微积分教学中的思维培养

1、微积分教学中的思维培养微积分教学中的思维培养高等数学教论文联盟.Ll.学注重培养学生的学习才能，其中思维才能至关重要.思维才能是指通过分析、综合、概括、抽象、比较、详细化和系统化等一系列过程，对感性材料进展加工并转化为理性认识及解决问题的才能.毋庸置疑，学生的学习活动离不开思维，思维才能是学习才能的核心.微积分是高等数学中的重要教学内容,我结合教学理论，就微积分对学生思维才能的培养谈几点粗浅认识.一、培养创新思维才能培养学生的创新思维，首先要引导学生有创新意识.创新意识是人意识活动中的一种积极的、富有成果性的表现形式，是人们进展创造活动的出发点和内在动力，是创造性思维和创造力的前提.为此应积极

2、提供给学生独立考虑的时机，让他们对所学知识进展综合分析挑选，大胆提出自己的想法，从而到达思维的创新变通和打破.比方求不定积分?蘩xdx，按照常规思维看到大部分学生会想到首先设x+1=t，求出dx=2tdt,从而去掉根号将原式转化为2?蘩(t-1)tdt,最后根据根本公式求出不定积分.那么假设不去呢？让学生自己大胆考虑另辟蹊径.经过一番自我思索、互相讨论、积极尝试，他们找到了新方法：先进展恒等变形，然后利用凑微分法详细如下：?蘩(x+1-1)dx=?蘩(x+1)dx-?蘩dx=?蘩(x+1)d(x+1)-?蘩d(x+1)=(x+1)-(x+1)+再比方：求不定积分?蘩dx，根据被积函数的形式先分

3、析出第一步要恒等变形，抛砖以后把引玉的工作交给学生，及时调动他们的学习主动性、积极性和创始性，果然收效甚好，得出了两种不同的解法：方法一：?蘩dx=?蘩dx=?蘩dx=?蘩dx=?蘩(+)dx=?蘩sxdx+?蘩dsinx=-tx-(sinx)+方法二：?蘩dx=?蘩dx=?蘩sdx=-t+两种不同的求法，既让学生复习稳固了有关三角函数关系式，又及时开拓了他们的思维.二、培养逆向思维才能逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来考虑的一种思维方式.敢于反其道而思之，让思维向对立面的方向开展，从问题的相反面深化地进展探究，树立新思想，创立新形象.数学教学中通常是从推到结

4、论的思维方式，其实，对于某些问题，假设正向思维有时会有较大的运算量，有时甚至无法解决，这种情况下就要积极换一个角度看问题，从而使问题简单化.例1：从半径为r的圆形铁片上截去一扇形，并将剩下的部分做成一个漏斗，问截下扇形的圆心角?准为何值时，漏斗的容积最大.假设正向思维要求漏斗容积最大，首先要表示出漏斗容积的表达式V=rh其中r为漏斗底面半径，h为漏斗的高，根据题义及圆锥的有关知识得V=(2-?准)式此表达式比较复杂，必定导致求导过程的烦琐.假设反过来考虑，问题就转化为求剪剩下的扇形围成漏斗的容积最小的问题，其体积表达式如下V=()式很明显式比式要简单，容易求导准确地求出?准值.利用逆向思维不仅

5、可以简化计算，而且可以培养学生活学活用知识的才能.例2：?蘩f(x)sinxdx=0，f()=-f(0),求证：?蘩f(x)sinxdx=0.通过分析，此题主要考察的是定积分的分部积分法.方法一：从条件出发?蘩f(x)sinxdx=f(x)sinx|-?蘩f(x)sxdx=-?蘩f(x)sxdx=-f(x)sx|-?蘩f(x)sinxdx=f()+f(0)-?蘩f(x)sinxdx根据条件?蘩f(x)sinxdx=0，f()=-f(0)得?蘩f(x)sinxdx=0.方法二：从结果出发?蘩f(x)sinxdx=-f(x)sx|+?蘩f(x)sxdx=f()+f(0)+f(x)sinx|-?蘩f

6、(x)sinxdx=-?蘩f(x)sinxdx=0可见正逆运算殊途同归，但思维方式不同.不同的解法使学生进一步理解掌握了分部积分法.三、培养逻辑思维才能论文联盟.Ll.逻辑思维才能是学好数学必须具备的才能，是指正确、合理考虑的才能，即对事物进展观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的才能.逻辑思维是一种有条件，有步骤渐进式的思维方式，最终到达解决问题的目的.例：f(x)=lnx-?蘩f(x)dx,求证：?蘩f(x)dx=.学生一看题目似乎无从入手，怎么办？先问学生引导性的问题：直接由原式能否得出结论？结论中定积分的值可能从哪儿来？经过考虑分析推理学生意识到要想得出，只利用原式中的?蘩f

7、(x)dx是不可能的，必须经过运算，即两边同时求定积分再出现一个新的?蘩f(x)dx，于是鼓励学生大胆做下去得到式：?蘩f(x)dx=?蘩lnxdx-?蘩?蘩f(x)dxdx=1-?蘩?蘩f(x)dxdx式但式中的?蘩?蘩f(x)dxdx又怎么处理？双重积分还没有学，那么能否将定积分?蘩f(x)dx提出来呢？学生都知道假设是常数就可以提出来，那么?蘩f(x)dx是不是常数呢？反响快的同学马上意识到?蘩f(x)dx确实是一个数，因为根据定积分的几何意义可知，定积分表示的是一个平面图形的面积，至此学生豁然开朗，通过一步一步推理推导，最后得出结论：?蘩f(x)dx=1-?蘩f(x)dx?蘩dx=1-

8、(e-1)?蘩f(x)dx即?蘩f(x)dx=1-(e-1)?蘩f(x)dx最后移项得e?蘩f(x)dx=1得?蘩f(x)dx=逻辑思维是对知识的综合考虑和挑选，可帮助学生进步分析问题、解决问题的才能.四、培养应用思维才能微积分从实际应用中产生并开展，最终也要运用于解决实际问题.老师不仅要教会学生数学理论计算，更要让学生学会应用于实际，最终到达学以致用的目的.微积分是解决一些几何和物理问题的重要工具.为了培养学生的实际应用思维，首先要让他们理解一些数学概念的实际意义，比方：函数y=f(x)的求导实际上是y随x的变化率问题，所以物理中s=s(t)位移对时间求导是路程随时间的变化率问题即：v(t)=s(t)，同理加速度a(t)=v(t)=s(t)，这样就赋予了函数一阶导数和二阶导数实际意义.求导的逆过程是求积分，所以加速度或速度的表达式求位移表达式，就是以t为积分变量以a(t)或v(t)速为被积函数求积分.遇到如下题目学生也就容易理解并应用了.例：某质点做直线变速运动，其加速度为t+1，且在初始时刻的速度v=1，位移s=0，求质点的运动方程.解：v=?蘩a(t)dt=?蘩(t+1)dt=t+t+又t=0时v=1，得=1,v=t+t+1