高中数学选修2-1221椭圆及其标准方程

1、2.2.1 椭圆及其标准方程(一) 生活中的椭圆生活中的椭圆 椭圆概念的引入： 在前面圆的方程中我们知道：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆改为两个定点呢？数 学 实 验F1F2M1在平面内，任取两个定点F1、F2 ；2取一细绳并将细绳（大于两定点的距离）的两端分别固定在F1、F2两点 ；3用笔尖（点M）把细绳拉紧，慢慢移动笔尖看看能画出什么图形？演示F1F2请你为椭圆下一个定义 想想看，这一过程中什么变化了，什么没有变？1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（用2a表示且大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距(2

2、c)。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：(2a2c)MF2F1数 学 实 验F1F2M1在平面内，任取两个定点F1、F2 ；2取一细绳并将细绳（大于两定点的距离）的两端分别固定在F1、F2两点 ；3用笔尖（点M）把细绳拉紧，慢慢移动笔尖看看能画出什么图形？若改为小于或等于将是什么情况？演示1演示2 结论：1.当绳长大于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是椭圆。2.当绳长等于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是以F1,F2为端点的线段。3.当绳长小于两定点F1,F2间的距离时，不能构成图形。 求动点轨迹方程的一般方法：（1）建系设点（2）列式（3）代换、化简 （4）审查坐标法2.求椭圆的方程：

3、 探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常利用“对称性”OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM2.求椭圆的方程：解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得：代入坐标两边除以 得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，平方总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：3.椭圆的标准方程:1

4、oFyx2FM12yoFFMx 图 形方 程焦 点F(c，0)F(0，c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定 义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)椭圆的标准方程的认识：（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的。（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2

5、=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”例1、填空：(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_例题精析543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点所在轴的方法： 看分母，谁大在谁上练习1：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？并指明a2、b2，写出焦点坐标答：在 X 轴。（-3，0）和 （3，0）答：在 y 轴。（0，-5）和 （0，5）答：在y 轴。（0，-1）

6、和 （0，1）(2)已知椭圆的方程为： ,则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：_，焦距 等于_; 若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_， 则F1PF2的周长为_21(0,-1)、(0,1)2PF1F2例1、填空：练习2：将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标例2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2，0),(2，0),并且经过点 ,求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 (ab 0)由椭圆定 义知 所以 ,又因为 ,所以 因此,椭圆的标准方程为待定系数法 两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程 为：2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：练习、求满足下列条件的椭圆的标准方程： 看分母，谁大在谁