一元二次不等式1 (2)

1、必修五第3章不等式 第二节3.2.1一元二次不等式的解法（后）一、教学目标1知识与技能目标 1.1理解一元二次不等式的定义；1.2通过函数图象弄清一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的内在联系；1.3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的流程图；1.4通过对不等式、函数与方程关系的理解，注重数与形的联系，自觉运用图形求解不等式。2过程与方法目标 2.1经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程；充分利用与三个“一次”的类比，培养并启发学生善于对所学的新知识从旧知识中寻找类比点，更好地理解新知；2.2通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等

2、式的解法；通过看图象找解集，渗透数形结合、分类化归的数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力；培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质；2.3教师创设疑问，学生设法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。3情感、态度与价值观目标3.1创设问题情景，激发学生学习热情、培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，强化学生参与意识及主体作用。3.2在教学中给学生足够的时间和空间思考交流，应学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，通过对自己观点的阐述和对同学观

3、点的聆听、辨析，让知识内化，最终纳入相应的知识体系中。3.3在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神，使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯；培养学生从应试型向素质型、向可持续发展型、向终身受益型转轨。二、教学重点与难点教学重点：掌握一元二次不等式的定义和解法。教学难点：二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系。三、教学方法与教学手段本节课在学生已有的知识经验和思考基础上以启发学生思考、引导学生探索、共同分析讨论为主，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的教学方法，体现数形结合、类比、归纳的数学思想，从而激发学生对不等式解法学习的求知欲望，起到事半功倍的效果。为了更有效地

4、突出重点，分散难点，提高课堂效率，采用现代化教学手段，从而增强教学的感观性。四、教学过程（一）创设情景世博园内有一块长8百米、宽6百米的矩形地面需进行绿化工程施工，设计四周种植花卉（花卉带的宽度均为百米，），中间种植草坪（如图矩形区域）。ABCD问题1 当草坪区域的长度等于5百米时，求的值？ 解： 即，解之得。问题2当草坪区域的长度大于5百米时，求的范围？解： 即，解之得。师：我们通过列方程及一元一次方程的求解，解决了问题一中的等量关系；我们通过列不等式及一元一次不等式的求解，解决了问题二中的不等量关系。请同学们回忆一下在初中我们除了代数方法还可以怎么求解一元一次不等式？怎么做的？生：图象法，

5、通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集。师：我们知道一次函数的图象是一条直线。直线与轴交于点，这个点的纵坐标所对应的横坐标就是方程的根；直线在轴上方的点的纵坐标所对应的横坐标就是不等式的解；直线在轴下方的点的纵坐标所对应的横坐标就是不等式的解。一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。这样，我们通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集。（板书）【设计意图】通过一次函数的图像揭示一次函数、一元一次方程和一元一次不等式三者关系，是突破本课难点的重要环节。一次函数的图象一元一次方程的解集一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集师：在这张表格里函数的图象充分沟通了相应方程

6、的根，相应不等式的解。我们称图象法解不等式。师：我们回到刚刚的情景中，问题三若要使草坪的面积多于总面积的一半，求花卉带宽度 的范围。生：列不等式即。师：大家注意，这样只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式我们称之为一元二次不等式，标准式形如。如何求解一元二次不等式，就是我们今天这堂课所要研究的。课题:一元二次不等式的解法。（板书）【设计意图】创设情景，回顾三个“一次”的内在联系，复习图象法解一元一次不等式；从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，给出一元二次不等式的定义，引出课题一元二次不等式的解法。二、研探新知 如何解一元二次不等式？师：请同学们类比解一元一次不等式的图象法，能否求解

7、一元二次不等式？试一试，动动手。生：画二次函数的图象，由图可知师：二次函数的图象特征：开口向上，与轴交于点和。与轴交点的横坐标就是求解相应的一元二次方程的根，也就是不等式解集的临界值。因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集。【设计意图】通过解一元二次不等式的示例，教师点拨方法学生解集探究，梳理图象法解一元二次不等式的基本步骤。归纳整理一元二次不等式的解法。第一步：解方程，得；第二步：画出抛物线的草图；第三步：根据抛物线的图象，可知的解集为。变式：你会解吗？（板书）方法一：直接做函数的图象，由图可知方法二：原不等式两边同乘以1，

8、得。根据抛物线的图象，可知的解集为为【设计意图】变式二次项系数小于零，建议将二次项系数化成大于零的情形，转化为熟知类型再求解。归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集（板书）三、巩固深化例 用图象法解下列一元二次不等式：（1）； （2）解 （1）原不等式整理为方程的解为根据的图象，可得原不等式的解集是（2）不等式两边同乘以，原不等式可化为方程的解为根据的图象，可得原不等式的解集是【设计意图】设计例题的目的让学生掌握图象法解一元二次不等式的基本原理（数形结合）和基本步骤（化正解方程画

9、图象写解集）。练习 用图象法解下列一元二次不等式：（1）；（2）； （3）；（4）。（四组各出一个学生上黑板板演）解 （1）方程的解是根据的图象，可得原不等式的解集是（2）原不等式整理为方程的解是根据的图象，可得原不等式的解集是(3)方程有两个相同的解根据的图象，可得原不等式的解集为师：观察图像，不等式的解集为；不等式的解集为(4)因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为师：观察图像，不等式的解集为；不等式的解集为【设计意图】通过变式设计该组练习，让学生上黑板板演，进一步规范学生解题方法和习惯。的正负性影响到一元二次方程的根的个数，相应二次函数图象与轴的位置关系，进而结合图象得

10、相应一元二次不等式的解集。四、归纳整理 师：概况梳理形如一元二次不等式的解法。一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间的关系：判别式二次函数（）的图象一元二次方程有两个相异实根有两个相等实根没有实数根五、承上启下 思考1 已知不等式的解集为，求实数的值。解 方程的解为，由不等式的解集为，可知方程的解为，所以思考2 解下列不等式： （1）；（2）；（3）。解 （1）不等式等价于，解得 所以，原不等式的解集是（2）不等式等价于，解得 所以，原不等式的解集是（3）即，得 所以，原不等式的解集是【设计意图】让学有余力的学生有思考的空间，进一步巩固一元二次不等式的解集和相应一元二次方程的根的联系；这组

11、分式不等式和高次不等式转化为二次不等式，体现一元二次不等式的基础性和工具性。师生协作探究，体验转化化归的数学思想。六、整体认识 一元二次不等式的图解法实质是数形结合思想的精彩体现。七、板书设计3.2.1一元二次不等式的解法一图象法函数 图象方程 不等式 二步骤 化正解方程 画图象画图象 写解集写解集 3.2.1一元二次不等式的解法（前）一、教学目标1知识与技能目标 1.1理解一元二次不等式的定义；1.2通过函数图象弄清一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的内在联系；2过程与方法目标 2.1经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程；充分利用与三个“一次”的类比，培养并启发学生善于对所学的

12、新知识从旧知识中寻找类比点，更好地理解新知；2.2通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 2.3教师创设疑问，学生设法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在积极的双边活动中。3情感、态度与价值观目标3.1创设问题情景，激发学生学习热情、培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，强化学生参与意识及主体作用。3.2在教学中给学生足够的时间和空间思考交流，应学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，通过对自己观点的阐述和对同学观点的聆听、辨析，让知识内化，最终纳入相应的知识体系中。二、教学重点与难点教学重点：掌握一元二次不

13、等式的定义和解法。教学难点：二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系。三、教学方法与教学手段本节课在学生已有的知识经验和思考基础上以启发学生思考、引导学生探索、共同分析讨论为主，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的教学方法，体现数形结合、类比、归纳的数学思想，从而激发学生对不等式解法学习的求知欲望，起到事半功倍的效果。为了更有效地突出重点，分散难点，提高课堂效率，采用现代化教学手段，从而增强教学的感观性。四、教学过程（一）创设情景世博园内有一块长8百米、宽6百米的矩形地面需进行绿化工程施工，设计四周种植花卉（花卉带的宽度均为百米，），中间种植草坪（如图矩形区域）。ABCD问题1 当

14、草坪区域的长度等于5百米时，求的值？ 解： 即，解之得。问题2当草坪区域的长度大于5百米时，求的范围？解： 即，解之得。师：我们通过列方程及一元一次方程的求解，解决了问题一中的等量关系；我们通过列不等式及一元一次不等式的求解，解决了问题二中的不等量关系。请同学们回忆一下在初中我们除了代数方法还可以怎么求解一元一次不等式？怎么做的？二、研探新知 如何解一元二次不等式？师：请同学们类比解一元一次不等式的图象法，能否求解一元二次不等式？试一试，动动手。生：画二次函数的图象，由图可知师：二次函数的图象特征：开口向上，与轴交于点和。与轴交点的横坐标就是求解相应的一元二次方程的根，也就是不等式解集的临界值

15、。因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集。【设计意图】通过解一元二次不等式的示例，教师点拨方法学生解集探究，梳理图象法解一元二次不等式的基本步骤。归纳整理一元二次不等式的解法。第一步：解方程，得；第二步：画出抛物线的草图；第三步：根据抛物线的图象，可知的解集为。变式：你会解吗？（板书）方法一：直接做函数的图象，由图可知方法二：原不等式两边同乘以1，得。根据抛物线的图象，可知的解集为为【设计意图】变式二次项系数小于零，建议将二次项系数化成大于零的情形，转化为熟知类型再求解。归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（

16、2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集（板书）三、巩固深化例 用图象法解下列一元二次不等式：（1）； （2）解 （1）原不等式整理为方程的解为根据的图象，可得原不等式的解集是（2）不等式两边同乘以，原不等式可化为方程的解为根据的图象，可得原不等式的解集是【设计意图】设计例题的目的让学生掌握图象法解一元二次不等式的基本原理（数形结合）和基本步骤（化正解方程画图象写解集）。练习 用图象法解下列一元二次不等式：（1）；（2）； （3）；（4）。（四组各出一个学生上黑板板演）解 （1）方程的解是根据的图象，可得原不等式的解集是（2）原不等式整

17、理为方程的解是根据的图象，可得原不等式的解集是(3)方程有两个相同的解根据的图象，可得原不等式的解集为师：观察图像，不等式的解集为；不等式的解集为(4)因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为师：观察图像，不等式的解集为；不等式的解集为【设计意图】通过变式设计该组练习，让学生上黑板板演，进一步规范学生解题方法和习惯。的正负性影响到一元二次方程的根的个数，相应二次函数图象与轴的位置关系，进而结合图象得相应一元二次不等式的解集。四、归纳整理 师：概况梳理形如一元二次不等式的解法。一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间的关系：判别式二次函数（）的图象一元二次方程有两个相异实根有两个相等实根没有实数根五、承上启下 思考1 已知不等式的解集为，求实数的值。解 方程的解为，由不等式的解集为，可知方程的解为，所以思考2 解下列不等式： （1）；（2）；（3）