概率课件：第三章多维随机变量及其分布1

1、第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维联合分布函数与边缘分布函数第二节 二维离散型随机变量及分布第三节 二维连续型随机变量及分布第四节 二维随机变量的函数的分布第五节 n维随机变量 引例1 某人打靶, 考虑射击的弹着点. 这时, 可能结果是靶 面上的一点, 无法用一个变量来表示, 但可以以靶心 为原点, 建立平面直角坐标系, 每一弹着点用其坐 标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来 表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.例2 考察某地的一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，

2、这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量. 一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .3.1 联合分布函数与边缘分布函数一、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的独立性定义1 E是一个随机试验，样本空间=e. 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在 上的随机变量，向量(X,Y)叫做二维随机变量.X(e)eY(e)一、二维随机变量的分布函数【注】二维随机变量(X, Y )的性质不仅与X和Y有关,且还依赖X与Y 的相互关系.定义2 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y,二元函数 称F(x,y)为二维随

3、机变量(X,Y)的分布函数,或称 为随机变量X和Y 的联合分布函数。xyO(x,y)xOx1y2x2y1y1) F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数,即 对任意固定的 y, 当x2 x1时,有F(x2,y) F(x1,y); 对任意固定的x ,当 y2 y1时,有F(x,y2) F(x,y1). 分布函数F(x,y)的性质2) 0 F(x, y) 1,且 F(-, y)=0, F(x, -)=0, F(-,-)=0, F(+,+)=1 .3) F(x,y)关于 x右连续, 关于y右连续.4) 对于任意x1 x2 , y1 0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布率.PX=xi|Y=

4、yj=，i=1,2, 类似定义在X=xi条件下随机变量Y 的条件概率函数. 作为条件的那个随机变量,认为取值是相对固定的，在此条件下求另一随机变量的概率分布.二维离散型随机变量(X,Y)的条件分布律:如何利用分布律表格求条件分布律1XY例2 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一 随机变量Y在 中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的 条件分布律.解: X=i, i=1,2,3,4, Y=j, ji.1 2 3 412341/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16YX25/48 13/487/48 3/4

5、81/4 1/4 1/4 1/4例3一射手进行射击，击中目标的概率为 ， 射击直至中目标两次为止。设以 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律解：设Y=n 表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标. n=2,3, X=m表示首次击中目标时射击了m次.(m0，若对于任意实数x，极限 存在，则称此极限值为在条件Y=y下随机变量X的条件分布函数,记为 或1.条件分布函数 定义 连续型随机变量的条件概率密度 设(X,Y)的分布函数为F(x, y)，概率密度 f(x , y) 在(x , y) 处连续，边缘概率密度 fY (

6、y) 连续，fY(y)0, 则2.条件概率密度在条件Y= y的条件分布函数和条件概率密度为类似可得推导返回yxO11例4 设(X,Y)在区域G(如图)上服从均匀分布，求条件 概率密度.解对于任意给定的值x (0 x1),在X=x条件下,有当x取其他值时，条件分布无意义！对于任意给定的值y (0y1),在Y=y条件下,有当y取其他值时，条件分布无意义！例5 设数X在区间(0,1)均匀分布,当观察到X=x(0 x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y 的概率密度.解：对任给定的x(0 x1|Y=y例6 设(X,Y)的概率密度是分析: PX1|Y=y为此, 需求出 PX1|Y=1PX1|Y1

7、由于于是对y0, 故对y0, PX1|Y=y解(X,Y )概率密度 思考：边缘分布与联合分布、条件分布三者之间的关系？联合分布边缘分布条件分布联合分布注意：二维正态分布的条件分布也是正态分布.（见P84） 教材上称为“几乎处处成立”，含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.定义 二维连续型随机变量(X,Y)的独立性:(2)定理 设随机变量X与Y相互独立，令 其中 为连续函数，则U与V也相互独立(1)二维正态随机变量X与Y相互独立证: 必要性 对任何 x,y 有取X与Y相互独立附：故将代入即得所以X与Y相互独立充分性 图例7 学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在79时,设两人到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过5分钟的概率解