复变函数与积分变换：第一、二章习题

1、1第一、二章习题五、函数解析性相关性质六、初等函数一、复数的计算二、由方程(不等式)判断对应图形的性质三、复变函数极限和连续判别四、映射的像2复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法代数表示法 三角表示法指数表示法复球面复平面扩充曲线与区域判别定理C-R条件可导与解析初等函数3一、复数的计算1. i 的特点0时，的值等于（ ）当几何上的 i ：模为1辐角主值为向量运算时 ：和1无区别42. 模相关问题3. 辐角及主值注意二者区别6（A） （C）（B）那么 （ ）设复数 满足 ， , （D）A的辐角和辐角主值.74. 商的运算（代数）分子分母同乘分母共轭或三角形式已知 则85. 几种形

2、式的转化例1将复数化为三角形式.解三角形式为(辐角用主值)三角形式乘积和商两复数相乘等于模相乘，辐角相加。几何意义两复数相除等于模相除，辐角相减。9例2将复数化为三角形式，并求解因为所以k = 0, 1, 25. 幂和方根的计算：10二、由方程(不等式)判断对应图形的性质直线方程:圆方程:1. 曲线之方程2. 常见平面点集概念区域、单连通域、多连通域、有界、无界11例3 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?解(a)无界多连通域.Oxy1(令z = x + iy, 复实复)3.方程之曲线12(b)Oxy-ii1/2(c)Oxy-1-i无界单连通域.13三、复变函

3、数极限和连续判别1. 复变函数极限和连续可通过对应两个二元实函数的极限和连续性来判别练习: 设, 指出它在哪些点处不连续，并说明原因.除外连续. 14例设 ，试讨论下列函数的连续性：解因为2.判断极限不存在让z沿不同路径趋近于015所以f (z) 在z0 处连续.z0 = 0时，在复平面除去原点外连续，在原点处所以不连续.16例5 函数 将 平面上的下列曲线变成 平面上的什么曲线？四、映射的像解又于是表示 平面上的圆.(1)（将映射对应二元函数与已知条件结合）17解表示 平面上以 为圆心， 为半径的圆.18练习：答案：五、 函数解析性相关性质1 函数解析、可导的判别20练习:2121例6 函数

4、 在何处可导，何处解析.解故 仅在直线 上可导.故 在复平面上处处不解析.222、f (z)取常值的等价条件23例7证明: 已知 f (z) 在 D 内解析，如果在 D 内证分两种情况讨论(1) u = 0时,所以u, v 均为常数, 故f (z)为常数.arg f (z) = 常数, 则 f (z) 取常值.24因为arg z 在D内是一个常数,所以两边同时取关于x, y的偏导数得由此可知或者u = v = 0,从而f (z)为一常数.(2)时,25或者又f (z)在 D 内解析, 所以满足柯西 黎曼方程:由上面两式得26所以u, v 均为常数, 故 f (z) 为常数.练习1.如果在单位圆

5、内处处为零，且，那么在内( )（D）任意常数（A） 0 （B） 1（C） 1C27正确的是( )2设函数在区域内有定义，则下列命题中，则 (A) 若在 D内是一常数，在 D内是一常数 (B) 若在 D内是一常数，在 D内是一常数(C) 若在 D内是一常数，在 D内是一常数（D）在 D内是一常数若f (z)与在 D内解析，则3设在区域 D 内是解析的，如果是实常数，那么f (z)在 D 内( )D 为常函数283 解析函数的导数练习2. 设则方程的所有根为3. 设则方程的所有根为 1.设，则=)1(f29六、初等函数1 与实初等函数不同的性质 (1). 指数函数具有周期性(2). 负数无对数的结论不再成立(3). 三角正弦与余弦不再具有有界性30例8 下列命题中，正确的是( )（A）设为实数，则（B）若是函数的奇点,则在点不可导（C）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析（D）若在区域内解析,则在内也解析D31设为任意实数，则( )（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于1（D）是复数，其模等于1D32例9 解方程解2. 初等函数的计算33例10 求出 的值.解34解例11 试求 函数值及其主值:令 得主值:35例12 试求