概率论与数理统计随机变量及其分布

1、第2章 随机变量及其分布问题一：为什么引入随机变量?问题二：随机事件与随机变量的区别是什么？问题三：随机变量的一些例子？1 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念。 引入随机变量后我们就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其规律的研究。问题一：为什么引入随机变量？2问题二：随机事件与随机变量的联系与区别是什么？随机试验中可能发生也可能不发生的事情为随机事件，比如，对1、2、3的数集抽取，A是抽中1，B是抽中

2、2，C是抽中3，那么A、B、C就是随机事件。随机变量是定义在样本空间上的变量，比如我们设抽中的是X，那么X可能是1，也可能是2，或是3。X完整的描述了该样本空间，即X可能值的全部是样本空间。随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。3问题三 随机变量的一些例子在随机试验中，试验结果很多本身就由数量表示（1）每天进入教室的人数X（2）某个时间段吃饭排队的人数X（3）电灯泡使用的寿命T而在另一些随机试验中，比如检查一个产品是否合格，此时样本空间S=合格品，不合格品，若用1对应合格品，-1对应不合格品，这样就都有唯一确定的实数与之对应。41.随机变量的引入从上面的例子可以看

3、出随机试验的结果都可用一个实数来表示，这个数随着试验的结果不同而变化，它是样本点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量。52 随机变量的定义随机变量：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S上的实值函数X=X( )为随机变量。随机变量的表示：常用大写字母X,Y,Z或希腊字母 等表示随机变量所取的值，一般采用小写字母x,y,z 62 随机变量的定义注意：(1)随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数)。 (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验

4、的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.72 随机变量的定义讲课本例1，例2练习题:(1)在有两个孩子的家庭中,考虑其性别 , 共有 4 个样本点:若用X表示该家女孩的个数时，则应该怎么表示？82 随机变量的定义(2)设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,用随机变量 X(e) 的所有可能取值是什么？（3）设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,用随机变量 X(e) 的所有可能取值是什么？（4）某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 用随

5、机变量X(e) 的所有可能取值是什么？92.2 离散型随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。连续型随机变量：假如一个随机变量X的可能取值充满数轴上的一个区间（a,b）,则称X为一个连续型随机变量。例（1）投掷一颗骰子点数X的可能取值只有1，2，3，4，5，6，则X是什么型的随机变量？（2）电灯泡的使用寿命T，可能取值T0,所以T是一个什么型的随机变量？102.2 离散型随机变量及其概率分布2.概率分布定义1 设离散型随机变量X的可能取值为 ， 称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。X的概率分布常用表格

6、的形式来表示。讲课本例1练习题：设离散随机变量X的分布列为X -1 2 3 0.25 0.5 0.25试求P(X0.5),P(-1X2.5)112.2 离散型随机变量及其概率分布分布律的说明：当已知一个离散型随机变量X的概率分布时，而且X所成的任何事件的概率都能够求出来，122.2 离散型随机变量及其概率分布3 常用离散分布两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为则称X服从 处参数为p的两点分布。对于一个随机试验E，它只有两种可能的结果A和 ，即A要么发生，要么不发生，则这种试验E总可以用（01）分布来描述，这种试验在实际中很普遍例如，抛掷硬币试验,A = “出现正

7、面”， “出现反面”；在射击试验中， A=“命中目标”, “未命中目标”;它们都可用（01）分布来描述（01）分布是实际中经常用到的一种分布132.2 离散型随机变量及其概率分布二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为Xb(n,p)(或B(n,p).注：当n=1时，随机变量X即服从0-1分布在实际中，把概率很小（一般要求在0.05以下）的事件称为小概率事件由于小概率事件在一次试验中发生的可能性很小，因此，在一次试验中，小概率事件实际上是不应该发生的. 这条原则我们称它为实际推断原理需要注意的是,实际推断原理是指在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生的

8、，当试验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎是必然的。如何证明以上这个结论是正确的呢？142.2 离散型随机变量及其概率分布二项分布在经济管理方面的应用：在实际问题中，很多商品的销售量都是服从二项分布的。因为每件商品都只有售出和库存两种状态，而每件商品售出的概率在一段时间内是基本固定，因此商品的进货量即为二项分布中的参数n，参数p的值可利用数理统计方法进行估计，估计公式为p /n。 为所出售的商品的件数。在不增加成本的前提下, 追求利润的最大化是迫切需要解决的问题。其实在有些情况下, 产品可靠性数据可按二项分布加以分析, 我们只需作出小小的调整,就能收到良好的效果。152.2 离散型随机

9、变量及其概率分布二项分布的图形特点：（1）当（n+1）p不为整数时，二项概率PX=k在k=(n+1)p时达到最大值（2）当（n+1）p为整数时，二项概率PX=k在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值讲课本例3和例4注意二项分布b(n,p)和两点分布的关系162.2 离散型随机变量及其概率分布在实际中，我们经常要计算n次独立重复的贝努利试验中恰好k次成功的概率 ，至少有次成功的概率为 等，当n很大时，要计算出它们的确切数值很不容易,那我们应该怎么做呢?172.2 离散型随机变量及其概率分布泊松分布：若一个随机变量X的概率分布为则称X服从参数为 的泊松分布，记为XP( )泊松流:若随

10、机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松流。对泊松流，在任意时间间隔（0，t）内，事件发生的次数服从参数为 的泊松分布。 称为泊松流的强度。182.2 离散型随机变量及其概率分布在实际中，许多随机现象都可用泊松分布来描述例如,一批产品的废品数；一本书中某一页上印刷错误的个数；某汽车站单位时间内前来候车的人数；某段时间内，某种放射性物质中发射出的粒子数等等，均可用泊松分布来描述.泊松分布是概率论中的又一个重要分布，在随机过程中也有重要应用。192.2 离散型随机变量及其概率分布在经济管理决策中，利用泊松分布可以合理安排工作岗位。 例如某车间有90台相同的机器，每台机器需要维修的概

11、率均为0.01，在同一时间每人只能维修一台机器，在岗位设置中，不同的设置的方法使得机器出现故障而等待维修的概率是不同的。如果三个人明确分工，每人负责30台，此时=0.3，机器需要维修的概率为PX1=0.0369；若三个人共同负责90台，此时=0.9，机器需要维修的概率为PX3=0.0135；通过概率的对比可知，共同协作比各自为政的维修效率有所提高。讲课本例5202.2 离散型随机变量及其概率分布当试验次数n很大时，对二项分布b(n,p)的概率计算起来不方便，此时须寻求某种近似计算方法，其中一种就是二项分布的泊松近似。定理1（泊松定理）：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验的次数n有关)，如果 时， （ 为常数），则对任意给定的k,有 b(k,n, pn)=讲课本例6，例7 212.3 随机变量的分布函数1.随机变量的分布函数定义1 设X是一个随机变量，称F(x)=PXx 为X的分布函数。有时记作XF（x）这个概率具有什么特点呢?具有累积性这个概率与x有关，不同的x此累积概率的值也不同。注：X是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)的值就表示X落在区间 的概率。222.3 随机变量的分布函数对 ，随机点落在区间 的概率