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1、4.3 协方差 相关系数一、协方差及相关系数二、相关系数的意义对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间还有某种联系,问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 问题的提出 一、协方差及相关系数协方差反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 设(X,Y)为二维随机变量，若 EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的 协方差，记为Cov(X,Y)即若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称若称X ,Y不相关.无量纲 的量1. 定义2. 说明 3. 协方差的计算公式则(1)若(X,Y)为离散型，(2)若(X,Y)为连

2、续型,其概率密度为f(x,y), 则法一：证明 法二：4. 性质 (5) Cov(X,X)=D(X)； (4) 若X与Y独立，则 Cov(X, Y)=0.例1 设(X,Y)具有概率密度求 Cov(X,Y).解：解例2 设 ( X ,Y ) ，求XY 结论即X ,Y 相互独立X ,Y 不相关例2 设 求XY解 由上章3.4例1知，X, Y相互独立 = 0，即XY=0, 亦即X,Y不相关由此知二维正态随机变量X与Y相互独立与不相关是等价的例3 已知 设 , 求 解1. 问题的提出二、相关系数的意义解得2. 相关系数的意义例4 解(1)3. 注意相互独立不相关(2)4. 相关系数的性质 意义 |XY

3、|=1当且仅当Y跟X几乎有线性关系.这说明了相关系数的概率意义.XY并不是刻画X,Y之间的“一般”关系,而是刻画X,Y之间线性相关程度.证(2)反之，若2022/7/1121例 设随机变量(X,Y)的联合概率分布列为 -1 0 1 -1 1/12 5/12 0 1 2/12 3/12 1/12 试分析随机变量(X,Y)的相关性和独立性。例 设(X,Y)均匀分布在以坐标原点为中心，R为半径的圆的内部，试分析则随机变量X与Y的相关性和独立性.解：由已知得故又因为所以X与Y不相互独立故X,Y 既不相关也不相互独立.定义1 设X, Y为随机变量, k, l为正整数，称4.4 矩、 协方差矩阵为X的k阶原点矩( k阶矩)为X的 k阶中心矩;为X和Y的k+l 阶混合矩;为X和Y的k+l 阶混合中心矩注(1)E(X)是X的一阶原点矩；(2)D(X)是X的二阶中心矩；(3)Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.定义2 设n维随机变量 的二阶混合中心矩都存在，称矩阵其中显然：协方差矩阵是对称矩阵为n维随机变量 的协方差矩阵。例 设 写出其协方差矩阵。解 由以前结果知协方差矩阵为七种常用随机变量的期望与方差小

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