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文档简介

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1定义,已知函数,则函数的最小值为( )ABCD2若,则( )ABCD3某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积

2、为( )A8BCD4复数(为虚数单位),则的共轭复数在复平面上对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5记递增数列的前项和为.若,且对中的任意两项与(),其和,或其积,或其商仍是该数列中的项,则( )ABCD6已知实数满足,则的最小值为( )ABCD7如图在直角坐标系中,过原点作曲线的切线,切点为,过点分别作、轴的垂线,垂足分别为、,在矩形中随机选取一点,则它在阴影部分的概率为( )ABCD8已知角的终边经过点P(),则sin()=ABCD9已知双曲线的渐近线方程为,且其右焦点为,则双曲线的方程为( )ABCD10已知双曲线的一条渐近线方程是,则双曲线的离心率为( )ABCD

3、11某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图柱状图: 则下列结论正确的是( ).A与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加B与2016年相比,2019年一本达线人数减少C与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.3倍D2016年与2019年艺体达线人数相同12已知点P不在直线l、m上,则“过点P可以作无数个平面,使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,

4、每小题5分,共20分。13若向量与向量垂直,则_.14如图,从一个边长为的正三角形纸片的三个角上,沿图中虚线剪出三个全等的四边形,余下部分再以虚线为折痕折起,恰好围成一个缺少上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底,则所得正三棱柱的体积为_.15从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是_(结果用最简分数表示)16某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12

5、分)在中, 角,的对边分别为, 其中, .(1)求角的值;(2)若,为边上的任意一点,求的最小值.18(12分)已知直线l的极坐标方程为,圆C的参数方程为(为参数)(1)请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程;(2)求直线l被圆截得的弦长19(12分)已知,证明:(1);(2).20(12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一:每满100元减20元;方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款7折8折9折原价(1)

6、该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?21(12分)已知为椭圆的左、右焦点,离心率为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)过的直线分别交椭圆于和,且,问是否存在常数,使得成等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.22(10分)设椭圆E:(a,b0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5

7、分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1A【解析】根据分段函数的定义得,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【详解】依题意得,则,(当且仅当,即时“”成立.此时,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.2D【解析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果【详解】,故选D【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,同角三角函数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型3D【解析】根据三视图还原几何体为四棱锥,即可求出几何体的

8、表面积【详解】由三视图知几何体是四棱锥,如图,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,所以,故选:【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体,棱锥表面积的计算,考查了学生的运算能力,属于中档题.4C【解析】由复数除法求出,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析:,对应点为,在第三象限故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,复数的几何意义掌握复数除法法则是解题关键5D【解析】由题意可得,从而得到,再由就可以得出其它各项的值,进而判断出的范围【详解】解:,或其积,或其商仍是该数列中的项,或者或者是该数列中的项,又数列是递增数列,只有是

9、该数列中的项,同理可以得到,也是该数列中的项,且有,或(舍,根据,同理易得,故选:D【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用,以及运算能力和推理能力,属于中档题6A【解析】所求的分母特征,利用变形构造,再等价变形,利用基本不等式求最值.【详解】解:因为满足,则,当且仅当时取等号,故选:【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.7A【解析】设所求切线的方程为,

10、联立,消去得出关于的方程,可得出,求出的值,进而求得切点的坐标,利用定积分求出阴影部分区域的面积,然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为,则,联立,消去得,由,解得,方程为,解得,则点,所以,阴影部分区域的面积为,矩形的面积为,因此,所求概率为.故选:A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型,同时也涉及了二次函数的切线方程的求解,考查计算能力,属于中等题.8A【解析】由题意可得三角函数的定义可知:,则:本题选择A选项.9B【解析】试题分析:由题意得,所以,所求双曲线方程为考点:双曲线方程.10D【解析】双曲线的渐近线方程是,所以,即 , ,即 ,故选D.1

11、1A【解析】设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,2016年高考不上线人数为,2019年不上线人数为,故A正确;2016年高考一本人数,2019年高考一本人数,故B错误;2019年二本达线人数,2016年二本达线人数,增加了倍,故C错误;2016年艺体达线人数,2019年艺体达线人数,故D错误.故选:A.【点睛】本题考查柱状图的应用,考查学生识图的能力,是一道较为简单的统计类的题目.12C【解析】根据直线和平面平行的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】点不在直线

12、、上,若直线、互相平行,则过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,即必要性成立,若过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,则直线、互相平行成立,反证法证明如下:若直线、互相不平行,则,异面或相交,则过点只能作一个平面同时和两条直线平行,则与条件矛盾,即充分性成立则“过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件,故选:【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。130【解析】直接根据向量垂直计算得到答案.【详解】向量与向量垂直,则,故.故答案为:.

13、【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数,意在考查学生的计算能力.141【解析】由题意得正三棱柱底面边长6,高为,由此能求出所得正三棱柱的体积【详解】如图,作,交于,由题意得正三棱柱底面边长,高为,所得正三棱柱的体积为:故答案为:1【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意翻折前后的不变量15【解析】依据古典概型的计算公式,分别求“任取两个数”和“任取两个数,和是质数”的事件数,计算即可。【详解】“任取两个数”的事件数为,“任取两个数,和是质数”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3个,所以任取两个数,

14、这两个数的和仍是质数的概率是。【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。1618【解析】根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.【详解】解:根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18,故答案为:18【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1);(2).【解析】(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式,化简即可得出结果;(2)在中, 由余弦定理得,在中结合正弦定理求

15、出,从而得出,即可得出的解析式,最后结合斜率的几何意义,即可求出的最小值.【详解】(1) ,由题知,则,则,;(2)在中, 由余弦定理得,设, 其中.在中,所以,所以的几何意义为两点连线斜率的相反数,数形结合可得,故的最小值为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用,还涉及二倍角正弦公式和诱导公式,考查计算能力.18(1)x2+y21(2)16【解析】(1)直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.(2)圆心到直线的距离为,故弦长为得到答案.【详解】(1),即,即,即.,故.(2)圆心到直线的距离为,故弦长为.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程,圆的弦长,意在考查学生的计算能力和

16、转化能力.19(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)先由基本不等式可得,而,即得证;(2)首先推导出,再利用,展开即可得证.【详解】证明:(1),(当且仅当时取等号).(2),.【点睛】本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,考查逻辑推理能力,属于中档题20(1)(2)选择方案二更为划算【解析】(1)计算顾客获得7折优惠的概率,获得8折优惠的概率,相加得到答案.(2)选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,计算概率得到数学期望,比较大小得到答案.【详解】(1)该顾客获得7折优惠的概率,该顾客获得8折优惠的概率,故该顾客获得7折或8折优惠的概率.(2

17、)若选择方案一,则付款金额为.若选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,则.因为,所以选择方案二更为划算.【点睛】本题考查了概率的计算,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.21(1);(2)存在,.【解析】(1)由条件建立关于的方程组,可求得,得出椭圆的方程;(2)当直线的斜率不存在时,可求得,求得,当直线的斜率存在且不为0时,设 联立直线与椭圆的方程,求出线段,再由得出线段,根据等差中项可求得,得出结论.【详解】(1)由条件得,所以椭圆的方程为:;(2), 当直线的斜率不存在时,此时,当直线的斜率存在且不为0时,设,联立 消元得, 设,直线的斜率为,同理可得 ,所以,综合,存在常数,使得成等差数列.【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题,当两直线的斜率具有关系时,可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长,属于中档题.22(1)(2)【解析】试题分析:(1)因为椭圆E:(a,b0)过M(2,),N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组

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