2022届广东省广州市增城区高三第一次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1的展开式中的系数为( )A30B40C40D502若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）A平均数为20，方差为4B平均数为11，方差为4C平均数

2、为21，方差为8D平均数为20，方差为83窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）ABCD4过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）ABCD5椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高

3、度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD6已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）A4BCD7若直线l不平行于平面，且l，则（ ）A内所有直线与l异面B内只存在有限条直线与l共面C内存在唯一的直线与l平行D内存在无数条直线与l相交8的展开式中的系数是-10，则实数( )A2B1C-1D-29设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）A3个B4个C5个D6个10如图，正方形网格纸中的

4、实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A2对B3对C4对D5对11已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD12若x（0，1），alnx，b，celnx，则a，b，c的大小关系为（）AbcaBcbaCabcDbac二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13双曲线的离心率为_14在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为_.15学校艺术节对同一类的，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“或作品获得一等奖”

5、； 乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_.16函数的定义域是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在中， .求边上的高.，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.18（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，的角平分线交于.（1）求证:平面平面；（2）求二面角的余弦值.19（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；（2）求的取值范围20（12分）已知动圆过

6、定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点（1）证明：点始终在直线上且；（2）求四边形的面积的最小值21（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，与相交于点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.22（10分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”()求从这18人中随机选取3人,至少

7、有1人是“很幸福”的概率；()以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.【详解】对二项式，其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令，可得的系数为；令，可得的系数为；故的展开式中的系数为.故选：C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.2D【解析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,

8、方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10，方差为2，所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.3D【解析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.4C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.为线段的中点，则为等腰三角形.由双曲线的的渐近线的性质可得，即.双曲线的离心率为故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的

9、三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)5C【解析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为，短轴长为6，所以椭圆离心率，所以.故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.6C【解析】根据表示圆和直线与圆

10、有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆，所以，解得，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，此时， 因为，在递增，所以的最大值.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7D【解析】通过条件判断直线l与平面相交，于是可以判断ABCD的正误.【详解】根据直线l不平行于平面，且l可知直线l与平面相交，于是ABC错误，故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.8C【解析】利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.【详解】二项式展开式的通项为，令，得，则

11、，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.9A【解析】试题分析：,所以，即集合中共有3个元素，故选A考点：集合的运算10C【解析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面，作POAD于O，则有PO平面ABCD，POCD，又ADCD，所以，CD平面PAD，所以平面平面，同理可证：平面平面，由三视图可知：POAOOD，所以，APPD，又APCD，所以，AP平面PCD，所以，平面平面，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对【点睛】本题考

12、查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题11A【解析】分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.【详解】由题意,若,显然不是恒大于零,故.,则在上恒成立;当时,等价于,因为,所以.设,由,显然在上单调递增,因为,所以等价于,即,则.设,则.令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,从而，故.故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.12A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【详解】x（0，1），alnx0

13、，b（）lnx（）01，0celnxe01，a，b，c的大小关系为bca故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。132【解析】 14【解析】先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.【详解】一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，其中“抽取的三张卡片编号之和

14、是偶数”包含6个基本事件，因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：.故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.15B【解析】首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件

15、并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确16【解析】解：因为，故定义域为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17详见解析【解析】选择，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再计算边上的高.选择，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求边上的高.选择，利用余弦定理列方程求出，再计算边上的高.【详解】选择，在中，由正弦定理得，即，解得；由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.选择，在中，由正弦定理得，又因为，所以，即；由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.选择，在中，由，得；由余弦定理得，

16、即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.【点睛】本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.18（1）见解析；（2）【解析】（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，又为的角平分线，四边形为正方形，又，又为的中点，又平面，平面，又平面，平面平面，（2）在中，在中，又，又，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，设平面

17、的一个法向量为，则，令，得,设平面的一个法向量为，则，令，得，由图示可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.19（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.【详解】（1）依题有，所以椭圆方程为设，由为的重心，；又因为，（2）当的斜率不存在时：，代入椭圆得，当的斜率存在时：设直线为，这里，由，根据韦达定理

18、有，故，代入椭圆方程有，又因为，综上，的范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.20（1）见解析（2）最小值为1【解析】（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线上，且.（2）设直线的倾斜角为，求得的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值【详解】(1)动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心到定点和定直线的距离相等，动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，轨迹的方程为：，设，直线的方程为：，即：，同理，直线的方程为：，由可得：， 直线方程为：，联立