2022年新教材高中数学第二章等式与不等式2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修第一册 课件(共29张PPT)

1、2.2.3一元二次不等式的解法1.会用因式分解法或配方法解一元二次不等式.2.会解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.3.能将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解.实数符号之间的关系ab0或ab0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a0,式中的不等号也可以是“”“”“”等.2.一元二次不等式所有解组成的集合为一元二次不等式的解集.一元二次不等式的解法1.因式分解法:一般地,如果x1x2,则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(-,x1)(x2,+).2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)通过配方可变为(x-h)2k或(x-h)20时,(x-h)2k的解集

2、为(-,h-)(h+,+),(x-h)2k的解集为(h-,h+).当kk的解集为R,(x-h)2k的解集为x|xh.(x-h)20或f(x)g(x)00或f(x)g(x)a(a0)0g(x)f(x)-ag(x)0判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.不等式x2-xx2-1是一元二次不等式.()2.不等式x2+x-20的解集相同.()3.不等式x2-2x-30可化为(x-1)24.()4.不等式x(1-x)0的解集为0,1.()5.不等式1的解集为x|x2.()原不等式可化为0,同解于(x-1)(x-2)0,解集为x|x2.已知2x2+(2-m)x-m0.问题1.若m=1,如何求该不等式的解

3、集?提示:当m=1时,原不等式为2x2+x-10,解得x,所以原不等式的解集为xx.含参数的一元二次不等式的解法2.当m0时,如何求出关于x的不等式的解集?提示:因为2x2+(2-m)x-m=(x+1)(2x-m),所以原不等式等价于(x+1)(2x-m)0.因为m0,所以-10,对m分类讨论求解.熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类不等式问题的基础,所以应当熟记形如ax2+bx+c0(a0)的不等式在各种情况下的解集的形式.含参数的一元二次不等式的解题步骤:将二次项系数化为正数;判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);根据根的情况写出相应的解集,若方程有两个相异实根,还

4、要比较两根的大小.根据上面的步骤可能产生的讨论形式:若二次项系数含有参数,则应讨论其与0的关系,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;判断方程的根的个数,讨论方程的判别式与0的关系;确定方程无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.破疑典例1.()解下列关于x的不等式(aR).(1)x2-(a2+a)x+a30;(2)2x2+ax+20.思路点拨:(1)根据根的大小关系进行分类讨论求解.(2)根据判别式与0的关系进行分类讨论求解.解析(1)原不等式x2-(a2+a)x+a30可化为(x-a)(x-a2)0.当a0时,aa2,所以原不等式的

5、解集为x|xa2;当a=0时,a=a2=0,所以原不等式的解集为x|x0;当0aa2,所以原不等式的解集为x|xa;当a=1时,a=a2=1,所以原不等式的解集为x|x1;当a1时,aa2,所以原不等式的解集为x|xa2.综上,当a1时,原不等式的解集为x|xa2;当a=0时,原不等式的解集为x|x0;当0a1时,原不等式的解集为x|xa;当a=1时,原不等式的解集为x|x1.(2)2x2+ax+2=0的判别式为=a2-16.当a2-160,即a4或a(-a+)或x(-a-).当a2-16=0时,a=4或a=-4.当a=4时,解得x-1;当a=-4时,解得x1.当a2-160,即-4a4时,解

6、得xR.综上,当a4时,原不等式的解集为或x;当-4a0.思路点拨:因为二次项的系数a不确定,所以需要根据a的取值进行分类讨论.解析(1)当a=0时,原不等式为-2x+40,所以x2,不等式的解集为x|x2.(2)当a0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式=4(a-1)20,其两根分别为x1=2,x2=,且0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的根为x1=2,x2=.当1时,不等式的解集为;当2,即0a1时,不等式的解集为;当=2,即a=1时,不等式的解集为x|x2.综上所述,当a=0时,不等式的解集为x|x2;当a1时,不等式的解集为;当0a0.问题1.若不等式对任意xR恒成立,

7、如何求k的取值范围?提示:可利用对应方程的根的判别式求解.2.若不等式对任意xx|1x2恒成立,如何求k的取值范围?提示:分离参数.3.若不等式对任意xx|-1x2恒成立,如何求k的取值范围?提示:分离参数(注意对应的二次函数图像对称轴的位置).如何解决一元二次不等式恒成立问题1.求一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值.解决恒成立问题一定要分清自变量和参数,一般地,已知范围的是变量,求解范围的是参数.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的定义域内全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的定义域内全部在x轴

8、下方.2.求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法:(1)利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a0),则y0恒成立y0恒成立y0恒成立y0恒成立(2)分离自变量和参数,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题. 拔高问题若二次项系数含有参数,又该如何解决此类问题?4.xR,mx2-mx-10,如何求m的取值范围?提示:若m=0,显然-10,满足题意;若m0,则即-4m0.综上,m的取值范围为m|-4m0.破疑典例1.()已知函数y=x2+mx-1,若对于任意xx|mxm+1,都有y0成立,则实数m的取值范围是.思路点拨:作出函数y=x2+mx-

9、1的大致图像,观察图像列出不等式组,解不等式组即可.答案-m0解析作出二次函数y=x2+mx-1的大致图像(图像略),对于任意xx|mxm+1,都有y0成立,则有解得-m0.2.()若不等式ax2+2ax-(a+2)0的解集是,求实数a的取值范围.思路点拨:ax2+2ax-(a+2)0的解集是,即ax2+2ax-(a+2)0在R上恒成立,对a进行分类讨论求解.解析不等式ax2+2ax-(a+2)0的解集是,等价于不等式ax2+2ax-(a+2)0在R上恒成立.当a=0时,-20,解集为,满足题意;当a0时,a需满足解得-1a0.综上可知,a的取值范围是a|-1a0.易错警示解决含参数的一元二次

10、不等式问题,要关注二次项系数是否含有参数,若二次项系数含参数,则要对二次项系数是不是0进行讨论.3.()若对任意的mm|1m3,mx2-mx-6+m0恒成立,求实数x的取值范围.思路点拨:此题是关于m的不等式的恒成立问题,可以分离变量,利用m的范围构建关于x的不等式求解.解析mx2-mx-6+m0(x2-x+1)m-60,m3,即x2-x-10,解得x0,所以x+10,所以3x-10,即0a(a0)的分式不等式可同解变形为 0,故可转化为解g(x)f(x)-ag(x)0.(2)解0(0)型的分式不等式,转化为整式不等式后,应注意分子可取0,而分母不能取0.(f(x),g(x)为关于x的整式,且

11、g(x)0).破疑典例1.()解下列关于x的不等式:(1)0;(2)1.思路点拨:(1)化为(4x+2)(3x-1)0进一步求解.(2)移项、通分化为0,再化为进一步求解.解析(1)原不等式等价于(4x+2)(3x-1)0,所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为0,所以原不等式等价于所以原不等式的解集为.2.()解下列关于x的不等式:(1)-11;(2)0和x0两种情况分别求解后取并集.(2)移项、通分化为0(aR),再化为(ax+1-a)(x-1)1或x1或x0时,由1;当x-1得x1或x-1.(2)原不等式可化为-(1-a)0(aR),即0(aR),进一步化简为(ax+1-a)(x-1)0时,不等式化为(x-1)0.因为1,所以不等式的解集为.