数字信号处理方式-时间抽取FFT算法

1、数字信号处理方式-时间抽取FFT算法离散傅里叶变换快速算法(FFT)问题的提出解决问题的思路与方法 基2FFT算法基2频率抽取FFT算法FFT算法的实际应用 实序列的DFTIDFT的快速计算方法问题的提出4点序列2，3，3，2 DFT的计算复杂度复数加法N(N-1)复数乘法N 2如何提高DFT的运算效率?解决问题的思路1. 将长序列DFT分解为短序列的DFT2. 利用旋转因子 的周期性、对称性、可约性。旋转因子 的性质(1) 周期性(2) 对称性(3) 可约性解决问题的方法 将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子的特性，由子序列的DFT来实现整个序列的DFT。 基2时间抽取(Decima

2、tion in time)FFT算法 基2频率抽取(Decimation in frequency)FFT算法基2时间抽取FFT算法基2时间抽取FFT算法推导基2时间抽取FFT算法流图基2时间抽取FFT算法的计算复杂度基2时间抽取FFT算法流图规律基2时间抽取FFT算法推导基2时间抽取FFT算法推导因此有:由于X1m 和X2m隐含有周期性，可得基2时间抽取FFT算法推导1j-1-j基2时间抽取FFT算法的根本关系基2时间抽取FFT算法流图N=2xk=x0, x14点基2时间抽取FFT算法流图x0 x2x1x3X10X11X20X212点DFT2点DFT-1-1-1-1X 0X 1X 2X 34

3、点基2时间抽取FFT算法流图8点基2时间抽取FFT算法流图4点DFT4点DFTx0 x2x4x6x1x3x5x7X10X11X12X13X20X21X22X23X 0X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7-1-1-1-14点DFT4点DFTx0 x2x4x6x1x3x5x7X10X11X12X13X20X21X22X23X 0X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7-1-1-1-18点基2时间抽取FFT算法流图第一级第二级第三级8点基2时间抽取FFT算法流图算法的计算复杂度复乘次数复乘次数NN 2计算速度的比较N=1024*4;x = rand(N,1);tic; y1=fft(x);

4、t1=toc; fprintf(nFFT time =%.6en,t1) ;tic; y2=dftmtx(N)*x; t2=toc;fprintf(DFT time =%.6en,t2);fprintf(FFT/DFT =%.6f%n,t1*100/t2);stem(abs(y1-y2), r. ) ; 基2时间抽取FFT算法流图第一级第二级第三级FFT算法流图旋转因子 规律第二级的蝶形系数为 ，蝶形节点的距离为2。第一级的蝶形系数均为 ，蝶形节点的距离为1。第三级的蝶形系数为 ，蝶形节点的距离为4。第M级的蝶形系数为 ，蝶形节点的距离为N /2。倒 序运算(Bit-reverse Compu

5、tations)倒序的实现变址A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)存储单元x000 x001 x010 x011 x100 x101 x110 x111x000 x100 x010 x110 x001x101 x011 x111自然顺序输入倒序变址xk2k1k0存储单元数据不对换存储单元数据对换原位运算(In-place Computations)原位运算x0 x4x2x6x1x5x3x7A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)输入序列存储单元第一级输出第二级输入第二级输出第三级输入X10X11X20X21X30X31X40X41A(1)A(

6、2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)X50X51X52X53X60X61X62X63A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)X 0X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)第三级输出例：xk=1,2,3,4，利用基2-FFT算法流图计算13244 6-22 j10-2-2+2j-2-2jDFTxk=10, -2+2j,-2,-2-2j04W14Wx0 x3x1x2X3X1X2X0-1-1-1-1例：试利用N=4基2时间抽取的FFT流图计算8点序列xk=1, -1, 1, -1, 2, -1,

7、 1,-1的DFT。解： 根据基2时间抽取FFT算法原理，8点序列的DFT Xm可由两个4点序列的DFT X1m和X2m表达。如果按照序列xk序号的奇偶分解为x1k和 x2k，那么存在 其中 x1k=1, 1, 2, 1， x2k=-1, -1, -1,-1X1m和X2m可通过4点的FFT来计算。例：试利用N=4基2时间抽取的FFT流图计算8点序列xk=1, -1, 1, -1, 2, -1, 1,-1的DFT。解： x1k=1, 1, 2, 13-12051-1-1x10=1x12=2x11=1x13=1 X1m=5,- 1, 1,- 1例：试利用N=4基2时间抽取的FFT流图计算8点序列x

8、k=1, -1, 1, -1, 2, -1, 1,-1的DFT。 x2k=-1, -1, -1, -1 X2m=-4, 0,0,0 X1m=5,- 1, 1,- 1X0=5+(-4)=1X1= -1+0=-1X2= 1+0=1X3= -1+0=-1X4=5-(-4)=9X5=-1-0= -1X6=1-0= 1X7=-1-0= -1Xm= 1 -1 1 -1 9 -1 1 -1序列补零,序列插零的DFTx1k=1,2,3,4x2k=1,2,3,4,0,0,0,0 x3k=1,0,2,0,3,0,4,0DFTx1k=10, -2+2j, -2, -2-2jDFTx2k=10, -0.4142-7.

9、2426j, -2+2j, 2.4142-1.2426j, -2, 2.4142+1.2426j , -2-2j, -0.4142-7.2426jDFTx3k=10, -2+2j, -2, -2-2j, 10, -2+2j, -2, -2-2j基2时间抽取FFT算法的根本关系基3时间抽取FFT算法的根本关系基4时间抽取FFT算法的根本关系任意基时间抽取FFT算法基4时间抽取FFT算法1j-1-j基4时间抽取FFT算法推导基4时间抽取FFT算法推导基4时间抽取FFT算法流图算法的计算复杂度基2时间抽取FFT复乘次数：基4时间抽取FFT复乘次数：混合基时间抽取FFT算法 混合基时间抽取FFT算法推导