， b=1e=lnee ， c=ln44 构造函数 f(x)=lnxx ， 则 f(x)=1-lnxx2 ， a=f(e24) ， b=f(e) ， c=f(4) ，f(x) 在

11、(0,e) 上递增，在 (e,+) 上递减.则有 b=f(e) 最大，即 ab ， cb .若 t=lnxx 有两个解，则 1x1e1) ，则 g(x)=(x-1)2x(x+1)0 ，故 g(x) 在 (1,+) 上单增,所以 g(x)g(1)=0 ，即在 (1,+) 上， lnx2(x-1)x+1 .若 x=x2x1 ，则有 lnx2x12(x2x1-1)x2x1+1 ，即 lnx2-lnx1x2-x12x2+x1 .故 t2tln(x1x2) ，所以 x1x2e2 .当 x2=4 时，有 e24x1e ，故 f(e24)f(x1)=f(4)所以 ac .综上所述： acb .故答案为：A

12、【分析】构造函数 f(x)=lnxx ， 应用导数研究其单调性，进而比较a=f(e24) ， b=f(e) ， c=f(4) 的大小，若t=lnxx有两个解，则构造利用导数确定，进而得到即可判断ac的大小，即可得出答案。二、填空题13.(2x-ax)7 的展开式中 x 的系数是-70，则 a=. 【答案】12【考点】二项式定理 【解析】【解答】解：展开式的通项公式为 Tr+1=C7r(-a)r27-rx7-2r ，由 7-2r=1 ，得 r=3 ， 所以一次项的系数为 -C7324a3=-70 ，得 a=12 ，故答案为： 12 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1,求出r的

13、值，即可求得一次项,再根据一-次项等于-70，求得实数a的值.14.请写出一个同时满足以下三个条件的函数 f(x): （1） f(x) 是偶函数；（2） f(x) 在 (0,+) 上单调递减；（3） f(x) 的值域是 (1,+) .则 f(x)=. 【答案】x-2+1 ， x-4+1 ， 1|x|+1 等（答案不唯一） 【考点】函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的判断 【解析】【解答】令 f(x)=x-2+1 ， f(-x)=(-x)-2+1=x-2+1=f(x) ，为偶函数； x-2 在 (0,+) 上单调递减，易知 f(x) 在 (0,+) 上单调递减； x-2(0,+) ，则 f(x)

14、(1,+) . f(x)=x-2+1 满足题设.故答案为： x-2+1 【分析】 利用基本初等函数的性质进行分析，即可得到答案.15.在菱形 ABCD 中， AB=4 ， BAD=60 ，已知 BE=13BC ， DF=FC ， EG=12EF ，则 AGEF=. 【答案】229【考点】向量的线性运算性质及几何意义，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】取 AB、AD 为一组基底，则 |AB|=|AD|=4 ， BAD=60 . 在菱形 ABCD 中， BC=AD ， DC=AB .因为 BE=13BC ， DF=FC ，所以 BE=13AD , CF=-12AB ,所以 EF=EC+CF=2

15、3AD-12AB .AG=AB+BE+EG=AB+13AD+12(23AD-12AB)=23AD+34AB ,所以 AGEF=(23AD+34AB)(23AD-12AB)=49AD2+16ABAD-38AB2=4916+164412-3816=229故答案为： 229 . 【分析】利用向量的线性运算以及向量数量积的定义即可求出 AGEF的值 。16.已知三棱锥 P-ABC 内接于表面积为 36 的球中，平面 PAB 平面 ABC ， PA=PB=3 ， PBBC ， APB=120 ，则三棱锥 P-ABC 体积为. 【答案】322【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，正弦定理 【解析】【解答】取 A

16、B 的中点 D ，连接 PD ，取 AC 的中点 F ，连接 DF ,如图， PA=PB ， ABPD ，又平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面 ABC=AB ，PD 平面 ABC则 PDBC ，又 PBBC ， PDPB=P ， BC 平面 PAB ，得 BCAB ，F 为 ABC 的外心，又 PAB 的外心在 PD 的延长线上，记为 E ，球心 O 满足 OF 平面 ABC ， OE 平面 PAB ，PA=PB=3 ， APB=120 ，可得 PD=32 ， AB=3在 PAB 中，由正弦定理 ABsinAPB=23 ，可求得 PE=3 ， 三棱锥 P-ABC 内接于表面积为

17、36 的球，OP=3 ，求得 EO=DF=6 ，则 BC=26 ， 三棱锥 P-ABC 体积为 V=131233226=322 .故答案为： 322 【分析】 由题意画出图形，证明BC平面PAB,由已知球的表面积求得球的半径,然后求解三角形求得PD与BC,再由棱锥体积公式求三棱锥P-ABC体积.三、解答题17.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a11+a22+an-1n-1+ann=n ， nN* . （1）.求数列 an 的通项公式； （2）.若 a1 ， ak+1 ， Sk+3 成等比数列， kN* ，求 1S1+1S2+1Sk2 的值. 【答案】 （1）解： a11+a22+a

18、n-1n-1+ann=n ， nN* ， n=1 时， a1=1当 n2 时， a11+a22+an-1n-1=n-1 ，-得： ann=1 ，所以 an=n(n2) ，又 a1=1 符合上式，故 an=n（2）解： an=n ， 数列 an 是首项为1，公差为1的等差数列， Sn=n(n+1)2 ，故 Sk+3=(k+3)(k+4)2 ，a1 ， ak+1 ， Sk+3 成等比数列，(k+1)2=(k+3)(k+4)2 ，解得 k=5 或-2（负值舍去），1Sn=2n(n+1)=2(1n-1n+1) ，1S1+1S2+1Sk2=1S1+1S2+1S25=2(1-12+12-13+125-12

19、6)=2(1-126)=5026=2513【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】（1）由 a11+a22+an-1n-1+ann=n ， nN* ，写出用n+1代n所得等式，两式相减求得 an ， 注意验证 a1； （2）求出 Sn ，由 a1 ， ak+1 ， Sk+3成等比数列，求得k值，然后计算 1S1+1S2+1Sk2的值.18.如图，在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 为菱形， ABC=60 ， AA1=A1B1=12AB=2 ， AA1 平面 ABCD . （1）.若点 M 是 AD 的中点，求证： C1MA1C ； （2）.设棱 BC 上靠近

20、 B 的四等分点为 E ，求二面角 E-AD1-D 的余弦值. 【答案】 （1）证明：取 BC 中点 Q ，连接 AQ ， A1C ， AC ， 四边形 ABCD 为菱形，则 AB=BC ， ABC=60 ， ABC 为等边三角形，Q 为 BC 的中点，则 AQBC ， AD/BC ， AQAD ，由于 AA1 平面 ABCD ，以点A为坐标原点，分别以 AQ ， AD ， AA1 为 x 轴、 y 轴z轴正方向建立空间直角坐标系.则 A(0,0,0) ， A1(0,0,2) ， D1(0,2,2) ， Q(23,0,0) ， C(23,2,0) ，C1(3,1,2) ， M(0,2,0) ，

21、 B(23,-2,0)C1M=(-3,1,-2) ， A1C=(23,2,-2) ，C1MA1C=-6+2+4=0 ， C1MA1C ，即 C1MA1C（2）解：由已知得， BE=14BC=(0,1,0) ，则 E(23,-1,0) ， 则 AE=(23,-1,0) ， AD1=(0,2,2)设平面 AD1E 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，则 nAE=0,nAD1=0, ，即 23x-y=0,2y+2z=0,不妨取 x=1 ，则 y=23 ， z=-23 ，所以， n=(1,23,-23) ，而平面 ADD1 的一个法向量为 m=(1,0,0) ，所以， cos=mn|m|n|=11+

22、12+12=15 .又二面角 E-AD1-D 为钝二面角，所以二面角 E-AD1-D 的余弦值为 -15 .【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1） 取BC中点Q ， 连接AQ ， A1C ， AC ，可得 AQBC ， AQAD ， 推出 AA1平面ABCD ，以点A为坐标原点，分别以AQ，AD，AA1为x轴、y轴z轴正方向建立空间直角坐标系，得出 C1M=(-3,1,-2) ， A1C=(23,2,-2) ， 利用向量数量积的坐标运算可得 C1MA1C=-6+2+4=0 ， 即 C1MA1C ； （2）求出平面AD1E的一个法向量和平面AD

23、D1的一个法向量，利用向量法即可求出二面角E-AD1-D的余弦值.19.某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理历史这两门科目采用原始分计分；思想政治地理化学生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治地理化学生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分. （1）.某校思想政治学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：原始分9190898887858382转换分10099979

24、594918886人数11211211现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中思想政治转换分不低于94分的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）.假设该省此次高一学生思想政治学科原始分Y服从正态分布N(76.3,25)若YN(,2)，令=Y-，则N(0,1)请解决下列问题：若以此次高一学生思想政治学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）附：若N(0,1)，P(1.04)0.85 . 【答案】（1）解：随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据条件得P(X=0)=C60C43C103=4120=130，P(X=1)=C61C42C10

25、3=36120=310，P(X=2)=C62C41C103=60120=12，P(X=3)=C63C40C103=20120=16则随机变量X的分布列为X0123P1303101216数学期望E(X)=0130+1310+212+316=95（2）解：设该划线分为m，由YN(76.3,25)得=76.3，=5，令=Y-=Y-76.35，则Y=5+76.3，依题意，P(Ym)0.85，即P(5+76.3m)=P(m-76.35)0.85因为当N(0,1)时，P(1.04)0.85，所以，P(-1.04)0.85所以m-76.35-1.04，故m71.1，取m=71 .综上：估计该划线分大约为71

26、分【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【分析】 (1)随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,求出概率得到分布列，然后求解期望； (2) 设该划线分为m ， 由YN(76.3,25)得=76.3 ， =5 ， 令=Y-=Y-76.35，则Y=5+76.3，转化求解m即可.20.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0) ，点 G(32,74) 在椭圆 E 上，椭圆 E 的左顶点为 A ，上顶点为 B ，原点 O 到直线 AB 的距离为 255 . （1）.求椭圆 E 的标准方程； （2）.以此椭圆的上顶点 B 为直

27、角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 BMN ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）解：因为点 G(32,74) 在椭圆 E 上，所以 94a2+716b2=1 ， 直线 A1B1 的方程为 x-a+yb=1 ，即 bx-ay+ab=0 所以 aba2+b2=255 ，所以 1a2+1b2=54 联立，解得 a2=4 ， b2=1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x24+y2=1（2）解：假设能构成等腰直角三角形 BMN ，其中 B(0,1) ， 由题意可知，直角边 BM ， BN 不可能垂直或平行于 x 轴，故可设 BM 边所在直线的方程为 y=

28、kx+1 ，（不妨设 k0 ），则 BN 边所在直线的方程为 y=-1kx+1 .由 y=kx+1x2+4y2=4 ， (1+4k2)x2+8kx=0 得 x1=0 （舍）， x2=-8k1+4k2 ，故 M(-8k1+4k2,-8k21+4k2+1) ，|BM|=(-8k1+4k2)2+(-8k21+4k2)2=8|k|1+k21+4k2 ，用 -1k 代替上式中的 k ，得 |BN|=81+k24+k2 ，由 |BM|=|BN| ，得 |k|(4+k2)=1+4k2 ，即 k3+4k2+4k+1=0 ，即 (k+1)(k2+3k+1)=0 ，k0 ， 解得 k=-1 或 k=-352 .故

29、存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 (1)求椭圆的方程即是求a,b两参数的值，由题意布列方程即可； (2)设能构成等腰直角三角形BMN,其中B(0,1),由题意可知，直角边BM,BN不可能垂直或平行于x轴，故可设BM边所在直线的方程为y=kx+1(不妨设k0 ，设函数 g(x)=f(x-1)+mxln(mx) .若 g(x) 在区间 (0,+) 上存在零点，求实数 m 的取值范围. 【答案】 （1）解：若选择 m=12 ，则 f(x)=ex-12(x+1)2 ，则 f(x)=ex-x-1 ， 令 g(x)=ex-x-1

30、， g(x)=ex-1 ，由 g(x) 单调递增，且 g(0)=0 ，所以 f(x) 在 (0,+) 上单调递增，即 f(x)f(0)=0 ，则 f(x) 在 (0,+) 上单调递增，不存在极小值点若选择 m=1 ， f(x)=ex-(x+1)2 ，则 f(x)=ex-2x-2 ，令 g(x)=ex-2x-2 ， g(x)=ex-2 .由 g(x) 单调递增，且 g(ln2)=0 ，f(x) 在 (0,ln2) 上单调递减， (ln2,+) 上单调递增，f(ln2)=-2ln20 ，所以存在 x0(ln2,2) ，使得 f(x) 在 (0,x0) 上单调递减， (x0,+) 上单调递增，所以存

31、在极小值点 x0(ln2,2)（2）解：令 g(x)=0 ，有 ex-1-mx2+mxln(mx)=0 ，又 mx0 ， 所以 ex-1mx-x+ln(mx)=ex-1eln(mx)-x+ln(mx)=ex-ln(mx)-1-x-ln(mx)=0 ，令 t=x-ln(mx) ，即转化为 et-1-t=0 有解，设 h(t)=et-1-t ，则由 h(t)=et-1-1 可得， h(t) 在 t(-,1) 单调递减，在 t(1,+) 单调递增，而 h(1)=0 ，所以 h(t)=et-1-t 由唯一零点 t=1 .若 g(x) 在区间 (0,+) 存在零点，即为 1=x-ln(mx) 在 (0,

32、+) 有解.整理得： 1+lnm=x-lnx ，设 l(x)=x-lnx ，由 l(x)=1-1x 知， l(x) 在 x(0,1) 单调递减，在 x(1,+) 单调递增，又 x0 时， l(x)+ .则 l(x)l(1)=1 ，所以 1+lnm1 ，得： m1 .【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】 (1)若选: m=12 ， 则f(x)=ex-12(x+1)2 ，求出函数f(x), 令g(x)=ex-x-1 ， g(x)=ex-1 ，利用f(x)的正负确定f(x)的单调性,从而得到f(x)的单调性,由极值点的定义求解即可; 若选: m=1 ， f(x)

33、=ex-(x+1)2 求出函数f(x), 令g(x)=ex-2x-2 ， g(x)=ex-2 确定f(x)的单调性,由f(x)的取值结合零点的存在性定理以及极值点的定义求解即可; (2)令g(x)=0,将式子进行化简变形可得， ex-1-mx2+mxln(mx)=0 , 令t=x-ln(mx) ， 即转化为et-1-t=0有解 ， 构造函数 h(t)=et-1-t ，利用导数研究函数h(t)的性质,确定h(t)的零点，问题转化为 1=x-ln(mx) 在(0,+)上有解，构造函数 l(x)=x-lnx ， 利用导数研究函数的单调性，求解即可.22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=1+cosy=sin （ 为参数）， M 是 C1 上的动