目标规划（46页）--目标规划模型ppt课件

1、目 标 规 划 在科学研讨、经济建立和消费实际中，人们经常遇到一类含有多个目的的数学规划问题，我们称之为多目的规划。本章引见一种特殊的多目的规划叫目的规划(goal programming)，这是美国学者Charnes等在1952年提出来的。目的规划在实际中的运用非常广泛，它的重要特点是对各个目的分级加权与逐级优化，这符合人们处置问题要分别轻重缓急保证重点的思索方式。 本章分目的规划模型、目的规划的几何意义与图解法和求解目的规划的单纯形方法等三个部分进展引见。 2.1 目的规划模型 2.1.1 问题提出 为了便于了解目的规划数学模型的特征及建模思绪, 我们首先举一个简单的例子来阐明. 例2.1

2、.1 某公司分厂用一条消费线消费两种产品A和B ，每周消费线运转时间为60小时，消费一台A产品需求4小时，消费一台B产品需求6小时根据市场预测，A、B产品平均销售量分别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18万元。在制定消费方案时，经理思索下述4工程标： 2.1 目的规划模型2.1.1 问题提出 (续)首先，产量不能超越市场预测的销售量； 其次，工人加班时间最少； 第三，希望总利润最大； 最后，要尽能够满足市场需求, 当不能满足时, 市场以为B产品的重要性是A产品的2倍 试建立这个问题的数学模型讨论： 假设把总利润最大看作目的，而把产量不能超越市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽能够满

3、2.1 目的规划模型 2.1.1 问题提出 (续)足市场需求的目的看作约束，那么可建立一个单目的线性规划模型 设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量 Max Z = 12x1 + 18x2 s.t. 4x1 + 6x2 60 x1 9 x2 8 x1 , x2 0 2.1 目的规划模型2.1.1 问题提出 (续)容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所在线段上的点, 最优目的值为Z* = 180, 即可选方案有多种. 在实践上, 这个结果并非完全符合决策者的要求, 它只实现了经理的第一、二、三条目的，而没有到达最后的一个目的。进一步分析可知，要实现全体目的是不能

4、够的。2.1 目的规划模型2.1.2 目的规划模型的根本概念 把例2.1.1的4个目的表示为不等式.仍设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量. 那麽, 第一个目的为: x1 9 ，x2 8 ； 第二个目的为: 4x1 + 6x2 60 ； 第三个目的为: 希望总利润最大，要表示成不等式需求找到一个目的上界，这里可以估计为252=129 + 188，于是有 12x1 + 18x2 252； 第四个目的为: x1 9，x2 8； 2.1.2 目的规划模型的根本概念 续下面引入与建立目的规划数学模型有关的概念 1、正、负偏向变量d +，d - 我们用正偏向变量d + 表示决策值超越目的值的部

5、分；负偏向变量d - 表示决策值缺乏目的值的部分。因决策值不能够既超越目的值同时又未到达目的值，故恒有 d + d - 0 2、绝对约束和目的约束我们把一切等式、不等式约束分为两部分：绝对约束和目的约束。2.1.2 目的规划模型的根本概念 续绝对约束是指必需严厉满足的等式约束和不等式约束；如在线性规划问题中思索的约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。设例2.1.1 中消费A，B产品所需原资料数量有限制，并且无法从其它渠道予以补充，那么构成绝对约束。目的约束是目的规划特有的，我们可以把约束右端项看作要努力追求的目的值，但允许发生正式负偏向，用在约束中参与正、负偏向变量

6、来表示，于是称它们是软约束。2.1 目的规划模型 2.1.2 目的规划模型的根本概念 续 对于例2.1.1, 我们有如下目的约束 x1 + d1- -d1+ = 9 (2.1.1) x2 + d2- -d2+ = 8 (2.1.2) 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 (2.1.3) 12x1+18x2 + d4- -d4+ =252 (2.1.4)2.1 目的规划模型2.1.2 目的规划模型的根本概念 续(3)、优先因子与权系数对于多目的问题，设有L个目的函数f1,f2,fL, 决策者在要求到达这些目的时，普通有主次之分。为此，我们引入优先因子Pi ，i = 1,2,L.无妨

7、设预期的目的函数优先顺序为f1,f2,fL,我们把要求第一位到达的目的赋于优先因子P1，次位的目的赋于优先因子P2、，并规定 Pi Pi+1，i = 1,2,L-1. 2.1.2 目的规划模型的根本概念 续 即在计算过程中, 首先保证P1级目的的实现，这时可不思索次级目的；而P2级目的是在实现P1级目的的根底上思索的，以此类推。当需求区别具有一样优先因子的假设干个目的的差别时，可分别赋于它们不同的权系数wj 。优先因子及权系数的值，均由决策者按详细情况来确定 4、目的规划的目的函效 目的规划的目的函数是经过各目的约束的正、负偏向变量和赋于相应的优先等级来构造的2.1 目的规划模型2.1.2 目

8、的规划模型的根本概念 续 决策者的要求是尽能够从某个方向减少偏离目的的数值。于是，目的规划的目的函数应该是求极小：min f f d +，d -) 其根本方式有三种： 要求恰好到达目的值，即使相应目的约束的正、负偏向变量都要尽能够地小。这时取 min d + + d - )； 要求不超越目的值，即使相应目的约束的正偏向变量要尽能够地小。这时取 min d + )； 2.1.2 目的规划模型的根本概念 续 要求不低于目的值，即使相应目的约束的负偏向变量要尽能够地小。这时取 min d - )；对于例2.1.1, 我们根据决策者的思索知第一优先级要求 mind1+ + d2+ )； 第二优先级要求

9、 mind3+ )； 第三优先级要求 mind4- )； 第四优先级要求 mind1- + 2d2- )，这里, 当不能满足市场需求时, 市场以为B产品的重要性是A产品的2倍即减少B产品的影响是A产品的2倍，因此我们引入了2:1的权系数。 2.1 目的规划模型 2.1.2 目的规划模型的根本概念 续综合上述分析，我们可得到以下目的规划模型 Min f = P1d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4d1- + 2d2- ) s.t. x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 (2.1.

10、5) 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ =252 x1 , x2 , di- ,di+ 0 , i = 1,2,3,4.2.1 目的规划模型2.1.3 目的规划模型的普通方式 根据上面讨论,我们可以得到目的规划的普通方式如下2.1 目的规划模型2.1.3 目的规划模型的普通方式 (续)LGP中的第二行是K个目的约束，第三行是m个绝对约束，ckj 和gk 是目的参数。2.2 目的规划的几何意义及图解法 对只具有两个决策变量的目的规划的数学模型，我们可以用图解法来分析求解经过图解例如，可以看到目的规划中优先因子，正、负偏向变量及权系数等的几何意义。 2.2目的规划的几何意义及图解法2.2

11、 目的规划的几何意义及图解法 续下面用图解法来求解例2.1.1 我们先在平面直角坐标系的第一象限内，作出与各约束条件对应的直线，然后在这些直线旁分别标上 G-i ，i = 1，2，3，4。图中x，y分别表示问题2.1.5的x1和x2；各直线挪动使之函数值变大、变小的方向用 +、- 表示 di+ ,di- 如图2.1.1所示 2.2目的规划的几何意义及图解法0 5 10 15 20 y x2015105+-G-1+-G-2+-G-4+-G-3图2 - 12.2目的规划的几何意义及图解法 下面我们根据目的函数的优先因子来分析求解首先思索第一级具有P1优先因子的目的的实现，在目的函数中要务虚现min

12、d1+ d2+ ),取d1+=d2+ =0.图 2 2 中阴影部分即表示出该最优解集合的一切点。 我们在第一级目的的最优解集合中找满足第二优先级要求mind3+ )的最优解.取d3+= 0 ,可得到图 2 3 中阴影部分即是满足第一、第二优先级要求的最优解集合。 2.2目的规划的几何意义及图解法图2 - 20 5 10 15 20 yx2015105+-G-1+-G-2-+G-4+-G-3A(3,8)2.2目的规划的几何意义及图解法图2 3 0 5 10 15 20 yx2015105+-G-1+-G-2-+G-4+-G-3A(3,8)2.2目的规划的几何意义及图解法 第三优先级要求 mind

13、4- )，根据图示可知，d4- 不能够取0值，我们取使d4- 最小的值72得到图24 中两阴影部分的交线(红色粗线)，其表示满足第一、第二及第三优先级要求的最优解集合。最后，思索第四优先级要求 mind1- + 2d2- ) ，即要在黑色粗线段中找出最优解。由于d1- 的权因子小于d2- ，因此在这里可以思索取d2- =0。于是解得d1-=5，最优解为A点x = 3，y = 8。 2.2目的规划的几何意义及图解法图2 4 0 5 10 15 20 yx2015105+-G-1+-G-2-+G-4+-G-3A(3,8)2.3 求解目的规划的单纯形方法 目的规划的数学模型,特别是约束的构造与线性规

14、划模型没有本质的区别，只是它的目的不止是一个,虽然其利用优先因子和权系数把目的写成一个函数的方式, 但在计算中无法按单目的处置, 所以可用单纯形法进展适当改良后求解。在组织、构造算法时，我们要思索目的规划的数学模型一些特点，作以下规定： (1) 由于目的规划问题的目的函数都是求最小化，所以检验数的最优准那么与线性规划是一样的； 2.3 求解目的规划的单纯形方法 (续) (2) 由于非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子， Pi Pi+1，i = 1,2,L-1. 于是从每个检验数的整体来看： Pi+1i = 1,2,L-1优先级第k个检验数的正、负首先决议于 P1 ，P2 ， ，Pi 优先级

15、第k个检验数的正、负。假设P1 级第k个检验数为0，那么此检验数的正、负取决于P2级第k个检验数；假设P2 级第k个检验数仍为0，那么此检验数的正、负取决于P3级第k个检验数，依次类推。换一句话说，当某Pi 级第k个检验数为负数时，计算中不用再调查Pj j I 级第k个检验数的正、负情况； 2.3 求解目的规划的单纯形方法 (续)3根据LGP模型特征，当不含绝对约束时，di- i=1,2, ,K构成了一组根本可行解。在寻觅单纯形法初始可行点时，这个特点是很有用的。 解目的规划问题的单纯形法的计算步骤 (1)建立初始单纯形表在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行。初始的检验数需根据初始可行解

16、计算出来，方法同根本单纯形法。当不含绝对约束时，di- i=1,2, ,K构成了一组根本可行解，这时只需利用相应单位向量把各级目的行中对应di- i=1,2, ,K的量消成0即可得到初始单纯形表。置k 1； 2.3 求解目的规划的单纯形方法 (续) (2)检查当前第k行中能否存在大于0，且对应的前k-1行的同列检验数为零的检验数。假设有取其中最大者对应的变量为换入变量，转(3)。假设无这样的检验数，那么转(5)； (3)按单纯形法中的最小比值规那么确定换出变量，当存在两个和两个以上一样的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量，转4； 2.3 求解目的规划的单纯形方法 (续) (4)按

17、单纯形法进展基变换运算，建立新的单纯形表，留意：要对一切的行进展转轴运算前往(2)； (5)当k K 时，计算终了。表中的解即为称心解。否那么置k = k+1，前往2。 2.3 求解目的规划的单纯形方法 (续)例2.3.1 试用单纯形法来求解例2.1.1的目的规划模型(2.1.5) Min f = P1d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4d1- + 2d2- ) s.t. x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ =252 x1 , x2

18、 , di- ,di+ 0 , i = 1,2,3,4. 2.3 求解目的规划的单纯形方法 (续)解: 首先处置初始根本可行解对应的各级检验数。 由于P1 , P2 优先级对应的目的函数中不含di- , 所以其检验数只需取系数负值。分别为 ( 0，0，0，-1，0，-1，0，0，0，0 ；0)和 ( 0，0，0， 0，0，0，0，-1，0，0 ；0) x1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+RHSP1000-10-100000P20000000-1000P300000000-100P400-10-2000000d1-101-10000009d2-01001-100008d3-4

19、600001-10060d4-12180000001-1252x1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+RHSP1000-10-100000P20000000-1000P312180000000-1252P400-10-2000000d1-101-10000009d2-0*1001-100008d3-4600001-10060d4-12180000001-12522.3 求解目的规划的单纯形方法 (续)P3 优先级对应的目的函数中含d4- ,所以其检验数需求把第四个约束行加到取负值的这一行上，得到 ( 12，18，0，0，0，0，0，0，0，-1；252 )TP4 优先级对应的目

20、的函数中含d1- + 2d2- )，所以其检验数需求把第一个约束行与第二个约束行的2倍加到取系数负值的这一行上，得到 ( 1，2，0，-1，0，-2，0，0，0，0；25 )。列目的规划的初始单纯形表 x1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+RHSP1000-10-100000P20000000-1000P312180000000-1252P4120-10-2000025d1-101-10000009d2-0*1001-1000088d3-4600001-1006010d4-12180000001-1252142.3 求解目的规划的单纯形方法 (续)1k = 1，在初始单纯形表

21、中基变量为 d1-,d2-,d3-,d4-)T =9，8,60，252)T ；2由于P1与P2优先级的检验数均曾经为非正，所以这个单纯形表对P1与P2优先级是最优单纯形表；3下面思索P3优先级，第二列的检验数为18，此为进基变量，计算相应的比值 bi/aij 写在 列。经过比较，得到d2- 对应的比值最小，于是取a22标为 * 号为转轴元进展矩阵行变换得到新的单纯形表； x1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+RHSP1000-10-100000P20000000-1000P312000-1818000-1108P4100-1-2000009d1-101-100000099x201001-100008d3-*4000-661-100123d4-12000-1818001-110892.3 求解目的规划的单纯形方法 (续)4下面继续思索P3优先级，第一列的检验数为18，此为进基变量，计算相应的比值 bi/aij 写在 列。经过比较，得到d3- 对应的比值最小，于是取a31标为 * 号为转轴元进展矩阵行变换得到新的单纯形表； x1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+RHSP1000-10-100000P20000000-1000P3000000-