条件选择型数列问题-2021高考数学冲刺(含详细解析)

1、专题十四：条件选择型数列问题（解析版）1已知等差数列的前项和为（1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列的通项公式； 注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分.（2）在（1）的条件下，令，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）选择条件，对应的基本量如下：由，即由，即由，即解得，所以.（2）.因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以.2给定三个条件：，成等比数列，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，_.（1）求数列的通项；（2）若，数列的前项和，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，

2、按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）证明见解析.【详解】解：（1）设等差数列的公差为.选条件：，成等比数列，解得，故数列的通项.选条件：，解得，故数列的通项.选条件：，解得，故数列的通项.（2），.3，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.问题：等差数列前n项和为，若_，是否存在，使得且？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【详解】解：若存在，使得且，则，.设等差数列首项为，公差为.若选择条件：由，得，解得.所以.令，得，所以当时，满足，所以k=5满足题意.若选择条件：由，得，解得.所以.由

3、，得.所以当时，满足，.所以k=5满足题意.若选择条件：由，得，解得.所以.易知恒成立，所以不存在满足条件的.4条件：设数列的前项之和为，且条件：对，有（为常数），并且成等差数列在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答在数列中，_（1）求数列的通项公式；（2）记，求的值注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分【答案】（1）条件性选择见解析，；（2）【详解】选条件，由得 当时， 又 数列的通项公式为 选条件，（1）知数列是公比为的等比数列， 且由已知可得：即: 解得（舍去） （2） （或）5从下列选项中，选择其中一个作为条件进行解答：已知数列的前n项和；已知数列是等比数列，；

4、已知数列中，且对任意的正整数m，n都有（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前2021项的和【答案】（1）条件选择见解析；（2）.【详解】（1）若选，当时，,当时，显然当时，也适合，所以.若选，设等比数列的公比为，因为，所以有，解得，.若选，令，是以为首项，公比为的等比数列，因此；（2）由题意知，.6从，为等差数列且，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列，满足，且_.（1）证明：数列为等比数列；（2）若表示数列在区间内的项数，求数列的前项的和.【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）选择，因为，当时，当时，时也成立，故，所以，所以数列是

5、以2为首项，2为公比的等比数列.若选择，设数列公差为，由题意 得得，所以，所以.所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件，则，所以对应的区间为，则；对应的区间为，则；对应的区间为，则；对应的区间为，则；所以.若选择条件，则，所以对应的区间为，则；对应的区间为，则；对应的区间为，则；对应的区间为，则；所以.7在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答问题：已知等差数列的前项和为，_，若数列满足，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案见解析.【详解】解：（1）选择，设公差为由，得，所以，解得，所以，又因为，所以，所以数列是以4为首项，

6、4为公比的等比数列，所以（2）选择，设公差为因为，所以可得又因为，所以，所以，所以又因为，所以，所以数列是以16为首项，2为公比的等比数列，所以（3）选择，设公差为因为，可得，即，所以，又因为，所以所以又因为，所以，8在，中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题已知公差不为0的等差数列，且 （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】条件性选择见解析，（1）；（2）.【详解】（1）选因为是等差数列，且，所以，解得，所以.选因为是等差数列，且，所以，解得，所以.选因为是等差数列，且，所以，解得，所以.（2）由（1）知9在数列中，,.（1）求的通项公式；（2）在下列两个问题中任选一个作

7、答，如果两个都作答，则按第一个解答计分.设，数列的前n项和为，证明：.设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）选，证明见解析；选，【详解】（1）因为，且，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，所以.（2）选因为，且，所以，因此，即.选因为，所以，则，则，故.10已知数列的前项和为.（1）请从，这两个条件中任选一个，证明数列是等比数列；（2）数列为等差数列，记，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析【详解】（1）证明：方案一：选条件当时， ，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，即，数列是以9为首项，3为公比的等比数列，方案二：选条件当时，当时，数列是以为首项，为公

8、比的等比数列.（2）解：由题意，设等差数列的公差为，则，方案一：选条件由（1），可得，则，两式相减，可得，；方案二：选条件由（1），可得，则，当为偶数时，当为奇数时，.11在，是公差为1的等差数列，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在公差不为0的等差数列中，为数列的前n项和，已知，_.设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【详解】选择条件：因为，所以，上面两式相减得，所以（）.在中，令，得，所以，从而，所以.选择条件：因为是公差为1的等差数列，于是.当时，.当时，所以.选择条件：因为，所以，整理得.

9、因为，所以，从而数列的通项公式为.因为，所以，解得，所以使成立的最小正整数的值为412在，这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答相应问题：已知数列满足，且（1）证明：数列为等比数列（2）若_，是否存在等比数列的前项和为？若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析【详解】解:（1）证明：由，得，因为，所以，所以，所以数列是以3为公比的等比数列（2）选择条件：由（1）可知所以，得，所以，若数列的前项和为，则，显然，不是等比数列，故不存在符合条件的数列选择条件：由（1）可知，所以解得，所以若数

10、列的前项和为，则，显然，不是等比数列，故不存在符合条件的数列选择条件：由（1）可知，由解得，所以若数列的前项和为，则当时，而也符合上式，所以是等比数列，13在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.已知数列为正项递增等比数列，其前项和为，为等差数列，且，_，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】【详解】设公比为，公差为，则：，若选，若选，若选，所以，解得或（舍），所以，.14在，成等比数列，这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_（1）求；（2）若，且，求数列的前项和注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分【答案】选择见解析；（1）；（2）【详解】解：（1）选择条件由，得，即，由，成等比数列，得，即，即，解得，因此选择条件由，得，即；由，得，即；解得，因此选择条件由，成等比数列，得，即，由，得，即，解得，因此（2）由，可得，当时，即，则，当时，符合，所以当时，则，因此31在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知数列的前项和为，若，且满