材料力学A教学课件：第七章弯曲变形 2

1、7-6 简单静不定梁 静不定度与多余约束多余约束 多于维持平衡所必须的约束多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度 支反力（力偶）数有效平衡方程数静不定度多余约束数5-3=2 度静不定6-3 = 3 度静不定相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统的选择不是唯一的相当系统1相当系统2 相当系统qABABRBqABqAB静定基:一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统(左下)相当系统：作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统(右下) AB静定基与相当系统qABABRBqABq 静不定问题分析例：ABCFFAFBFCF 平面问题有三个平衡方程；F 水平方向不受力，两个 有效

2、平衡方程；F 有三个未知力，一度静不定。ABCFFBwB = 0问题分析：可以以支座A、B、C任意一个的铅垂约束作为多余约束。求解：解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协调条件求解。例如解除约束B，变形协调条件为思考：多余约束反力是否能与变形协调条件一一对应？小结：分析方法与分析步骤 步骤： 1、 判断静不定度（确定多余约束数）； 2 、选取与解除多余约束，建立相当系统； 3 、列出多余约束处的变形协调条件； 4、结合平衡方程，求多余支反力。 方法：选取与解除多余约束，代之以支反力； 分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或连续条件F 相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种例：求支

3、反力1. 静不定度：6-3=32. 选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略 HA= HB=0。两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3. 建立变形协调条件4. 联立求解qABRBMB对称性的应用利用对称性直接求出RA= RB= ql/2，它可取代方程（1）、（2）之一。8例 6-2 悬臂梁 AB，用短梁 DG 加固，各梁弯曲刚度均为EI，试分析加固效果解：1. 静不定分析92. 加固效果分析（刚度）减少 62.5%减少39.9%3. 加固效果分析（强度）ABAB存在装配误差的静不定问题分析例: 直径为d 的圆截面梁,支座 B 下沉 d，s

4、max=?解：AB问题分析：采用逐段变形效应叠加法例：组合梁/刚架各处EI, EA, B处梁间活动铰，求 ABCF刚化刚架BDH, AB为简支梁，刚化梁AB，下面求刚架的位移静定组合梁/刚架分析方法拉压变形影响ABHDCF解： 1. 求（1）刚化DH的拉压与弯曲刚度， BD相当于悬臂梁（2）刚化BD和DH的拉压刚度（3）刚化BD和DH的弯曲刚度ABC F 2. 求BHDF/23. 求设bh矩形截面4. 比较弯曲与拉压位移结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同 作用时，拉压引起的位移可以忽略。ABHDCF例：求A点的垂直方向的位移，A处梁间活动铰。ADRAABCDM0方法：将铰链拆开，建立

5、铰 链处的变形协调条件BCM0RA组合梁/刚架分析静不定问题思考：利用刚架ABC点，还是利用梁AD计算A点位移？例：求支反力 变形协调条件：RRB点位移按右图计算 ABRqaqa2/2ABqCDECABqRDRE静不定度等于多少？F问题研究相当系统讨论：试画出三种相当系统，并比较。FMcFFAFMBMB如何构造第三种相当系统？FFA问题讨论三种相当系统求解对比FA引起A端位移F引起A端位移FMc问题讨论三种相当系统求解对比（续1）Mc引起C端转角F引起C端转角问题研究三种相当系统求解对比（续2）。FMBMBFMBMB梁BC：梁AB刚体转动加变形：7-7 梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条

6、件d 许用挠度，q 许用转角一般用途轴： d = (5/100003/10000)l重要轴： d = (2/100001/10000)l起重机大梁： d = (1/7001/1000)l土建工程中的梁： d = (2/100001/10000)l安装齿轮或滑动轴承处： q =0.001rad二、梁的合理刚度设计1. 与梁的合理强度设计相似点让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面合理安排约束与加载方式（分散载荷等） 与 的相似点同样依赖于M对比强度问题 或依据 合理安排约束与加载方式增加约束，制作成静不定梁（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）2. 与梁的合理强度设计的不同点辅梁、

7、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微(2)强度与材料 和 相关,刚度与E 相关高强度钢一般不提高E钢与合金钢:E =200 220GPa铝合金:E =70 72GPa(3)刚度对梁的跨度更敏感跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如 l 缩短 20，dmax 将减少 48.8%梁跨度的合理选取例：矩形截面梁斜弯曲问题求挠曲轴方程与端点C位移yCzF分析思路：载荷沿两对称轴分解： 分解为对称弯曲问题2. 求解各分载荷作用下的挠曲轴方程与C点位移3. 合成为总的挠曲轴方程与总的C点位移解：(1) 载荷分解方位角F 一般 b q ，弯曲变形不发生在外

8、力作用面内。(2) 分力挠曲轴方程与端点位移端点C：yCzF力学模型讨论刚性平台例：弹性梁单位长度重q, 置于光滑刚性平台上，外伸段长a，试确定梁拱起部分长度(p239,7-28)。力学模型1求解：qB点：活动铰链；C端：固支端；力学模型2B点：活动铰链；C端：固支端；q刚性平台力学模型1求解qq解除约束B，代以支反力RB未知量：支反力RB，拱起段长度b求解条件：（活动铰）刚性平台力学模型1求解（续）q求解：（活动铰）刚化BC，刚化AB，qqa2/2qa刚性平台力学模型2求解q未知量：拱起段长度b求解条件：小论文题：工程中的力学模型研究课余研究：观察与提炼工程中的力学问题，建立力学模型q_+_+等强原则的应用p240, 7-31: 已知q、W、l、s，（1）求q；（2）D的最佳值及相应qmax 。解：(1) 支座未抬高情形解静不定问题画剪力、弯矩图危险截面为A截面q_