材料力学II课件：14第十三章 能量法2

1、Page1上一讲回顾外力功与外力余功应变能与余能弹性体的余能Vc数值上等于余功：克罗第恩格塞定理:卡氏第一定理：卡氏第二定理：Page2解题技巧：附加载荷法q0(a)注意事项：同名载荷法区分(b)Page313-4 变形体虚功原理一、 回顾刚体虚功原理处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。Page41. 几个概念Plq(x)TFq(x)FSFNMT二、 变形体的虚功原理（1）可能内力：与外力保持平衡的内力称为静力可能内力或简称为可能内力。 杆的可能内力用FN ,T, FS与M表示。Page5满足变形连续条件与位移边界条件的任意微小位移，称为几何可能

2、位移或虚位移，相应之变形称为可能变形或虚变形。（2). 虚位移与虚变形杆微段的虚变形用d *,d*与d*表示。Page6（3） 内虚功与外虚功 内虚功作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功外虚功外力在可能位移上所作之总虚功Page72. 变形体虚功原理外力在虚位移上所作外虚功 We，等于可能内力在虚变形上所作内虚功 Wi，即 We WiPage8 变形体虚功原理适用于线性弹性体，非线性弹性体与非弹性体。3. 应用变形体虚功原理的应用条件与应用范围： 所研究的力系（外力与内力）必须满足平衡条件与静力边界条件。 所选择的位移应是微小的，且满足变形连续条件与位移边界条件。Page94. 验证

3、虚功原理q(x)lAxdx外力虚功：内力虚功：虚位移以图示梁为例验证：We=Wi证明：可能内力满足：（平衡条件）（静力边界条件）虚位移满足：（变形连续条件）（位移边界条件）Page10q(x)lAxdx虚位移虚位移证明：可能内力满足：虚位移满足：外虚功：由分部积分即：We=Wi，证毕。Page11（c）（a）（1）图a的虚位移是否满足位移边界条件？为什么？ （b）（2）图b的虚位移是否满足位移边界条件和连续条件？为什么？ （3）图c的虚位移是否满足连续条件？为什么？ A满足B不满足A满足B不满足A满足B不满足思考题Page1213-5 单位载荷法单位载荷法：建立在虚功原理基础上的计算位移的一般

4、方法。该方法的要点：1. 由实际载荷引起的实际位移当作虚位移，实际变形当作虚变形右上图，虚线表示的实际位移曲线当作虚位移曲线；微段的轴向变形dd，扭转角df, 相对转角dqy,dqz (y,z为截面主形心轴)当作虚变形。2. 虚拟单位载荷（右下图红箭头）作为实际外载，所引起的内力作为可能内力：Page133. 单位载荷法的基本公式Page14线位移，加单位力角位移，加单位力偶相对线位移，加一对相等相反单位力相对角位移，加一对相等相反单位力偶 关于位移与单位载荷 关于位移方向当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向D 广义位移，求解时施加相应单位广义载荷Page154. 单位载荷法的适用范围：不

5、仅适用于线弹性杆或杆系，也适用于非线性弹性与非弹性杆或杆系5. 对于线弹性杆或杆系的公式Page162.分段建立弯矩方程。注意：实际载荷状态与单位载荷状态必须分开画两个图，且两图分段与坐标应相同。圆弧段用极坐标方便。例: 弯曲刚度EI，求A点铅垂位移分析步骤：1.根据待求广义位移配置单位载荷状态。Page17解： 对于AB段：对于BC段：Page18根据对称性例: 弯曲刚度EI，求C点挠度 和A点转角解：（1）求 ，配置单位载荷状态AB段：BC段：Page19根据对称性解： （2）求 ，配置单位载荷状态注意一对单位力偶分别作用在刚架的A、D端，这样求出的是A、D的相对转角Page20解： 例:

6、 各杆EA，求AB杆转角 ，A、D点相对位移（1）求配置单位载荷系统Page21解（2）求A、D的相对位移配置单位载荷系统Page22分析步骤：（1）建立弯矩、扭矩方程（2）校核强度（如何确定危险截面）（3）求相对位移例: P=2F,F=80N, =240MPa,E=200GPa,G=80GPa R=35mm,d=7mm, 忽略开口宽度（1）按第三强度理论校核强度（2）求开口沿F 方向相对位移Page23（2）校核强度a. 合弯矩方程b. 解：（1）建立弯矩方程与扭矩方程Page24c. 求 极值安全！可转化（2）校核强度Page25（3）求沿F 相对位移沿F 方向加一对单位力Page26解：

7、 原结构各杆长度变化 例: 杆1制造误差长 ，求 与（1）求 在B 加向下单位力Page27解： 对比： 用几何法求 和（2）求 加单位力偶1Page28由平面假设令例: 求分析： 由单位载荷法， 关键求AA1Page29AA1xx建立原结构和单位载荷系统的弯矩方程Page30求解思路讨论：A 点在与F 垂直方向位移例: A点位移与F 方向相同，求角解：配置单位载荷系统Page31Page32例: 已知EI，求AB段变形所扫过的面积。解： 配置单位载荷系统Page3313-6 图乘法单位载荷法计算梁或平面刚架位移公式微段的线或角位移对应的单位载荷：集中力或力偶单位载荷弯矩图 ：直线图乘法：互乘函数的积分运算化为函数图形几何量相乘 的计算方法Page34的几何意义载荷引起的弯矩图的面积的几何意义弯矩图对坐标轴的静矩Page35图的面积图形心坐标在之值Page36形心位置面积图形n次抛物线二次抛物线三