三角函数高考题与练习题集（含答案解析）

1、 PAGE12 / NUMPAGES12 三角函数高考题及练习题（含答案）1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数yAsin(x)的图象及性质2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，

2、如函数法、待定系数法、数形结合法等1. 函数y2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)1是最小正周期为_的_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇解析：ycoseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)sin2x.2. 函数f(x)lgxsinx的零点个数为_答案：3解析：在(0，)内作出函数ylgx、ysinx的图象，即可得到答案3. 函数y2sin(3x)，eq blc(rc)(avs4alco1(|f(,2)的一条对称轴为xeq f(,12)，则_答案：eq f(,4)解析：由已知可得3eq f(,12)keq f(,2)，kZ，即keq f(,4)，kZ

3、.因为|eq f(,2)，所以eq f(,4).4. 若f(x)2sinx(01)在区间eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)上的最大值是eq r(2)，则_答案：eq f(3,4)解析：由0 xeq f(,3)，得0 xeq f(,3)eq f(,3)，则f(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)上单调递增，且在这个区间上的最大值是eq r(2)，所以2sineq f(,3)eq r(2)，且0eq f(,3)0，0)的部分图象如图所示(1) 求f(0)的值；(2) 若00)，所得函数的图象关于直线xeq f(17,8)对称(1) 求m的最小值；(2) 证明

4、：当xeq blc(rc)(avs4alco1(f(17,8)，f(15,8)时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3) 设x1，x2(0，)，x1x2，且f(x1)f(x2)1，求x1x2的值(1) 解：f(x)sin2x2sinxcosx3cos2xeq f(1cos2x,2)sin2x3eq f(1cos2x,2)cos2xsin2x2eq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)2.因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m0)，得到g(x)eq r(2)eq blcrc(avs4alco1(2（xm）f(,4)2的图象，又g(x)

5、的图象关于直线xeq f(17,8)对称，所以2eq blc(rc)(avs4alco1(f(17,8)m)eq f(,4)k，即meq f(（2k9）,4)(kZ)因为m0，所以m的最小值为eq f(,4).(2) 证明：因为xeq blc(rc)(avs4alco1(f(17,8)，f(15,8)，所以42xeq f(,4)eq f(7,2)，所以f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(17,8)，f(15,8)上是减函数所以当x1、x2eq blc(rc)(avs4alco1(f(17,8)，f(15,8)，且x1f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1)和(x2，f

6、(x2)的直线的斜率keq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0.(1) 若yf(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(2,3)上单调递增，求的取值X围；(2) 令2，将函数yf(x)的图象向左平移eq f(,6)个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图象，区间a，b(a，bR且a0，根据题意有 eq blc(avs4alco1(f(,4)f(,2),f(2,3)f(,2)0eq f(3,4).(2) f(x)2sin2x，g(x)2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)12sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)

7、1，g(x)0sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)eq f(1,2)xkeq f(,3)或xkeq f(7,12)，kZ, 即g(x)的零点相邻间隔依次为eq f(,3)和eq f(2,3)，故若yg(x)在a，b上至少含有30个零点，则ba的最小值为14eq f(2,3)15eq f(,3)eq f(43,3). 已知函数f(x)eq r(3)sin(x)cos(x)(00)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为eq f(,2).(1) 求feq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)的值；(2) 将函数yf(x)的图象向右平移eq f(,6

8、)个单位后，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间解：(1) f(x)eq r(3)sin(x)cos(x)2eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)sin（x）f(1,2)cos（x）)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6).因为f(x)为偶函数，所以对xR，f(x)f(x)恒成立，因此sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)，即sinxcoseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)cosxsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6

9、)sinxcos(eq f(,6)cosxsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，整理得sinxcoseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)0.因为0，且xR，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)0.又0，故eq f(,6)eq f(,2).所以f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)2cosx.由题意得eq f(2,)2eq f(,2)，所以2，故f(x)2cos2x，因此feq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)2coseq f(,4)eq r(2).(2) 将f(x)的图象向右平移eq

10、f(,6)个单位后，得到feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象，所以g(x)feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)2coseq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)2coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3).当2k2xeq f(,3)2k(kZ)，即keq f(,6)xkeq f(2,3)(kZ)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(,6)，kf(2,3)(kZ)题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4 已知函数f(x)2

11、sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)eq r(3)cos2x1，xR.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)f(xt)的图象关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)对称，且t(0，)，求t的值；(3) 当xeq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,2)时，不等式|f(x)m|0，0，|)，在同一周期内，当xeq f(,12)时，f(x)取得最大值3；当xeq f(7,12)时，f(x)取得最小值3.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数f(x)的单调递减区间；(3) 若xeq blcrc(avs4alco1(

12、f(,3)，f(,6)时，函数h(x)2f(x)1m有两个零点，某数m的取值X围解：(1) 由题意，A3，T2eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,12)f(,12)，eq f(2,T)2.由2eq f(,12)eq f(,2)2k得eq f(,3)2k，kZ.又 ，eq f(,3)， f(x)3sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3).(2) 由eq f(,2)2k2xeq f(,3)eq f(3,2)2k，得eq f(,6)2k2xeq f(7,6)2k，即eq f(,12)kxeq f(7,12)k，kZ.函数f(x)的单调递减区间为eq blcrc(a

13、vs4alco1(f(,12)k，f(7,12)k)，kZ.(3) 由题意知，方程sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)eq f(m1,6)在eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,6)上有两个根 xeq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,6)， 2xeq f(,3)eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(2,3).eq f(m1,6)eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)，1)， m13eq r(3)，7)1. (2013某卷)设f(x)eq r(3)sin3xcos3x，若对任意实数x都有|f(x)|a

14、，则实数a的取值X围是_答案：a2解析：f(x)eq r(3)sin3xcos3x2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,6)，|f(x)|2，所以a2.2. (2013某卷)函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)在区间eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上的最小值是_答案：eq f(r(2),2)3. (2013全国卷)函数ycos(2x)(0，0)若f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,2)上具有单调性，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)feq blc(rc)(av

15、s4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，则f(x)的最小正周期为_答案：解析：由f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,2)上具有单调性，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)知，函数f(x)的对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，0)，函数f(x)的对称轴为直线xeq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)f(2,3)eq f(7,12)，设函数f(x)的最小正周期为T，所以eq f(1,2)Teq

16、 f(,2)eq f(,6)，即Teq f(2,3)，所以eq f(7,12)eq f(,3)eq f(T,4)，解得T.5. (2014某卷)已知函数f(x)cosx(sinxcosx)eq f(1,2).(1) 若0eq f(,2)，且sineq f(r(2),2)，求f()的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解：(解法1)(1) 因为0eq f(,2)，sineq f(r(2),2)，所以coseq f(r(2),2).所以f()eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)f(r(2),2)eq f(1,2)eq f(1,2).

17、(2) 因为f(x)sinxcosxcos2xeq f(1,2)eq f(1,2)sin2xeq f(1cos2x,2)eq f(1,2)eq f(1,2)sin2xeq f(1,2)cos2xeq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)，所以Teq f(2,2).由2keq f(,2)2xeq f(,4)2keq f(,2)，kZ，得keq f(3,8)xkeq f(,8)，kZ.所以f(x)的单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(3,8)，kf(,8)，kZ.(解法2)f(x)sinxcosxcos2xeq f(1,2)eq f

18、(1,2)sin2xeq f(1cos2x,2)eq f(1,2)eq f(1,2)sin2xeq f(1,2)cos2xeq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4).(1) 因为00，函数f(x)asinxcosxsinxcosx，xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)的最大值为G(A)(1) 设tsinxcosx，xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，求t的取值X围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；(2) 求G(A)解：(1) tsinxcosxeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf

19、(,4). xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)， xeq f(,4)eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(3,4)，eq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)1， 1teq r(2)，即t的取值X围为1，eq r(2)(3分)(另解： xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)， tsinxcosxeq r(1sin2x).由2x0，得0sin2x1， 1teq r(2) tsinxcosx， sinxcosxeq f(t21,2)，(5分) m(t)aeq f(t21,2)teq f(1,2)at2te

20、q f(1,2)a，t1，eq r(2)，a0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得：当eq f(1,a)2(eq r(2)1)时，G(A)m(eq r(2)eq f(1,2)aeq r(2)； (10分)当eq f(1,a)eq f(1r(2),2)，即02（r(2)1），,r(2)，0a2（r(2)1）.)(14分)1. 若eq f(,4)xeq f(,2)，则函数ytan2xtan3x的最大值为_答案：8解析：令tanxt(1，)，yeq f(2t4,1t2)，y(t)eq f(4t3（tr(2)）（tr(2)）,（1t2）2)，得teq r(2)时y取最大值8.2. 已知函数f(x

21、)2cos2xsin2x，求：(1) feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)的值；(2) f(x)的最大值和最小值解：(1) feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2coseq f(2,3)sin2eq f(,3)1eq f(3,4)eq f(1,4).(2) f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xR.因为cosx1，1，所以当cosx1时，f(x)取最大值2；当cosx0时，f(x)取最小值1.3. 已知A为ABC的内角，求ycos2Acos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)的取值X围解： ycos2Acos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)eq f(1cos2A,2)eq f(1cos2blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A),2)1eq f(cos2A,2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(cosf(4,3)cos2Asinf(4,3)sin2A)1eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cos2Af(r(3),2)sin2A)1eq f(1,2)coseq blc(rc)(avs4a