概率课件：1.4条件概率

1、第 四节 条件概率一、条件概率的定义及性质引例及概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A). 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.解：事件A已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 引例条件概率的定义: 设A，B是两事件，且P(A)0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.注1.条件概率P（|A）满足概率定义的三条公理，即1

2、）. 对于每一事件B，有P（B|A）0;2）. P（ |A）=13). 设B1，B2,两两不相容，则有概率的一切性质都适用于条件概率，例如：2计算 一般有两种方法： (1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A) （在原样本空间中求P(AB)、P(A)）(2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA （在缩小的样本空间中考虑） P（|A）=0 P（B|A）=1P（B|A） P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)P(B1B2|A)等例1 掷两颗均匀骰子,求在已知第一颗掷出6点条件下“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法(定义）1: 解法（缩小样本空间）2: 解:

3、 设A=第一颗掷出6点 B=掷出点数之和不小于10 应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算由条件概率的定义：即 若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (1)而 P(AB)=P(BA)若已知P(A), P(B|A)时, 可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故 P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)若 P(B)0,则P(BA)=P(B)P(A|B) 二、概率乘法公式 (1)和(2)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率当P(A1A2An-1)0时，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(A3| A1A2) P(An| A1A2An

4、-1)推广到多个事件的乘法公式:例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为P(B|A) .例3 乘法公式应用举例 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 若在罐中连续取球四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率. （波里亚罐子模型）b个白球, r个红球 解: 设Ai=第i次取出是白球, 则Ai=第i次取出是

5、红球， i=1,2,3,4于是 “连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球 ” 的概率应为P(A1A2A3A4)用乘法公式容易求出 当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.进一步，当 c=0 时，放回抽样；当 c=-1 时，不放回抽样。b个白球, r个红球P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)例4： 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.5张同样的卡片，只有一张上写“入场券”，其余

6、什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确吃亏吗？ 解：用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P( )4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.即则 表示“第i个人未抽到入场券”由于因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由乘法公式 计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/

7、5 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说， 样本空间的划分三、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率.三、全概率公式与贝叶斯公式样本空间的划分：设 为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一组事件，若 （1） BiBj=,ij , i , j =1,2,n;（2） B1B2Bn= ，则称B1，B2，,Bn为样本空间 的一个划分.例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间为 =1，2，3，4，5，6.E的一组事件A1=1,2,3,A2=4,5,A3=6是 的一个划分，而事件组B1=1，2，3，

8、B2=3，4，B3=5，6不是 的划分.设B1,B2,Bn是试验E的样本空间 的一个划分，且P(Bi)0，i =1,2,n. A是任一事件, 则 全概率公式:全概率公式的来由:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.它的实用意义在于: 某一事件A的发生有各种可能的原因(i=1,2,n),每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.B1B2B3B4B5B6B7B8A可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”.诸Bi是原因,A是结果例5 设一仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、两箱依次为甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲厂、乙厂、丙厂生产的该种

9、产品的次品率依次为1/10、1/15、1/20.从这十箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.（抽签问题） 解 设A=取得的是正品, B1=该件产品是甲厂生产的, B2=该件产品是乙厂生产的, B3=该件产品是丙厂生产的. 显然，B1B2B3= ，且B1、B2、B3互斥由已知得：P(B1)=5/10 P(B2)=3/10 P(B3)=2/10P(AB1)=9/10，P(AB2)=14/15，P(AB3)=19/20由全概率公式得 P(A) = = 0.92 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.贝

10、叶斯公式：设B1,B2,Bn是试验E的样本空间 的一个划分，且P(Bi)0，i =1,2,n, A是任一事件且P(A)0, 则 贝叶斯公式可以形象地看成为“由结果推原因”.例6: 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？后验概率 解: 设A“产品合格”， B“机器调整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，求P(B|A)，由贝叶斯公式先验概率 贝叶斯公式中P(Bi)和P(Bi |A

11、)分别称为原因的先验概率和后验概率.P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对事件Bi发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 贝叶斯公式在实际中可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.例7: 假定用甲胎蛋白法诊断肝癌，P(B|A)=0.99,P(B|A)=0.05，其中A表示“被检验者患有肝癌”, B 表示“被检验者试验反应为阳性”。据调查某地区居民的肝癌发病率P(A)=0.0004。现若由该地区某居民检验结果呈阳性，问他患肝癌的概率P(A|B

12、)是多少?解：思考：1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？2. 检出阳性是否一定患有癌症? 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(A1)=0.0004 患者阳性反应的概率是0.99，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(A1 B)= 0.00786 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.0004增加到0.00786,将近增加约20倍.思考1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？思考2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(A1B)= 0.00786 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有

13、癌症，这种可能性只有0.786% (平均来说，1000个人中大约只有8人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认. 思考3：条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同. 而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.思考4：条件概率P(A|B)与P(A)数值关系 条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大

14、小. 那么,是否一定有:或 P(A|B) P(A)?P(A|B) P(A)? 在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？这个问题留待下一节讨论.每100件产品为一批, 已知每批产品中次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件次品的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格. 求(1) 一批产品通过检验的概率(2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率例解 设一批产品中有 i 件次品为事件B

15、i , i = 0,1,4A 为一批产品通过检验则已知P( Bi )如表中所示，且由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与结果如下表所示 i 0 1 2 3 4 P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.11.0 0.9 0.809 0.727 0.6520.123 0.221 0.397 0.179 0.080为后验概率，它是得到了信息 A 发生, 再对导致 A 发生的原因发生的可能性大小重新加以修正i 较大时， P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因 本例中，i 较小时，信号收发问题 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概

16、率为，而输出为其他一字母的概率都是(1)/2.今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的.）应用背景 信号输入信道后，有可能由于硬件原因，使得输出的信号与原始信号有差异.此时可以根据已知的条件，求得出现误差的概率. 相关知识点1.条件概率2.全概率公式3.贝叶斯公式解题方法首先分别求出输入的是AAAA，BBBB，CCCC的条件下，输出为ABCA的条件概率，再利用全概率公式求出输出为ABCA的概率，最后利用贝叶斯公式求得答案.解题过程 设D表示“输出信号为ABCA”，B1、B2、B3分别表示“输入信号为AAAA，BBBB,CCCC”，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=pi, i=1, 2, 3.再设A发、A收分别表示发出、接收字母A的事件，其余类推，依题意有第一步： P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=，P (A收