4 传输线理论

1、第4章 传输线理论主要内容：均匀传输线方程理解传输线阻抗与状态参量掌握传输 线的状态分析掌握，重点阻抗匹配理解，掌握，重点Smith圆图掌握引言 微波传输的最明显特征是别树一帜的微波传输线，例如，双导线、同轴线、带线和微带等等。我们很容易提出一个问题：微波传输线为什么不采用50Hz市电明线呢? 在低频里面我们从来没有讨论过传输线的问题，为什么到了微波波段需要讨论？ 1、低频传输线(lead) 在低频中，电流几乎均匀地分布在导线内。电流和电荷可等效地集中在轴线上，波印廷矢量集中在导体内部传播，外部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和欧姆定律解决即可，无须用电磁理论。不管导线怎样弯曲，能流都

2、在导体内部和外表附近。2. 微波传输线guide line) 当频率升高出现的第一个问题是导体的集肤效应(Skin Effect) 。导体的电流、电荷和场都集中在导体外表,导线内部几乎无能量传输，而是通过导线间的空间传输guide line) 传输线有长线和短线之分。所谓长线是指传输线的几何长度与线上传输电磁波的波长比值(电长度)大于或接近1，反之称为短线。 当频率提高到微波波段时，这些分布效应不可忽略，所以微波传输线是一种分布参数电路。这导致传输线上的电压和电流是随时间和空间位置而变化的二元函数。 长线(Long Line)分布参数电路 考虑分布参数效应 短线(Short Line)集总参数

3、电路 忽略分布参数效应 微波传输线大致可分三种类型1TEM波2TE、TM波3外表波 一、 均匀传输线的两种分析方法1. 场分析法：麦克斯韦方程 + 边界条件 = 电场和磁场的表达式分析传输特性 逻辑上严格，但数学上比较复杂了解2. 等效电路法：传输线方程 + 边界条件 = 沿线等效电压、电流的表达式 分析传输特性。 “化场为路, 有足够的精度, 数学上较为简便,同时，不管是低频电路，或者微波，在工程应用中都十分关心能量的传输情况 本章采用 “化场为路的分析方法来分析均匀传输线的传输特性。 传输线方程及其分析 由均匀传输线组成的导波系统的等效电路图如图 所示。分布电阻R。定义为传输线单位长度上的

4、总电阻值，单位为/m。分布电导G。定义为传输线单位长度上的总电导值，单位为S/m。分布电感L。定义为传输线单位长度上的总电感值，单位为H/m。分布电容C。定义为传输线单位长度上的总电容值，单位为F/m。几个根本物理量 设在时刻t, 位置z处的电压和电流分别为u(z, t)和i(z, t), 而在位置z+dz处的电压和电流分别为u(z+dz, t)和i(z+dz, t)。 列两点间的电流差，电压差方程。 二、 传输线方程及其解 1、传输线方程 (1)应用基尔霍夫定律KVL，KCL可得(1),(2)两式联立, 可得(2)均匀传输线方程电报方程 对于时谐电压和电流, 可用复振幅表示为 u(z, t)

5、=ReU(z)e jt i(z, t)=ReI(z)e jt可得时谐传输线方程式中, Z=R+jL, Y=G+jC, 分别称为传输线单位长串联阻抗和单位长并联导纳。“广义欧姆定理 2. 均匀传输线方程的解微分方程的通解加边界条件 对传输线方程做二次微分，可得：令 =ZY=(R+jL)(G+jC), 那么上两式可写为这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。 电压的通解为式中, A1, A2为待定系数, 由边界条件确定。 利用传输线方程, 可得电流的通解为 其中，第一局部 u+(z, t)， i+(z, t) 表示由信号源向负载方向传播的行波，称之为入射波。第二局部 u-(z, t)， i-(z, t

6、) 表示由负载向信号源方向传播的行波，称之为反射波。 入射波和反射波沿线的瞬时分布图如图 由边界条件确定积分常数注意坐标轴的选取不同边界条件下的特解：1终端U2，I2-常用形式2始端U1，I13电源阻抗条件Eg，Zg，Zl本章选取负载端为坐标起点 (1)终端的电压U2和电流I2； 可见, 只要终端负载电压U2、 电流I2及传输线特性参数、Z0, 那么传输线上任意一点的电压和电流就可得到。 4.2. 传输线的根本特性参数一、自身特性参量 1) 特性阻抗Z0 将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的特性阻抗, 用Z0来表示, 其倒数称为特性导纳, 用Y0来表示。 由定义得 Z0= 特性阻抗的

7、一般表达式为Z0= 对于均匀无耗传输线, R=G=0, 传输线的特性阻抗为 Z0=当损耗很小, 即满足RL、 GC时，有 实际工程应用中选用传输线材质的时候，要用电阻率很小，所填充介质的绝缘性能很好才能到达这种要求。 对于直径为d、间距为D的平行双导线传输线, 其特性阻抗为 常用的平行双导线传输线的特性阻抗有250, 400和600三种。 对于内、外导体半径分别为a、b的无耗同轴线, 其特性阻抗为常用的同轴线的特性阻抗有50 有线电缆 和75网线两种。 2) 传播常数 传播常数是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中衰减和相移的参数。 对于无耗传输线,R=G=0, 则=0, = a ：衰减常数

8、，表示单位长度幅值的的衰减程度 ：相移常数，表示单位长度相位的变化对于低损耗传输线3相速度和相波长 一般：入射波的相速度为对于微波传输线 平行双线和同轴线： 为TEM波无色散波相波长定义为波在一个周期T内等相位面沿传输线移动的距离。即 1奈培NP分贝dB1分贝dB奈培NP4分贝和奈培功率dBm=0dBm=1mW功率dBW=30dBm = 0dBW二、 无耗均匀传输线阻抗与状态参量 当然我们不仅要描述上面这些传输线自身的特性参数，还要能描述传输线工作时候线上任意一点的状态参量，主要有：输入阻抗、反射系数、驻波比VSWR。 对于无耗均匀传输线，有a=0， r=j )，终端边界条件的情况下，其传输线

9、方程的解为1、输入阻抗 均匀无耗传输线 定义传输线上任意一点z处的输入电压和输入电流之比为该点的输入阻抗，记为Zin(z)ZL为负载阻抗 对给定的传输线和负载阻抗，线上各点的输入阻抗随至终端的距离l的不同而作周期(周期为)变化，且在一些特殊点上，有如下简单阻抗关系：1.传输线上距负载为半波长整数倍的各点的输入阻抗等于负载阻抗；2.距负载为四分之一波长奇数倍的各点的输入阻抗等于特性阻抗的 平方与负载阻抗的比值；3.当Z0为实数，ZL为复数负载时，四分之一波长的传输线具有变换阻 抗性质的作用。 在许多情况下，例如并联电路的阻抗计算，采用导纳比较方便 课堂练习：熟悉Zin公式证明： 传输线上任意相隔

10、 处的两点阻抗的乘积等于2、反射系数 距终端z处的反射波电压与入射波电压U(z)之比定义为该处的电压反射系数u(z)，即电流反射系数 终端反射系数 传输线上任一点反射系数与终端反射系数的关系 3 、输入阻抗与反射系数间的关系 一一对应将z=0代入上式，得负载阻抗与终端反射系数的关系 上述两式又可写成4、驻波比VSWR和行波系数 电压或电流驻波比定义为传输线上电压或电流的最大值与最小值之比，即 当传输线上入射波与反射波同相迭加时，合成波出现最大值；而反相迭加时出现最小值 行波系数K定义为传输线上电压或电流的最小值与最大值之比，故行波系数与驻波比互为倒数 驻波比与反射系数的关系式为 传输线上反射波

11、的大小，决定了整条传输线的工作状态，可用反射系数的模、驻波比和行波系数三个参量来描述。 反射系数模的变化范围为驻波比的变化范围为 行波系数的变化范围为 传输线的工作状态一般分为三种： (1)行波状态 匹配状态 (2)行驻波状态 (3)纯驻波状态 传输线上的状态由传输线的反射程度决定，我们对传输线的分析，根本思想是通过把它等效成一个网络来实现的，原因很简单：我们只对输入和 输出感兴趣，而表征一个信号出入与输出特征的重要指标就是它的功率。功率分有功功率和无功功率，瞬时功率= UZI*Z有功功率=1/2 ReUZI*Z ，主要由电阻产生，指电路上的损耗功率热能，机械能，光能无功功率=1/2 Im U

12、ZI*Z，由电感电容产生，用于电路内 电场与磁场的交换，并用来在电气设备中建立和维持磁场的电功率。5、传输功率 任意一点传输功率Pz： 任意一点的电压电流如下： 那么传输线上任一点z处的传输功率： P+和P-分别代表通过z处的入射波功率和反射波功率。 为了简便起见，工程中一般在电压波腹点(最大值点)或电压波谷点(最小值点)处计算传输功率，即 在不发生击穿情况下，传输线允许传输的最大功率称为传输线的功率容量 无耗传输线的工作状态分析 由上面的分析可知，不同的状态参量导致传输线不同的工作状态: 行波; 纯驻波; 行驻波。 1. 行波状态travelling wave)无反射 行波状态就是无反射的传

13、输状态,传输线上只存在一个由信源传向负载的单向行波，2=0, (z)=0， Zl=Z0, 也可称此时的负载为匹配负载。此状态下传输线上的电压和电流如下 设A1=|A1|ej0, 考虑到时间因子e jt, 那么传输线上电压、 电流瞬时表达式为注意方向此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为分析上面几式, 可得无耗传输线的行波状态特征: 沿线电压和电流振幅不变, 驻波比=1; 电压和电流在任意点上都同相; 线上的输入阻抗处处相等，且均等于特性阻抗2. 纯驻波状态standing wave 纯驻波状态就是全反射状态, 终端反射系数 分析： Z0为实数，要满足上式，负载阻抗必须为短路Zl=0、或开路Zl或

14、纯电抗Zl=jXl。 1Z1=0 2 =1，(z)=e j2z, 由此可得三个特殊的式子和结论 U(z)=j2A1sinz I(z)= cosz （1）设A1=|A1|e j0, 考虑到时间因子e jt, 则传输线上电压、 电流瞬时表达式为 u(z,t)=2|A1| sinz cos(t+0+ ） i(z,t)= cosz cos(t+0) （2）此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为 Zin(z)=jZ0tanz 3两者的最大值 分析以上三式可得 沿线各点电压和电流振幅按余弦变化, 电压和电流相位差 90, 功率为无功功率, 只能存储能量而不能传输能量。 在z=n/2(n=0, 1, 2, )

15、处为电压波谷点, 在z=(2n+1)/4 (n=0, 1, 2, )处为电压波腹点。 传输线上各点阻抗为纯电抗, 在电压波谷点处Zin=0, 相当于串联谐振, 在电压波腹点处|Zin|, 相当于并联谐振, 在0z/4内, Zin=jX相当于一个纯电感, 在/4z/2内, Zin= jX相当于一个纯电容，从终端起每隔/4阻抗性质就变换一次, 这种特性称为/4阻抗变换性。 同时，每过/2阻抗就重复一次，这种特性称为/2阻抗周期特性 终端短路线中的纯驻波状态 2开路Zl或纯电抗Zl=jXl 由上面的分析式3可知，终端开路和终端电抗状态都可以由外接一定长度的短路线来实现。终端开路等效为在终端加一长 /

16、4 的短路线。终端电感相当于在终端接一长小于/4 的短路线，终端电容相当于终端接一长度在 /4， /2的短路线。后两图分别给出了相应的等效图 实际上，现实生活中高频段也是很难出现真正意义上的开路jwc。开路将产生电容性终端效应，导致开路导体棒的电长度比实际长度长约5%，所以一般情况下都不用终端开路这种形式，而是采用延长的终端短路线来代替。无耗终端开路线的驻波特性 终端接电抗时驻波分布3. 行驻波状态最普遍状态 当微波传输线终端接任意复数阻抗负载时, 由信号源入射的电磁波功率一局部被终端负载吸收, 另一局部那么被反射, 因此传输线上既有行波又有纯驻波, 构成混合波状态, 故称之为行驻波状态。 传

17、输线上各点电压、 电流的时谐表达式为 设A1=|A1|ej0, 那么传输线上电压、 电流的模值为分析上式可 得: 当cos(0-2z)=1时, 电压幅度最大, 而电流幅度最小, 此处称为电压的波腹点, 对应位置为 相应该处的电压、 电流分别为 于是可得电压波腹点阻抗为纯电阻, 其值为 当cos(0-2z)=1时, 电压幅度最小, 而电流幅度最大, 此处称为电压的波谷点, 对应位置为相应的电压、 电流分别为该处的阻抗也为纯电阻, 其值为可见，电压波腹点和波谷点相距/4, 两点阻抗有如下关系: 并且，只有在电压波腹点和波谷点输入阻抗才可能为纯电阻。 实际上, 无耗传输线上距离为4的任意两点处阻抗的

18、乘积均等于传输线特性阻抗的平方, 这种特性称之为/4阻抗变换性。 利用等效的思想，终端开路和终端短路实际上相当于一个/4传输线两端的等效输入阻抗，设分别为Zo开路和Zs短路利用上边的变换特性，可得 在实际应用中，经常用这种方法来测量特性阻抗。 例题4.2 传输线状态分析掌握均匀无耗长线如下图，Z0=R1=R2=250。由终端表头指示得到终端电流最大值为1/10A，表头的内阻为0。分析思路：从负载端开始，逐级往前4.4 有耗传输线 传输线损耗：导体损耗，介质损耗，辐射损耗。损耗因子：a图4.13 有耗线上的入射波和反射波 4.4.1 有耗传输线的参数及电压、电流和阻抗分布 1. 有耗传输线的参数

19、此时： 为复数，具有色散效应 有耗传输线上任一点的电压电流：2. 有耗传输线的电压、电流和阻抗分布 有耗开路线沿线电压振幅、电流振幅和阻抗分布由于衰减因子a的存在，使得：电压波腹点和电流波谷点不重合反射系数的模值不是常数，是空间的函数靠近源端的输入阻抗几乎不变。 4.4.2 传输功率和效率1. 传输功率匹配条件下，反射系数为0；无损耗线，衰减因子为0. 2. 回波损耗回波损耗定义为入射波功率与反射波功率之比, 即3. 传输效率传输效率定义为负载吸收功率与传输线输入功率之比 史密斯阻抗圆图和导纳圆图 极坐标圆图，又称为史密斯(Smith)圆图。 应用最广，本节介绍Smith圆图的构造和应用。 、

20、阻抗圆图 阻抗圆图是由反射系数圆和阻抗圆组成 1. 等反射系数圆距离终端z处的反射系数为 上式说明，在复平面上反射系数模 的轨迹是以坐标原点为圆心、 为半径的圆，这个圆称为反射系数圆。由于反射系数的模与驻波比是一一对应的，故又称为等驻波系数圆。 线上移动的距离与转动的角度之间的关系为等反射系数模值由此可得反射系数的模值及其相角的曲线如下：等反射系数的相角要点: (电源外圈顺时钟)1： =1称为单位圆 2：圆图上转一圈2， 相当于 转过3：从负载向信号源外圈：z(向信源) 顺时针 从信号源向负载内圈： z(向负载) 逆时针 2. 归一化等电阻圆和等电抗圆由以上得阻抗圆图的函数表达式： 称为归一化

21、电阻， 称为归一化电抗。 归一化阻抗：归一化等电阻圆图归一化等电抗圆图归一化等电抗圆归一化等电阻圆 因为|1,那么任何归一化电阻r和归一化电抗x的值都被限制在反射系数为1的单位圆内。3. 阻抗圆图 将归一化电阻圆和归一化电抗圆绘制在同一张图上，即得到阻抗圆图。 在实际使用时候，需要记住6个关键特点：匹配点：坐标为0，0，此处对应于r=1、x=0、|=0、=1。短路点：坐标为1，0，此处对应于r=0、x=0、|=1、=、=180。开路点：坐标为1，0，此处对应于r=、x=、|=1、=、=0。1：圆图旋转周为/2，而非2：圆图上有三个特殊的点 3：圆图上有三条特殊的线 圆图上实轴是x=0的轨迹，其

22、中右半实轴为电压波腹点的轨迹，线上r的读数即为驻波比的读数； 左半实轴为电压波谷点的轨迹，线上r的读数即为行波系数的读数; 最外面的单位圆为r=0的纯电抗轨迹，反射系数的模值为1。4：圆图上有二个特殊的面. 实轴以上的上半平面0/4是感性阻抗的轨迹； 实轴以下的下半平面 /4 /2是容性阻抗的轨迹。5：圆图上有二个旋转方向。同一无耗传输线圆图上的点在等反射系数的圆上。点向电源方向移动时，在圆图上沿等反射系数圆顺时针旋转；点向负载方向移动时，在圆图上沿等反射系数圆逆时针旋转。6：圆图上任意点可以用：r、x、|、四个参量表示。其中，r和x为归一化值。 导纳是阻抗的倒数,故归一化导纳为 如果以单位圆

23、圆心为轴心，将复平面上的阻抗圆图旋转，即可得到导纳圆图。 因此，Smith圆图既可作为阻抗圆图也可作为导纳圆图使用。 、导纳圆图导纳圆图与阻抗圆图的区别：1短路点与开路点互换2波腹线与波节线互换3电感半圆与电容半圆互换4 与 关于匹配点对称5 的相位角加6相位角向信源为顺时针方向 向负载为反时针方向不变阻抗圆图与导纳圆图的关系Smith Chart+jx-jx+jb-jbInductiveCapacitiver =0g= r =g=0实例:书上及flashSMITH CHART软件 在微波传输系统，阻抗匹配极其重要，它关系到系统的传输效率、功率容量与工作稳定性，以及微波元器件的质量等一系列问题

24、。 同时也是微波测量常用方法。 如果信号源与传输线不匹配，不仅会影响信号源的频率和输出的稳定性，而且信号源不能给出最大功率。4.6.1 信号源与传输线的阻抗匹配 传输线的阻抗匹配1、 共轭匹配内阻为电抗 共轭匹配要求传输线输入阻抗与信号源内阻互为共轭值。如图信号源的内阻： 传输线始端输入阻抗： 则：即 信号源输出的最大功率为共轭匹配 指传输线两端阻抗与传输线的特性阻抗相等，线上无反射波存在，即工作于行波状态。 用来防止传输线的的来回反射造成线路故障。 无反射匹配包括负载阻抗匹配和源内阻匹配 。 信号源内阻也为实数， ，此时传输线的始端无反射波，这种信号源称为匹配信号源，用来保证入射功率的稳定。 当传输线终端所接的负载阻抗Zl=Z0时，那么传输线的终端无反射波，此时的负载称为匹配负载。，用来保证对传输线上功率的完全吸收。 当Rg=Z1=Z0时，整个线路上没有反射，但是这种匹配只能保证信号的稳定，对于传输线的效率没有保证，其传输效率只有50%，所以通常情况下对于信号源的稳定都不用信号源匹配的方式。 2、 信号源的阻抗匹配无反射匹配 、负载与传输线的阻抗匹配 阻抗匹配的方法就是在传输线与负载之间参加一阻抗匹配网络网络接入传输线时应尽可能靠近负载，且通过调节能对各种负载实现阻抗匹配。 其匹配原理是通过匹配网络